2024-2025学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定课时分层作业含解析新人教B版必修第一册

PAGE1-课时分层作业(七)全称量词命题与存在量词命题的否定(建议用时：40分钟)一、选择题1．命题“有些实数的肯定值是正数”的否定是()A.∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0C.∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0C[由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.]2．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是()A.存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B.不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C.对于随意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D.对于随意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0D[存在量词命题的否定是全称量词命题．故选D.]3．命题“∃x0∈R，f(x0)＜0”的否定是()A.∃x0R，f(x0)≥0 B．∀xR，f(x)≥0C.∀x∈R，f(x)≥0 D．∀x∈R，f(x)＜0C[∵命题“∃x0∈R，f(x0)＜0”是存在量词命题，∴否定命题为：∀x∈R，f(x)≥0.故选C.]4．若命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为()A.∃a＜0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解B.∃a＜0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解C.∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解D.∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解C[先否量词，后否结论，则¬p：∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解．]5．命题“对于随意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A.不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B.存在x∈R，x3－x2＋1≥0C.对随意的x∈R，x3－x2＋1＞0D.存在x∈R，x3－x2＋1＞0D[“对于随意的x∈R”的否定为“存在x∈R”，“x3－x2＋1≤0”的否定为“x3－x2＋1＞0”．故选D.]二、填空题6．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．对随意x∈R，x2＋2x＋5≠0[存在量词命题的否定是全称量词命题，将“存在”改为“随意”，“＝”改为“≠”．]7．若命题“∃x＜2019，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．[2019，＋∞)[由于命题“∃x＜2019，x＞a”是假命题，因此其否定“∀x＜2019，x≤a”是真命题，所以a≥2019.]三、解答题8．写出下列命题的否定，并推断真假．(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)非负数的平方是正数；(3)有的四边形没有外接圆；(4)∃x，y∈Z，使得eq\r(2)x＋y＝3；(5)∀x∈Z，x2与3的和不等于0.[解](1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不平行”．由平行四边形的定义知，这是假命题．(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”．因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．(3)命题的否定：“全部的四边形都有外接圆”．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题．(4)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有eq\r(2)x＋y≠3”．∵当x＝0，y＝3时，eq\r(2)x＋y＝3，∴原命题为真命题，命题的否定为假命题．(5)命题的否定：“∃x∈Z，x2与3的和等于0”．是假命题．9．命题p是“对某些实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常数．(1)写出命题p的否定；(2)当a，b满意什么条件时，命题p的否定为真？[解](1)命题p的否定：对随意实数x，有x－a≤0且x－b＞0.(2)要使命题p的否定为真，须要使不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－a≤0，,x－b＞0))的解集不为空集．通过画数轴(图略)可看出，a，b应满意的条件是b＜a.10．已知命题A“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0”．(1)写出命题A的否定；(2)若命题A是假命题，求出实数a的取值范围．[解](1)∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0.(2)∵∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1＜0为假命题，∴∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0为真命题，即Δ＝(a－1)2－4≤0，解得－1≤a≤3.11．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则()A.¬p：∀x∈A，2xB B．¬p：∀xA，2xBC.¬p：∃xA，2x∈B D．¬p：∃x∈A，2xBD[依据题意可知命题p：∀x∈A，2x∈B的否定是¬p：∃x∈A，2xB.故选D.]12．给出四个命题：①末尾数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于随意实数x，2x＋1是奇数，下列说法正确的是()A.四个命题都是真命题B.①②是全称量词命题C.②③是存在量词命题D.四个命题中有两个假命题C[①末尾数是偶数的整数能被2整除，是全称量词命题，是真命题；②有的菱形是正方形，是存在量词命题，是真命题；③存在实数x，x＞0，是存在量词命题，是真命题；④对于随意实数x，2x＋1是奇数，是全称量词命题，是假命题，故A，B，D错误，C正确．故选C.]13．命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞),则实数a的值是________．1[由题意知原命题的否定是真命题，即∀x∈R，都有x2＋2x＋m＞0是真命题．由Δ＝4－4m＜0，得m＞1∴a＝1.]14．已知命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1＞0为真命题，则实数a的取值范围是________．[0，4)[当a＝0时，1＞0恒成立，命题p为真命题．当a≠0时，若p为真命题，则需满意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－4a＜0，,a＞0，))解得0＜a＜4.综上所述，实数a的取值范围是[0，4).]15．已知命题p：∀x∈R，x2－2x＋a≥0，命题q：∃x∈R，