解题研究：中点四大模型-6.1

中点四大模型与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形模型1倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形换个马甲也要认识哦，如下情形读者自证。模型阐述如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE＝AD，易证：△ADC≌△EDB（SAS）．如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE＝FD，易证：△FDB≌△EDC（SAS）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移．点评：倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．难点：有些几何题在利用“倍长中线”证完一次全等三角形后，还需要再证一次全等三角形，即“二次全等”。在证明第二次全等时，难点通常体现在倒角上，常见的倒角方法有：=1\*GB3①“8”字型；=2\*GB3②平行线；=3\*GB3③180°（平角、三角形内角和）；=4\*GB3④360°（周角、四边形内角和）；=5\*GB3⑤小旗子（三角形外角）；=6\*GB3⑥90°（互余角）例题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2．求证：AD2＝(AB2＋AC2)．证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．∵BD＝DC，∴ED＝DN．在△BED与△CND中，∴△BED≌△CND（SAS）．∴BE＝NC．∵∠MDN＝90°，∴MD为EN的中垂线．∴EM＝MN．∴BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2，∴△BEM为直角三角形，∠MBE＝90°．∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90°．∴∠BAC＝90°．∴AD2＝(BC)2＝（AB2＋AC2）．拔高：⑴如图，已知中，，是边上的中线，延长到，使．给出下列结论：①AD=2AC；②CD=2CE；③∠ACE=∠BCD；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是．解析：①正确．∵，，∴AD=2AC．②、④正确．延长到，使，连接．∵是的中线，∴．在和中，，∴∴，∴在和中，∴∴，∠FCB=∠DCB即CD=2CE，CB平分∠DCE．③错误．∵∠FCB=∠DCB，而CE是AB边上中线而不是∠ACB的角平分线故∠ACE和∠BCD不一定相等．⑵如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论：①BD=DE=EC；②AB+AE＞2AD；③AD+AC＞2AE；④AB+AC＞AD+AE，则以上结论正确的是．解析：点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE，即AB+AC＞AD+AE．∴①②③④均正确．模型2已知等腰三角形底边中点，可与顶点连接用“三线合一”换个马甲也要认识哦，如下情形读者自证。模型阐述等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：“边等、角等、三线合一”．例题：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE＝AF，求证：∠EDB＝∠FDC．证明：连结AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∠ADB＝∠ADC＝90°在Rt△AED与Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD．（HL）∴∠ADE＝∠ADF，∵∠ADB＋∠ADC＝90°，∴∠EDB＝∠FDC．拔高：已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠EDF绕D点旋转到DF⊥AC于E时（如图①），求证：S△DEF＋S△CEF＝S△ABC；（2）当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF、S△CEF、S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明．解：（1）连接CD；如图2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠1＝∠2，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF∴S△DEF＋S△CEF＝S△ADE＋S△BDF＝S△ABC；（2）不成立；S△DEF−S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示：同（1）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°∴S△DEF＝S五边形DBFEC，＝S△CFE＋S△DBC，＝S△CFE＋S△ABC，∴S△DEF－S△CFE＝S△ABC．∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF－S△CEF＝S△ABC．模型3已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理换个马甲也要认识哦，如下情形读者自证。模型阐述在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC，且DE＝BC来解题．中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决角问题，线段之间的倍半、相等及平行问题．题型1、如果已知三角形两边中点，就直接连接构成三角形的中位线例1：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G分别是AD、BC、BD的中点，H是EF的中点，试说明线段GH与线段EF的位置关系；解析：在△ABC中，E、G分别是AD、BD的中点，可连接EG，则有；在△BCD中，G、F分别是BD、BC的中点，可连接GF，则有,而AB=CD，所以,即△EFG是等腰三角形，又H是底边EF的中点，由等腰三角形的三线合一定理可知GH⊥EF.