2024新教材高中数学单元素养评价二含解析新人教B版必修第二册

PAGE课时素养评价单元素养评价(二)(第五章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.为全面地了解学生对任课老师教学的满足程度,特在某班开展教学调查.采纳简洁随机抽样的方法,从该班抽取20名学生,依据他们对语文、数学老师教学的满足度评分(百分制),绘制茎叶图如图.设该班学生对语文、数学老师教学的满足度评分的中位数分别为a,b,则 ()A.a<b B.a>bC.a=b D.无法确定【解析】选A.由茎叶图得:a=75+762b=75+772所以a<b.【补偿训练】如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场竞赛得分的茎叶图,已知甲的成果的极差为31,乙的成果的平均值为24,则下列结论错误的是 ()A.x=9B.y=8C.乙的成果的中位数为26D.乙的成果的方差小于甲的成果的方差【解析】选B.因为甲的成果的极差为31,所以其最高成果为39,所以x=9;因为乙的成果的平均值为24,所以y=24×5-(12+25+26+31)-20=6;由茎叶图知乙的成果的中位数为26;对比甲、乙的成果分布发觉,乙的成果比较集中,故其方差较小.2.(2024·吉林高一检测)若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m,n,则点P(m,n)满足函数y=-x+4上的概率是 ()A.13 B.14 C.16【解析】选D.连续抛掷两次骰子出现的结果共有6×6=36个,其中每个结果出现的概率都是等可能的,点P(m,n)在直线x+y=4上包含的结果有(1,3),(2,2),(3,1)共3个,所以点P(m,n)在直线x+y=4上的概率是336=13.在一般中学新课程改革中,某地实施“3+1+2”选课方案.该方案中“2”指的是从政治、地理、化学、生物4门学科中任选2门,假设每门学科被选中的可能性相等,那么政治和地理至少有一门被选中的概率是 ()A.16 B.12 C.23【解析】选D.设A={两门至少有一门被选中},则A={两门都没有选中},A包含1个基本领件,则P(A)=16,所以P(A)=1-16=【补偿训练】某校举办一场篮球投篮选拔竞赛,竞赛的规则如下:每个选手先后在二分区、三分区和中场跳球区三个区域各投一球,只有当前一次球投进后才能投下一次,三次全投进就算胜出,否则即被淘汰.已知某选手在二分区投中球的概率为45,在三分区投中球的概率为35,在中场跳球区投中球的概率为25,且在各位置投球是否投进互不影响A.825 B.1325 C.101125【解析】选C.记“该选手能投进第i个球”为事务Ai(i=1,2,3),则PA1=45,PA2PA3=2PA1+A1AP(A2)+PA1PA2P(A3)=15+45×25+44.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图,则下列结论中不肯定正确的是 ()注:90后指1990-1999年之间诞生,80后指1980-1989年之间诞生,80前指1979年及以前诞生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多【解析】选D.对于选项A,互联网行业从业人员中90后占56%,占一半以上,所以该选项正确;对于选项B,互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的39.6%×56%=22.176%,超过总人数的20%,所以该选项正确;对于选项C,互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%×17%=9.52%,比80前多,所以该选项正确.对于选项D,互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%×17%=9.52%,80后占总人数的41%,所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不肯定比80后多.所以该选项不肯定正确.5.某年级有12个班,现要从2班到12班中选1个班的学生参与一项活动,有人提议:掷两个骰子,得到的点数之和是几就选几班,这种选法 ()A.公允,每个班被选到的概率都为1B.公允,每个班被选到的概率都为1C.不公允,6班被选到的概率最大D.不公允,7班被选到的概率最大【解析】选D.P(1)=0,P(2)=P(12)=136,P(3)=P(11)=118,P(4)=P(10)=P(5)=P(9)=19,P(6)=P(8)=536,P(7)=6.“微信抢红包”自2024年以来异样火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8元,被随机安排为1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元,5份供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 ()A.310 B.25 C.12【解析】选D.由题意,所发红包的总金额为8元,被随机安排为1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元,5份,供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本领件的总数为10,甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本领件有6个,分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55),所以甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为P=610=37.甲、乙两名同学在5次数学考试中,成果统计图用茎叶图表示如图所示,若甲、乙两人的平均成果分别用x甲、x乙表示,A.x甲>x乙B.x甲>x乙C.x甲<x乙D.x甲<x乙【解析】选A.x甲=90,x乙=88,所以x甲>x乙,甲的成果的方差是158.