2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.3第2课时半角公式学案含解析北师大版必修4

PAGE第2课时半角公式学问点半角公式[填一填](1)sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2)).(2)coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2)).(3)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).留意：(1)半角的正弦、余弦、正切公式通常是用单角的余弦(或正弦和余弦)来表示，是二倍角公式的推论．(2)留意taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))的适用范围．[答一答]求半角的正切值常用什么方法？提示：依据阅历，解决半角的正切值问题有三种方法：(1)taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))；(2)taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,sinα)；(3)taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα).对半角公式的四点相识(1)半角公式的正弦、余弦公式事实上是由二倍角公式变形得到的．(2)半角公式给出了求eq\f(α,2)的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cosα的值及相应α的条件，便可求出sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f(α,2).(3)由于taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)及taneq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,sinα)不含被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于taneq\f(α,2)的题目时，运用相对便利，但须要留意该公式成立的条件．(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1－cosα,2)，cos2eq\f(α,2)＝eq\f(1＋cosα,2)求解.类型一用半角公式求值【例1】已知sinα＝－eq\f(8,17)且π<α<eq\f(3π,2)，求sineq\f(α,2)，coseq\f(α,2)，taneq\f(α,2)的值．【思路探究】半角公式是用单角的余弦值求半角的三角函数值，因此要先依据条件求出cosα，再代入半角公式求值．【解】∵sinα＝－eq\f(8,17)，π<α<eq\f(3π,2)，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－－\f(8,17)2)＝－eq\f(15,17).又eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<eq\f(3π,4)，∴sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\r(\f(1＋\f(15,17),2))＝eq\f(4\r(17),17)，coseq\f(α,2)＝－eq\r(\f(1＋cosα,2))＝－eq\r(\f(1－\f(15,17),2))＝－eq\f(\r(17),17)，taneq\f(α,2)＝eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2))＝－4.规律方法已知角α的某三角函数值，用半角公式可求eq\f(α,2)的正弦、余弦、正切值，思路是先由已知利用同角公式求出该角的余弦值，再用半角公式求解，在解题过程中要留意依据eq\f(α,2)的范围确定正负号．(1)已知θ∈(eq\f(5π,4)，eq\f(3π,2))，|cos2θ|＝eq\f(1,5)，则sinθ的值为(C)A．－eq\f(\r(10),5) B.eq\f(\r(10),5)C．－eq\f(\r(15),5) D.eq\f(\r(15),5)解析：因为θ∈(eq\f(5π,4)，eq\f(3π,2))，所以2θ∈(eq\f(5π,2)，3π)，所以|cos2θ|＝－cos2θ＝eq\f(1,5)，即cos2θ＝－eq\f(1,5)，所以sinθ＝－eq\r(\f(1－cos2θ,2))＝－eq\r(\f(1－－\f(1,5),2))＝－eq\f(\r(15),5).(2)已知sinα＝eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝eq\f(4,5)，α，β均为锐角，求coseq\f(β,2)的值．解：因为0<α<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(12,13)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(5,13)，又因为0<α<eq\f(π,2)，0<β<eq\f(π,2)，所以0<α＋β<π.若0<α＋β<eq\f(π,2)，因为eq\f(12,13)>eq\f(4,5)，即sinα>sin(α＋β)，所以α＋β<α，这不行能，所以eq\f(π,2)<α＋β<π.又因为sin(α＋β)＝eq\f(4,5)，所以cos(α＋β)＝－eq\f(3,5)，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(33,65).而0<β<eq\f(π,2)，0<eq\f(β,2)<eq\f(π,4)，所以coseq\f(β,2)＝eq\r(\f(1＋cosβ,2))＝eq\f(7\r(65),65).类型二利用公式化简【例2】化简：eq\f(1＋sinθ＋cosθsin\f(θ,2)－cos\f(θ,2),\r(2＋2cosθ))(0<θ<π)．【思路探究】式子中含有根式，先化单角为半角去根号，再利用有关公式进行化简．【解】原式＝eq\f(2sin\f(θ,2)·cos\f(θ,2)＋2cos2\f(θ,2)sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2),\r(2×2cos2\f(θ,2)))＝eq\f(2cos\f(θ,2)sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2)sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2),2cos\f(θ,2))，∵0<θ<π，∴0<eq\f(θ,2)<eq\f(π,2)，∴原式＝sin2eq\f(θ,2)－cos2eq\f(θ,2)＝－cosθ.规律方法三角函数式化简的方法与技巧(1)应用公式：依据式子的结构，明确对公式是正用、逆用，还是通过拼凑变形用．(2)统一函数名称和角：常采纳异名化同名，异角化同角等方式削减三角函数的名称和角的种类．(3)特殊值与特殊角的三角函数的互化：如eq\r(3)＝tan60°.(4)留意“1”的代换，如sin2α＋cos2α＝1，tan45°＝1.已知eq\f(3π,2)<θ<2π，试化简：eq\r(1＋sinθ)－eq\r(1－sinθ).