题型2、如果已知三角形一边中点，则可取另一边的中点连接起来构成三角形的中位线例2：如图1所示，在三角形ABC中，∠B=2∠C，AD是三角形的高，点M是边BC的中点，求证：DM=AB。解析：看到结论的表达形式，我们就想到，三角形的中位线定理，有这样的特点，因此，我们就可以构造AB上的中位线。如图2，再证明这条中位线与DM是相等的。题型3、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理例3：自△ABC的顶点A，向∠B和∠C的平分线作垂线，重足分别为D、E。求证：DE∥BC解析：欲证ED//BC我们可想到有关平行的判定，但要找到有关角的关系很难，这时只要通过延长AD、AE，交BC与CB的延长线于G与H，通过证明△ABD与△GBD全等易证D是AG中点，同理E为AH的中点，故，ED是△AEG的中位线，当然有DE∥BC。小结：由此题我们可以知道证明直线或线段平行除了平行判定等，还可以用中位线定理来证明直线或线段平行。题型4、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理例4：如图5所示，AB∥CD，BC∥AD，DE⊥BE，DF=EF，甲从B出发，沿着BA、AD、DF的方向运动，乙B出发，沿着BC、CE、EF的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达？解析：要想知道谁先到达，因为，他们的速度相等，所以，谁走的路程短，就是谁先到达，所以，关键是比较BA+AD+DF与BC+CE+EF的大小。拔高：（1）如图1，BD，CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD，AE⊥CE，垂足分别为D，E，连接DE，求证：DE∥BC，DE=（AB+BC+AC）；（2）如图2，BD，CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变，上述结论是否成立？（3）如图3，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，其他条件不变，DE与BC还平行吗？它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明.1.解答（1）如图①，分别延长AE，AD交BC于H，K.在△BAD和△BKD中，∴△BAD≌△BKD（ASA）∴AD=KD，AB=KB.同理可证，AE=HE，AC=HC.∴DE=HK.又∵HK=BK+BC+CH=AB+BC+AC.∴DE=（AB+AC+BC）.（2）猜想结果：图②结论为DE=（AB+AC-BC）证明：分别延长AE，AD交BC于H，K.在△BAD和△BKD中∴△BAD≌△BKD（ASA）∴AD=KD，AB=KB同理可证，AE=HE，AC=HC.∴DE=HK.又∵HK=BK+CH-BC=AB+AC-BC∴DE=（AB+AC-BC）（3）图③的结论为DE=（BC+AC-AB）证明：分别延长AE，AD交BC或延长线于H，K.在△BAD和△BKD中，，∴△BAD≌△BKD（ASA）∴AD=KD，AB=KB.同理可证，AE=HE，AC=HC.∴DE=KH.又∵HK=BH-BK=BC+CH-BK=BC+AC-AB∴DE=（BC+AC-AB）.模型4已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线换个马甲也要认识哦，如下情形读者自证。模型阐述在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：△ACD和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用.题型1、证明线段相等例题1：在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到D点，使，点E、F分别为边BC、AC的中点。（1）求证：DF=BE；（2）过点A作AG∥BC，交DF于G，求证：AG=DG题型2、证明角相等例题2：在△ABC中，∠BAC>90°，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证：∠FED=∠FDE。题型3、证明线段的倍分及和差关系例题3：在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连AE。求证：（1）∠AEC=∠C；（2）求证：BD=2AC。题型4、证明线段垂直例4：在四边形ABCD中，AC⊥BC，BD⊥AD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。求证：MN⊥DC。题型5、证明特殊的几何图形例5：将Rt△ACB沿直角边AC所在直线翻折180°得到Rt△ACE，点D与点F分别是斜边AB、AE的中点，连CD、CF，则四边形ADCF为菱形．请给予证明．拔高.问题1：如图①，三角形ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F.AE、BF交于点M，连接DE，DF，若DE=kDF，则k的值为.问题2：如图②，三角形ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在三角形ABC内部，且∠MAC=∠MBC，过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E，F，连接DE，DF，求证：DE=DF.问题3：如图③，若将上面问题2中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论.解答（1）AE⊥BC，BF⊥AC，∴△AEB和△AFB都是直角三角形，∵D是AB的中点，∴DE=AB，DF=AB.∴DE=DF.∵DE=KDF，∴k=1.（2）∵CB=CA，∴∠CBA=∠CAB.∵∠MAC=∠MBC，∴∠CBA-∠MBC=∠CAB-∠MAC，即∠ABM=∠BAM.∴AM=BM.∵ME⊥BC，MF⊥AC，∴∠MEB=∠MFA=90°.又∵∠MBE=∠MAF，∴△MEB≌△MFA（AAS）∴BE=AF.∵D是AB的中点，即BD=AD，又∵∠DBE=∠DAF，∴△DBE≌△DAF（SAS）∴DE=DF.（3）DE=DF.如图，作AM的中点G，BM的中点H，连DG，FG，DH，EH.∵点D是边AB的中点，∴DG∥BM，DG=BM.