第15讲 综合除法和余数定理

第15讲综合除法和余数定理一、第15讲综合除法和余数定理（练习题部分）1.计算3x3−5x+6除以(x-2)所得的商式及余数．2.求2x3+5x2−4x4+8除以x+3所得的商式及余数．3.用综合除法计算

(−6x4−7x2+8x+9)÷(2x−1)．4.用综合除法计算(27x3−9x2+5x−2)÷(3x−2)．5.求除以x+1所得的余数．6.设f(x)=x4+3x3+8x2−kx+11被x+3整除，试求k的值．

7.设f(x)=2x3+x2+kx−2能被2x+整除，求k值.

8.设f(x)=3x5−17x4+12x3+6x2+9x+8，求f(-)．9.设f(x)=x4−ax2−bx+2被(x+1)(x+2)整除，求a、b的值．

10.求f(x)=3x4−8x3+5x5−x+8除以2x-4所得的余数．11.若f(x)=2x3−3x2+ax+b除以x+1所得的余数为7，除以x-1所得的余数为5，试求a、b的值．

12.设f(x)=x2+mx+n(m、n都是整数)既是多项式x4+6x2+25的因式，又是多项式3x4+4x2+28x+5的因式，求f(x)。

13.多项式f(x)除以(x-1)、(x-2)和(x-3)所得的余数分别是1、2、3，试求f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3)所得的余式。

14.已知多项式f(x)=ax3+bx2−8x−12被x-2和x-3整除，试求a、b的值，并求f(x)除以(x-2)(x-3)后所得的商式。15.若x5−5qx+4r被(x−2)2整除，求q与r的值．

16.已知关于x的三次多项式，f(x)除以x2−1时，余式是2x-5；除以x2−4时，余式是-3x+4．求这个三次式．

17.一个整系数三次多项式f(x)，有三个不同的整数a1、a2、a3，使f(a1)=f(a2)=f(a3)=1．又设b为不同于a1、a2、a3的任意整数，试证明：f(b)≠1.

答案解析部分一、第15讲综合除法和余数定理（练习题部分）1.【答案】解：

用综合除法计算如下：

∴商式为：3x2+6x+7，余数为：20.

【解析】【分析】综合除法过程如下：

(1)被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．

(2)将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．

(3)将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．

由此计算即可得出答案.2.【答案】解：将多项式按x的降幂排列为：−4x4+2x3+5x2+8，由综合除法得：

∴商式为：-4x3+14x2-37x+111，余数为：-325.

【解析】【分析】综合法过程如下：(1)被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．

(2)将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．

(3)将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．

由此计算即可得出答案.3.【答案】解：∵(2x−1)=2（x-），

∴先用(−6x4−7x2+8x+9)÷（x-），

∴−6x4−7x2+8x+9=（x-）（-6x3-3x2-x+）+，

=2（x-）×（-6x3-3x2-x+）+，

=(2x−1)（-3x3-x2-x+）+，

∴商式为：-3x3-x2-x+，余数为：.

【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b(a≠0且a≠1)，可先用f(x)除以x+(这时可用综合除法)，得到f(x)=(x+)⋅q(x)+r；

从而f(x)=a(x+)⋅⋅q(x)+r=(ax+b)(⋅q(x))+r.因此所求的商式是⋅q(x)，余数仍为r．4.【答案】解：∵(3x−2)=3（x-），

∴先用(27x3−9x2+5x−2)÷(x-)，

∴27x3−9x2+5x−2=(x-)（27x2+9x+11）+，

=3(x-)×（27x2+9x+11）+，

=(3x−2)（9x2+3x+）+，

∴商式为：9x2+3x+，余数为：.

【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b(a≠0且a≠1)，可先用f(x)除以x+(这时可用综合除法)，得到f(x)=(x+)⋅q(x)+r；

从而f(x)=a(x+)⋅⋅q(x)+r=(ax+b)(⋅q(x))+r.因此所求的商式是⋅q(x)，余数仍为r．5.【答案】解：综合除法计算如下：

∴余数为8.

【解析】【分析】综合法过程如下：(1)被除式按x的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足．(2)将(-a的相反数)a写在上述系数的左边，彼此用竖线隔开．(3)将被除式的第一个系数作为第二行的第一个数．用它乘a，加上第二个系数，得到第二行的第二个数．再把这第二个数乘a，加上第三个系数，得到第二行的第三个数……依此类推．最后得到的数为余数，把它用线隔开，线外就是商式的系数．

由此计算即可得出答案.6.【答案】解：∵设f(x)被x+3整除，由余数定理可得：

f(-3)=0，

∴f(-3)=（-3）4+3×（-3）3+8×（-3）2-k×（-3）+11=0，

解得：k=-.

∴k值为-.

【解析】【分析】因为f(x)被x+3整除，由余数定理可得f(-3)=0，代入、解方程即可.7.【答案】解：∵2x+=2（x+），

∴f(x)=2x3+x2+kx−2能被x+整除，

由余数定理可知：

f(-)=0，

即2×（-）3+（-）2+（-）k-2=0，

解得：k=-7.

∴k值为-7.

【解析】【分析】如果f(x)能被ax+b(a≠0且a≠1)整除，则f(x)能被x+整除，由余数定理可知f（-）=0，代入、解方程即可.8.【答案】解：∵f(x)=3x5−17x4+12x3+6x2+9x+8，

∴f(-)=3×（-）5-17×（-）4+12×（-）3+6×（-）2+9×（-）+8，

=---+-3+8，

=5.

另解：

原题等介于求（3x5−17x4+12x3+6x2+9x+8）÷（x+）的余数，用综合法计算得：

∴余数为5，即f(-)=5.