甲、乙两位同学各拿出6张嬉戏牌,用作掷骰子的奖品,两人商定:骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分,否则乙得1分,先积得3分者获胜,得全部12张嬉戏牌,并结束嬉戏.竞赛起先后,甲积2分,乙积1分,这时因意外事务中断嬉戏,以后他们不想再接着这场嬉戏,下面对这12张嬉戏牌的分协作理的是()A.甲得9张,乙得3张B.甲得6张,乙得6张C.甲得8张,乙得4张D.甲得10张,乙得2张【解析】选A.由题意,得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为12所以甲获胜的概率是12+12×12乙获胜的概率是12×12=所以甲得到的嬉戏牌为12×34=9(张),乙得到的嬉戏牌为12×1二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.中国篮球职业联赛(CBA)中,某男篮球运动员在最近几次参与的竞赛中的得分状况如表:投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该运动员在一次投篮中,投中两分球为事务A,投中三分球为事务B,没投中为事务C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是 ()A.PA=0.55 B.PB=0.18C.PC=0.27 D.PB+【解析】选ABC.由题意可知,PA=55100=0.55,PB=18所以PC=1-PA=1-PA-PB=0.27,PB+C=PB+P10.某高校从参与今年自主招生考试的学生中随机抽取50名学生的成果作为样本,得到频率分布表如下 ()组号分组频数频率第一组[230,235)80.16其次组[235,240)①0.24第三组[240,245)15②第四组[245,250)100.20第五组[250,255]50.10合计501.00A.表中①位置的数据是12B.表中②位置的数据是0.3C.在第三、四、五组中用分层抽样法抽取6名学生进行其次轮考核,则第三组抽取2人D.在第三、四、五组中用分层抽样法抽取的6名学生中录用2名学生,则2人中至少有1名是第四组的概率为0.5【解析】选AB.①位置的数据为50-(8+15+10+5)=12,A正确;②位置的数据为1550由分层随机抽样得,第三、四、五组参与考核的人数分别为3,2,1,C错误;设上述6人为a,b,c,d,e,f(其中第四组的两人分别为d,e),则从6人中任取2人的全部状况为ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15种.记“2人中至少有1名是第四组的”为事务A,则事务A所含的基本领件的种数为9.所以P(A)=915=35,故2人中至少有1名是第四组的概率为11.甲、乙两人进行射击竞赛,各射击4局,每局射击10次,射击命中目标得1分,未命中目标得0分.两人4局的得分状况如表:在4局竞赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,则x的取值可能是 ()甲6699乙79xyA.6 B.7 C.8 D.9【解析】选ABC.由题意,在4局竞赛中,若甲、乙两人的平均得分相同,且乙的发挥更稳定,则甲、乙的平均数相同,即6+6+9+94=7+9+解得x+y=14,即y=14-x,由乙的发挥更稳定,则甲的方差大于乙的方差:即14[(6-7.5)2+(6-7.5)2+(9-7.5)2+(9-7.5)2]>14[(6-7.5)2+(9-7.5)2+(x-7.5)2+(y-7.5)即4.5>(x-7.5)2+(y-7.5)2=(x-7.5)2+(6.5-x)2,代入验证,可得x=6,7,8符合上述不等式.12.如图是2024年第一季度五省GDP状况图,则下列描述中正确的是 ()A.与去年同期相比2024年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长B.2024年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省C.2024年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D.去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元【解析】选ABD.由2024年第一季度五省GDP状况图,知:在A中,与去年同期相比,2024年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长,A正确;在B中,2024年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省,故B正确;在C中,2024年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南,共2个,故C不正确;在D中,去年同期河南省的总量增长百分之六点六后达到2024年的4067.4亿元,可得去年同期河南省的总量不超过4000亿元,故D正确.【补偿训练】2010～2024年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动汽车及物联网等新机遇,连接器行业增长呈现加速状态.依据该折线图,下列结论正确的为 ()A.每年市场规模量逐年增加B.增长最快的一年为2013～2024C.这8年的增长率约为40%D.2024年至2024年每年的市场规模相对于2010年至2024年每年的市场规模,数据方差更小,改变比较平稳【解析】选BCD.考查所给的结论:2011～2012年的市场规模量有所下降,A错误;增长最快的一年为2013～2024,B正确;这8年的增长率约为63.513.某工厂生产A,B两种元件,现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测,检测结果记录如表:A777.599.5B6x8.58.5y由于表格被污损,数据x,y看不清,统计员只记得A,B两种元件的检测数据的平均数相等,方差也相等,则xy=________.