解：原式＝|sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)|sineq\f(θ,2)－coseq\f(θ,2)|，因为θ∈(eq\f(3,2)π，2π)，所以eq\f(θ,2)∈(eq\f(3π,4)，π)，从而sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)<0，sineq\f(θ,2)－coseq\f(θ,2)>0，则原式＝－(sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2))－(sineq\f(θ,2)－coseq\f(θ,2))＝－2sineq\f(θ,2).类型三利用公式解决三角函数综合问题【例3】在△ABC中，A，B，C为三个内角，f(B)＝4cosB·sin2(eq\f(π,4)＋eq\f(B,2))＋eq\r(3)cos2B－2cosB.(1)若f(B)＝2，求角B；(2)若f(B)－m>2恒成立，求实数m的取值范围．【思路探究】本题主要考查倍角公式，两角和、差公式及已知三角函数值求角、求最值．化简f(B)，并考虑0<B<π即可解题．【解】(1)f(B)＝4cosB·eq\f(1－cos\f(π,2)＋B,2)＋eq\r(3)cos2B－2cosB＝2cosB(1＋sinB)＋eq\r(3)cos2B－2cosB＝2cosBsinB＋eq\r(3)cos2B＝sin2B＋eq\r(3)cos2B＝2sin(2B＋eq\f(π,3))．∵f(B)＝2，∴2sin(2B＋eq\f(π,3))＝2，∴2B＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，∴B＝eq\f(π,12)＋kπ，k∈Z.∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,12).(2)f(B)－m>2恒成立，即2sin(2B＋eq\f(π,3))>2＋m恒成立．∵0<B<π，∴2sin(2B＋eq\f(π,3))∈[－2,2]，∴2＋m<－2，∴m<－4.规律方法倍角公式在三角形问题中的应用的解题方法先逆用倍角公式对三角函数式降幂，然后通过引入协助角化成一个三角函数，最终结合三角形内角的取值范围求出三角函数的值域或最值．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2eq\r(3)sinxcosx(x∈R)．(1)求f(eq\f(2π,3))的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．解：(1)由sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，coseq\f(2π,3)＝－eq\f(1,2)，得f(eq\f(2π,3))＝(eq\f(\r(3),2))2－(－eq\f(1,2))2－2eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)×(－eq\f(1,2))＝2.(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx，得f(x)＝－cos2x－eq\r(3)sin2x＝－2sin(2x＋eq\f(π,6))，所以f(x)的最小正周期是π.令eq\f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得eq\f(π,6)＋kπ≤x≤eq\f(2π,3)＋kπ，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间是[eq\f(π,6)＋kπ，eq\f(2π,3)＋kπ](k∈Z)．——易错警示——应用半角公式求值时的易错点【例4】设3π<α<4π，coseq\f(α,2)＝m，那么coseq\f(α,4)等于()A.eq\r(\f(m＋1,2)) B．－eq\r(\f(m＋1,2))C．－eq\r(\f(1－m,2)) D.eq\r(\f(1－m,2))【错解】C或A【正解】由于coseq\f(α,2)＝2cos2eq\f(α,4)－1，可得cos2eq\f(α,4)＝eq\f(cos\f(α,2)＋1,2)①，又3π<α<4π，所以eq\f(3π,4)<eq\f(α,4)<π②.所以coseq\f(α,4)<0，所以coseq\f(α,4)＝－eq\r(\f(m＋1,2)).【错解分析】选C.将①处的余弦降幂公式错记为正弦降幂公式导致错选C；选A.忽视对②处角的探讨导致符号错误，错选A.【答案】B【防范措施】1.熟记三角函数公式娴熟记忆并能敏捷运用三角函数公式是正确解题的前提，如本例①处对公式的变形应用．2．明确三角函数值的符号应用半角公式求值时，要特殊留意半角的三角函数值符号的确定，否则会出现符号的失误，如本例②处对角的范围的计算，是明确coseq\f(α,4)值的符号的关键．若cosα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限的角，则eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))等于(A)A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．2D．－2解析：因为α是第三象限角，cosα＝－eq\f(4,5)，所以sinα＝－eq\f(3,5).所以eq\f(1＋tan\f(α,2),1－tan\f(α,2))＝eq\f(1＋\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)),1－\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))＝eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)－sin\f(α,2))×eq\f(cos\f(α,2)＋sin\f(α,2),cos\f(α,2)＋sin\f(α,2))＝eq\f(1＋sinα,cosα)＝－eq\f(1,2).一、选择题1．在taneq\f(x,2)的定义域内，下列各式中恒成立的一个是(C)A．taneq\f(x,2)＝eq\r(\f(1－cosx,1＋cosx)) B．taneq\f(x,2)＝－eq\r(\f(1－cosx,1＋cosx))C．taneq\f(x,2)＝eq\f(1－cosx,sinx) D．taneq\f(x,2)＝eq\f(sinx,1－cosx)2．若cosα＝eq\f(2,3)，且α∈(0,2π)，则sineq\f(α,2)等于(A)A.eq\f(\r(6),6) B．－eq\f(\r(6),6)C.eq\f(\r(30),6) D．－eq\f(\r(30),6)解析：∵α∈(0,2π)，∴eq\f(α,2)∈(0，π)．∴sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\r(\f(1－\f(2,3),2))＝eq\r(\f(1,6))＝eq\f(\r(6),6).3．已知sineq\f(α,2)＝eq\f(4,5)，coseq\f(α,2)＝－eq\f(3,5)，则α所在的象限是(C)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝2×eq\f(4,5)×(－eq\f(3,5))＝－eq\f(2