【解析】【分析】根据题意将x=-代入f（x），计算即可得出答案.9.【答案】解：∵f(x)被(x+1)(x+2)整除，

∴f(x)被x+1和x+2整除，

根据因式定理，有

f(−1)=(−1)4−a×(−1)2-b×(−1)+2=a-b=3，

f(-2)=（-2）4−a×（-2）2-b×（-2）+2=2a-b=9，

即，

解得：.

∴a=6，b=3.

【解析】【分析】根据因式定理，结合题意可得f(−1)=0，f(2)=0，即得到一个关于a、b的二元一次方程组，解之即可.10.【答案】解：f（x）先按x的降幂排列：

f(x)=5x5+3x4−8x3−x+8，

∵2x-4=2（x-2），

∴先用（5x5+3x4−8x3−x+8）÷（x-2），

∴

∴5x5+3x4−8x3−x+8=（x-2）（5x4+13x3+18x2+36x+71）+150，

=2（x-2）×（5x4+13x3+18x2+36x+71）+150，

=（2x-4）（x4+x3+9x2+18x+）+150，

∴f(x)=3x4−8x3+5x5−x+8除以2x-4所得的余数是150.

【解析】【分析】如果除式是一次式，但x的系数不为1，即除式ax+b(a≠0且a≠1)，可先用f(x)除以x+(这时可用综合除法)，得到f(x)=(x+)⋅q(x)+r；

从而f(x)=a(x+)⋅⋅q(x)+r=(ax+b)(⋅q(x))+r.因此所求的商式是⋅q(x)，余数仍为r．11.【答案】解：根据题意，由余数定理可知：

f(-1)=7，f(1)=5，

即，

解得：.

∴a=-3，b=9.

【解析】【分析】根据余数定理可得f(-1)=7，f(1)=5；从而得一个关于a、b的二元一次方程组，解之即可.12.【答案】解：令g（x）=x4+6x2+25，h（x）=3x4+4x2+28x+5，

∵f(x)既是多项式x4+6x2+25的因式，又是多项式3x4+4x2+28x+5的因式，

∴f(x)必定是g（x）与h（x）差的因式，

∴3g（x）-h（x）=3（x4+6x2+25）-（3x4+4x2+28x+5），

=14x2-28x+70，

=14（x2-2x+5），

∴f(x)=x2-2x+5.

【解析】【分析】根据g（x）、h（x）能被f(x)整除，所以他们的和、差、倍都能被f(x)整除，通过3g（x）-h（x）实现降次，从而得出f(x).13.【答案】解：根据题意，由余数定理可知：

f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，

设f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)，余式为ax2+cx+d，则f(x)=(x−1)(x−2)(x-3)⋅q(x)+(ax2+cx+d)，依题可得：

，

解得：.

∴所求的余式为x．

【解析】【分析】设f(x)除以(x-1)(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)，余式为ax2+cx+d，则f(x)=(x−1)(x−2)(x-3)⋅q(x)+(ax2+cx+d)，利用余数定理列出方程组，解之即可．14.【答案】解：∵f(x)=ax3+bx2−8x−12能被x-2和x-3整除，

∴f(2)=0，f(3)=0，

即，

解得：，

∴f(x)=-3x3+13x2−8x−12，

又∵f(x)=-3x3+13x2−8x−12能被x-2和x-3整除，

∴f(x)=-3x3+13x2−8x−12能被(x-2)(x-3)整除，

设f(x)除以(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)=cx+d，则f(x)=(x−2)(x−3)⋅q(x)，

∴f(x)=-3x3+13x2−8x−12=(x−2)(x−3)⋅（cx+d），

即-3x3+13x2−8x−12=cx3+（d-5c）x2+（6c-5d）x+6d，

∴，

解得：，

∴商式是-3x-2.

【解析】【分析】根据题意由余数定理可知f(2)=0，f(3)=0，列出一个关于a、b的方程，解之可得f（x）解析式；根据题意可得f(x)能被(x-2)(x-3)整除，设f(x)除以(x-2)(x-3)，所得商式为q(x)=cx+d，则f(x)=(x−2)(x−3)⋅q(x)，由待定系数法列出方程，解之即可.15.【答案】解：∵x5−5qx+4r被(x−2)2整除，

∴令f（x）=x5−5qx+4r=(x−2)2（ax3+bx2+cx+d），

即x5−5qx+4r=ax5+（b-4a）x4+（c-4b+4a）x3+（d+4b-4c）x2+4（c-d）x+4d，

∴a=1，b-4a=0，c-4b+4a=0，d+4b-4c=0，4（c-d）=-5q，4r=4d，

解得：a=1，b=4，c=12，d=32，q=16，r=32，

∴q=16，r=32.

【解析】【分析】根据x5−5qx+4r被(x−2)2整除，从而可设f（x）=x5−5qx+4r=(x−2)2（ax3+bx2+cx+d），根据待定系数法列出方程，解之即可.16.【答案】解：依题可设：

f(x)=（x2−1）（ax+b）+（2x-5），

f(x)=（x2−4）（cx+d）+（-3x+4），

∴（x2−1）（ax+b）+（2x-5）=（x2−4）（cx+d）+（-3x+4），

即ax3+bx2+（2-a）x+（-b-5）=cx3+dx2+（-4c-3）x+（4-4d），

∴，

解得：.

∴这个三次多项式是-x3+3x2+x-8．

【解析】【分析】根据题意可设f(x)=（x2−1）（ax+b）+（2x-5）=（x2−4）（cx+d）+（-3x+4），化简，根据待定系数法列出方程，解之即可.17