2024-2025学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2第1课时函数的奇偶性课时作业含解析新人教A版必修第一册

PAGEPAGE1课时作业22函数的奇偶性时间：45分钟——基础巩固类——eq\a\vs4\al(一、选择题)1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(D)A．y＝x＋1 B．y＝－x2C．y＝eq\f(1,x) D．y＝x|x|解析：y＝x＋1不是奇函数；y＝－x2是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数；y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上是减函数，故A，B，C都错．选D．事实上，y＝x|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≥0，,－x2，x<0，))画出图象(图略)，由图象可知，该函数既是奇函数又是增函数．2．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点(C)A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a)) D．(a，f(eq\f(1,a)))解析：∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．∴选C．3．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上肯定是(A)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：∵F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，定义域为R，∴函数F(x)在R上是奇函数．4．已知f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x<0时，有(B)A．f(x)≤2 B．f(x)≥2C．f(x)≤－2 D．f(x)∈R解析：可画出满意题意的一个f(x)的大致图象如图所示，由图易知当x<0时，有f(x)≥2.故选B．5．若函数f(x)是奇函数，则f(1＋eq\r(2))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－\r(2))))＝(B)A．－1 B．0C．1 D．2解析：eq\f(1,1－\r(2))＝eq\f(1＋\r(2),1－\r(2)1＋\r(2))＝－(1＋eq\r(2))．∵f(x)是奇函数，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－\r(2))))＝f[－(1＋eq\r(2))]＝－f(1＋eq\r(2))．∴f(1＋eq\r(2))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1－\r(2))))＝0.选B．6．已知函数f(x)满意f(x)·f(－x)＝1，且f(x)>0恒成立，则函数g(x)＝eq\f(fx－1,fx＋1)是(A)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数解析：∵f(x)·f(－x)＝1，f(x)>0恒成立，∴f(－x)＝eq\f(1,fx)>0，∴g(－x)＝eq\f(f－x－1,f－x＋1)＝eq\f(\f(1,fx)－1,\f(1,fx)＋1)＝eq\f(1－fx,1＋fx)＝－g(x)，∴g(x)是奇函数．eq\a\vs4\al(二、填空题)7．对于函数y＝f(x)，定义域为D∈[－2,2]，以下命题正确的是②③④.(填序号)①若f(－1)＝f(1)，f(－2)＝f(2)，则y＝f(x)是D上的偶函数；②若对于随意x∈[－2,2]，都有f(－x)＋f(x)＝0，则y＝f(x)是D上的奇函数；③若f(2)≠f(－2)，则f(x)不是偶函数；④若f(－2)＝f(2)，则该函数可能是奇函数．解析：①中不满意偶函数定义中的随意性，因此①不对；②中由f(x)＋f(－x)＝0可知f(－x)＝－f(x)，因此f(x)是D上的奇函数；当f(－2)≠f(2)时，函数f(x)肯定不是偶函数，故③对；④中若满意f(－2)＝f(2)＝0，此时函数可能是奇函数，因此④正确．8．设函数y＝f(x)是奇函数，若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝－3.解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．又f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，∴f(1)＋f(2)＝－3.9．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)＝－26.解析：令h(x)＝x5＋ax3＋bx，易知h(x)为奇函数．因为f(x)＝h(x)－8，h(x)＝f(x)＋8，所以h(－2)＝f(－2)＋8＝18.h(2)＝－h(－2)＝－18，所以f(2)＝h(2)－8＝－18－8＝－26.eq\a\vs4\al(三、解答题)10．已知函数f(x)＝eq\f(1,x2＋1)在区间[0，＋∞)上的图象如图所示，请据此在该坐标系中补全函数f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据．解：∵f(x)＝eq\f(1,x2＋1)，∴f(x)的定义域为R.又对随意x∈R，都有f(－x)＝eq\f(1,－x2＋1)＝eq\f(1,x2＋1)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．则f(x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示．11．推断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x2＋eq\f(1,x2)；(2)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－2，x≥0，,－xx＋2，x<0.))解：(1)偶函数．定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又因为f(－x)＝(－x)2＋eq\f(1,－x2)＝x2＋eq\f(1,x2)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(2)奇函数．定义域为R.又因为f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1|＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)奇函数．画出其图象如图，可见f(x)的定义域为R，且图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数．——实力提升类——12．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(C)A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)g(x)|为偶函数，故选C．13．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(C)A．－3 B．－1C．1 D．3解析：用“－x”代替“x”，得f(－x)－g(－x)＝(－x)3＋(－x)2＋1，化简得f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f(1)＋g(1)＝1，故选C．14．若函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a等于1.解析：∵y＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，∴1－a＝0，即a＝1.15．已知函数f(x)＝eq\f(px2＋2,3x＋q)是奇函数，且f(2)＝eq\f(5,3).(1)求p，q的值；(2)推断f(x)在(1，＋∞)上的单调性．解：(1)由奇函数定义，得f(－x)＝－f(x)，即eq\f(p－x2＋2,－3x＋q)＝－eq\f(px2＋2,3x＋q).∴－3x＋q＝－3x－q，∴2q＝0，∴q＝0.又f(2)＝eq\f(5,3)，∴eq\f(p×22＋2,3×2)＝eq\f(5,3)，解得p＝2，∴p＝2，q＝0.(2)f(x)＝eq\f(2x2＋2,3x)＝eq\f(2,3)(x＋eq\f(1,x))．设1<x1<x2，则Δx＝x1－x2<0，Δy＝f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,3)(x1＋eq\f(1,x1)－x2－eq\