【解析】因为xA=15xB=15由xA=xB因为sA2=1sB2=15×[4+(8-x)2由sA2=sB2,得x2由①②可得(x+y)2=145+2xy=289,解得xy=72.答案:7214.(2024·天津高一检测)一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等),若a,b,c∈1,2,3,4,且a,b,c互不相同,则这个三位数为【解析】由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,共6个;同理由1,2,4组成的三位自然数共6个;由1,3,4组成的三位自然数也是6个;由2,3,4组成的三位自然数也是6个.所以共有6+6+6+6=24个.由1,2,3组成的三位自然数,共6个“有缘数”.由1,3,4组成的三位自然数,共6个“有缘数”.所以三位数为“有缘数”的概率P=1224=1答案:115.某电子商务公司对10000名网络购物者在2024年度的消费状况进行统计,发觉消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]内,其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a=________.

(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为_______.

【解析】(1)由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1,解得a=3.(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为0.2×0.1+0.8×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10000=6000.答案:(1)3(2)600016.(2024·临沂高一检测)某单位年初有两辆车参与某种事故保险,对在当年内发生此种事故的每辆车,单位均可获赔(假设每辆车最多只获一次赔偿).设这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121,且各车是否发生事故相互独立,则一年内该单位在此种保险中获赔的概率为________(【解析】因为这两辆车在一年内发生此种事故的概率分别为120和121,所以这两辆车在一年内不发生此种事故的概率分别为1920和2021,两辆车在一年内都不发生此种事故的概率为1920×2021=答案:2四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)某公司为了了解一年内的用水状况,抽取了10天的用水量如表所示:天数1112212用水量/吨22384041445095(1)在这10天中,该公司用水量的平均数是多少?(2)在这10天中,该公司每天用水量的中位数是多少?(3)你认为应当用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量?【解析】(1)x=110(22+38+40+2×41+2×44+50+2×(2)中位数为41+442(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大,使平均数在估计总体时牢靠性降低,10天的用水量有8天都在平均值以下,故用中位数描述每天的用水量更合适.18.(12分)从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图),(1)由图中数据求a的值;(2)若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参与一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为多少?(3)估计这所小学的小学生身高的众数,中位数(保留两位小数)及平均数.【解析】(1)因为直方图中的各个矩形的面积之和为1,所以有10×(0.005+0.035+a+0.020+0.010)=1,解得a=0.030;(2)由直方图知,三个区域内的学生总数为100×10×(0.030+0.020+0.010)=60人,其中身高在[140,150]内的学生人数为10人,所以从身高在[140,150]范围内抽取的学生人数为1860×(3)依据频率分布直方图知,身高在[110,120)内的小矩形图最高,所以该组数据的众数为110+1202又0.005×10+0.035×10=0.4<0.5,0.4+0.030×10=0.7>0.5,所以中位数在[120,130)内,则中位数为120+0.10.依据频率分布直方图,计算平均数为105×0.05+115×0.35+125×0.3+135×0.2+145×0.1=124.5(cm).19.(12分)某校学生社团组织活动丰富,学生会为了解同学对社团活动的满足程度,随机选取了100位同学进行问卷调查,并将问卷中的这100人依据其满足度评分值(百分制)依据[40,50),[50,60),[60,70),…,[90,100]分成6组,制成如图所示频率分布直方图.(1)求图中x的值;(2)求这组数据的中位数;(3)现从被调查的问卷满足度评分值在[60,80)的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解,再从这5人中随机抽取2人作主题发言,求抽取的2人恰在同一组的概率.【解析】(1)由(0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x)×10=1,解得x=0.020.(2)中位数设为m,则0.05+0.1+0.2+(m-70)×0.03=0.5,解得m=75.