2024秋新教材高中数学第五章三角函数5.5三角恒等变换5.5.1第3课时二倍角的正弦余弦正切公式分层演练含解析新人教A版必修第一册

PAGE第3课时二倍角的正弦、余弦、正切公式分层演练综合提升A级基础巩固1.函数y=1-2cos2x的最小正周期是 ()A.π4 B.π2 C.π D答案:C2.若α为其次象限角,sinα=35,则sin2α= (A.-2425 B.-1225 C.1225答案:A3.若tanθ=-13,则cos2θ= (A.-45 B.-15 C.15答案:D4.若x∈-π2,0,cosx=45,则tan2x等于 ()A.724 B.-724 C.247 D答案:D5.已知π2<α<π,cosα=-4(1)求tanα的值;(2)求sin2α+cos2α的值.解:(1)因为cosα=-45,π2<α<π,所以sinα=所以tanα=sinαcosα(2)由(1)易得sin2α=2sinαcosα=-2425cos2α=2cos2α-1=725所以sin2α+cos2α=-2425+725=-B级实力提升6.化简sin2x2cosx1+tanx·tanx2= (A.cosx B.tanxC.sinx D.12sin2解析:原式=2sinxcosx2cosx1+sinsinx·cosxcosx2+sinxsin答案:B7.若θ为锐角,cos(θ+15°)=35,则cos(2θ-15°)=17解析:因为θ为锐角,cos(θ+15°)=35所以sin(θ+15°)=45所以sin(2θ+30°)=2sin(θ+15°)cos(θ+15°)=2425cos(2θ+30°)=2cos2(θ+15°)-1=2×925-1=-7所以cos(2θ-15°)=cos(2θ+30°-45°)=cos(2θ+30°)cos45°+sin(2θ+30°)sin45°=-725×22+2425×8.已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx,x∈R.(1)求fπ6的值;(2)若sinα=35,且α∈π2,π,求fα2+π24.解:(1)f(π6)=cos2π6+sinπ6(32)2+12×32(2)因为f(x)=cos2x+sinxcosx=1+cos2x2+12sin2x=12+12(sin2x+cos2x)=12+22sin所以f(α2+π24)=12+22sin(α+π12+22sin(α+π3)=12+22(12sinα又因为sinα=35,且α∈(π2,π),所以cosα=-所以f(α2+π24)=12+22(12×35-3C级挑战创新9.多空题已知sinα=35,α∈π2,π,则tan2α=-247cos2α=725解析:因为sinα=35,α∈(π2,π所以cosα=-1-sin所以tanα=sinαcosα=-34,tan2α=cos2α=2cos2α-1=72510.开放探究题某同学在一次探讨性学习中发觉,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°;②sin215°+cos215°-sin15°cos15°;③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)请依据②式求出这个常数.(2)依据(1)的计算结果,将该同学的发觉推广为三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)sin215°+cos215°-sin15°cos15°=1-12sin30°=1-14=(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=34证法1:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°·cosα+sin30°sinα)=sin2α+34cos2α+32sinα14sin2α-32sinαcosα-12sin2α=34sin2α+34证法2:sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=1-cos2α2+1+cos(sin30°sinα)=12-12cos2α+12+12(c