(3)可得满足度评分值在[60,70)内有20人,抽得样本为2人,记为a1,a2,满足度评分值在[70,80)内有30人,抽得样本为3人,记为b1,b2,b3,记“5人中随机抽取2人作主题发言,抽出的2人恰在同一组”为事务A,基本领件有(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共10个,A包含的基本领件个数为4个,利用古典概型概率公式可知P(A)=0.4.【补偿训练】黄冈“一票通”景区旅游年卡,是由黄冈市旅游局策划,黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程.持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区.为合理配置旅游资源,现对已巡游某签约景区的游客进行满足度调查.随机抽取100位游客进行调查评分(满分100分),评分的频率分布直方图如图.(1)求a的值并估计评分的平均数;(2)为了了解游客心声,调研机构用分层抽样的方法从评分为[60,65),[65,70)的游客中抽取了6名,听取他们对该景区建设的建议.现从这6名游客中选取2人,求这2人中至少有一个人的评分在[60,65)内的概率;(3)为更广泛了解游客想法,调研机构对全部评分从低到高排序的前86%游客进行了网上问卷调查并随调查表赠送小礼品,估计收到问卷调查表的游客的最高分数.【解析】(1)由5×(0.01+0.02+2a+0.06+0.04+0.01)=1,得a=0.03.游客评分的平均数为:62.5×0.05+67.5×0.1+72.5×0.15+77.5×0.3+82.5×0.2+87.5×0.15+92.5×0.05=78.25.(2)抽取的6名游客,评分在65,70内的4个,记为1,2,3,4,在从这6人随机选取2人,有12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56共15种选法,其中至少有一个在60,由古典概型概率公式可知P=915=3(3)评分低于85分的概率为0.05+0.1+0.15+0.3+0.2=0.8,故评分最低的前86%最高分在85,设最高分为x,由(x-85)×0.03=0.06,得x=87.20.(12分)甲、乙两位学生参与数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参与的若干次预赛成果中随机抽取8次,记录如下:甲:8281797895889384乙:9295807583809085(1)用茎叶图表示这两组数据;(2)现要从中选派一人参与数学竞赛,从统计学的角度(可结合平均数和方差进行分析)考虑,你认为选派哪位学生参与合适?请说明理由.【解析】(1)作出茎叶图如图:(2)x甲=18x乙=18s甲2=18×[(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)+(95-85)2]=35.5,s乙2=18×[(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2(90-85)2+(92-85)2+(95-85)2]=41.因为x甲=x乙,s甲所以甲的成果较稳定,派甲参赛比较合适.【补偿训练】近年来,我国很多地方出现雾霾天气,影响了人们的出行、工作与健康.雾霾天气的形成与PM2.5有关,PM2.5日均值越小,空气质量越好.为加强生态文明建设,我国国家环保部发布了《环境空气质量标准》,见下表:PM2.5日均值k/(μg·m-1)空气质量等级k≤35一级35<k≤75二级k>75污染某环保部门为了了解甲、乙两城市的空气质量状况,在某月中分别随机抽取了甲、乙两城市6天的PM2.5日均值作为样本,样本数据绘制的茎叶图如图所示(十位为茎,个位为叶).(1)分别求甲、乙两城市PM2.5日均值的样本平均数,据此推断该月中哪个城市的空气质量较好;(2)若从甲城市这6天的样本数据中随机抽取2天的数据,求恰有1天的空气质量等级为一级的概率.【解析】(1)甲城市抽取的样本数据分别是32,34,45,56,63,70;乙城市抽取的样本数据为33,46,47,51,64,71.x甲=32+34+45+56+63+70x乙=33+46+47+51+64+71因为x甲<x(2)由茎叶图,知甲城市这6天中有2天的空气质量等级为一级,有4天的空气质量等级为二级,记空气质量等级为二级的这4天的数据分别为a,b,c,d,空气质量等级为一级的这2天的数据分别为m,n,则从这6天中抽取2天,这个试验的样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n)},共有15个样本点,且这15个样本点出现的可能性相等.记“恰有1天的空气质量等级为一级”为事务A,则事务A包含的样本点有(a,m),(b,m),(c,m),(d,m),(a,n),(b,n),(c,n),(d,n),共8个.所以P(A)=815,即恰有1天的空气质量等级为一级的概率为821.(12分)一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表(单位:辆):轿车A轿车B轿车C舒适型100z400标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.(1)求z的值.(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率.(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个样本,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的肯定值不超过0.5的概率.【解析】(1)