2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算学案含解析新人教A版选修2-1

PAGE8-3.1.1空间向量及其加减运算[目标]1.了解空间向量的概念，驾驭空间向量的几何表示和字母表示.2.驾驭空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义．[重点]空间向量加减运算及其几何意义．[难点]向量加减运算由平面对空间的推广．学问点一空间向量的有关概念[填一填]1．定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度：向量的大小叫做向量的长度或模．4．几类特别向量[答一答]1．向量可以用有向线段表示，那么有向线段是向量吗？提示：不是．虽然有向线段既有大小又有方向，但它不是一个量．2．如何理解零向量的方向？提示：由于零向量的长度为零，可以理解为表示零向量的有向线段长度为零，因此可以理解为零向量不是没有方向，而是方向是随意的．3．你能说出平面对量与空间向量的区分与联系吗？提示：(1)区分：平面对量探讨的是二维平面的向量，空间向量探讨的是三维空间的向量．(2)联系：空间向量的定义、表示方法及零向量、单位向量、相反向量和相等向量的概念都与平面对量相同．学问点二空间向量的加减运算[填一填][答一答]4．空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？提示：因为空间中随意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面对量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的．5．共起点的两个不共线向量的和向量所对应的线段是平行四边形的对角线，那么三个不共面的向量的和向量与这三个向量有什么关系？提示：如图，将三个不共面的向量平移至同一起点，以这三个向量所对应的线段为棱作平行六面体，则这三个向量的和向量所对应的线段即为从该起点动身的平行六面体的体对角线．1．零向量的方向是随意的，同平面对量中的规定一样，0与任何空间向量平行．2．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．3．空间随意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间随意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面对量的加、减法运算．类型一空间向量的有关概念【例1】给出以下命题：①若a，b是空间向量，则|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件；②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|；③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；④若空间向量m，n，p满意m＝n，n＝p，则m＝p；⑤在正方体ABCD­A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(A1C1,\s\up16(→))；⑥空间中随意两个单位向量必相等．其中，正确的命题序号是________．【分析】用空间向量的有关概念进行推断．【解析】以上命题①②④⑤正确．两向量若相等，必需方向相同且模相等．但相等的向量起点不肯定相同，故③错；两个单位向量虽模相等，但方向不肯定相同，故⑥错．【答案】①②④⑤与平面对量一样，空间向量也有向量的模、向量的夹角、单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量的概念.两个向量是否相等，要看方向是否相同，模是否相等，与起点和终点位置无关.(1)把空间全部单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是(C)A．一个圆 B．两个孤立的点C．一个球面 D．以上均不正确(2)下列命题中正确的个数是(C)①假如a，b是两个单位向量，则|a|＝|b|；②两个空间向量共线，则这两个向量方向相同；③若a，b，c为非零向量，且a∥b，b∥c，则a∥c；④空间随意两个非零向量都可以平移到同一平面内．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：(1)单位向量的模为1，把全部空间单位向量移到共同起点后，向量的终点到起点的距离均为1，构成了一个球面．(2)对于①：由单位向量的定义即得|a|＝|b|＝1，故①正确；对于②：共线不肯定同向，故②错；对于③：正确；对于④：正确，在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内．类型二空间向量的加减运算【例2】如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x、y、z的值．(1)eq\o(BD′,\s\up16(→))＝xeq\o(AD,\s\up16(→))＋yeq\o(AB,\s\up16(→))＋zeq\o(AA′,\s\up16(→))；(2)eq\o(AE,\s\up16(→))＝xeq\o(AD,\s\up16(→))＋yeq\o(AB,\s\up16(→))＋zeq\o(AA′,\s\up16(→)).【解】(1)∵eq\o(BD′,\s\up16(→))＝eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DD′,\s\up16(→))＝eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(DD′,\s\up16(→))＝－eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→))，又eq\o(BD′,\s\up16(→))＝xeq\o(AD,\s\up16(→))＋yeq\o(AB,\s\up16(→))＋zeq\o(AA′,\s\up16(→))，∴x＝1，y＝－1，z＝1.(2)∵eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AA′,\s\up16(→))＋eq\o(A′E,\s\up16(→))＝eq\o(AA′,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′C′,\s\up16(→))＝eq\o(AA′,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(A′B′,\s\up16(→))＋eq\o(A′D′,\s\up16(→)))＝eq\o(AA′,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′B′,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(A′D′,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→))，又eq\o(AE,\s\up16(→))＝xeq\o(AD,\s\up16(→))＋yeq\o(AB,\s\up16(→))＋zeq\o(AA′,\s\up16(→))，∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1.敏捷运用空间向量的加法与减法法则，尽量走边路即沿几何体的边选择途径，多个向量运算时，先视察分析“首尾相接”的向量，使之结合，运用减法时，把握“共起点，方向指向被减向量”.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量eq\o(AC1,\s\up16(→))的共有(D)①(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋eq\o(CC1,\s\up16(→))；②(eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1D1,\s\up16(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up16(→))；③(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BB1,\s\up16(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up16(→))；④(eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1B1,\s\up16(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up16(→)).A．1个B．2个C．3个D．4个解析：①(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→)))＋eq\o(CC1,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CC1,\s\up16(→))＝eq\o(AC1,\s\up16(→))；②(eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1D1,\s\up16(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up16(→))＝eq\o(AD1,\s\up16(→))＋eq\o(D1C1,\s\up16(→))＝eq\o(AC1,\s\up16(→))；③(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BB1,\s\up16(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up16(→))＝eq\o(AB1,\s\up16(→))＋eq\o(B1C1,\s\up16(→))＝eq\o(AC1,\s\up16(→))；④(eq\o(AA1,\s\up16(→))＋eq\o(A1B1,\s\up16(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up16(→))＝eq\o(AB1,\s\up16(→))＋eq\o(B1C1,\s\up16(→))＝eq\o(AC1,\s\up16(→)).所以，所给4个式子的运算结果都是eq\o(AC1,\s\up16(→)).故选D.类型三有关向量的证明问题【例3】求证：平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处相互平分．【分析】解决这个问题要充分利用课本上的一个结论，即平行六面体体对角线向量eq\o(AC′,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→)).【证明】如下图，平行六面体ABCD­A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，则eq\o(AO,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC′,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→)))．设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点．则eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BP,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD′,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BB′,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)(－eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→)))．同理可证：eq\o(AM,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→)))，eq\o(AN,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→)))．由此可知O、P、M、N四点重合．故平行六面体的体对角线相交于一点，且在交点处相互平分．利用向量解决立体几何问题的一般思路是：将要解决的问题用向量表示，用已知向量表示所需向量，对表示出的所需向量进行目标运算，再将运算结果转化为要解决的问题.如图，设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．求证：eq\o(AG,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→)))．解：如图，连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，知eq\o(BG,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up16(→)).∵E为CD的中点，∴eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up16(→)).∴eq\o(AG,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BG,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→)))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)[(eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＋(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))]＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))).1．推断下列命题中为真命题的是(A)A．向量eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(BA,\s\up16(→))的长度相等B．将空间中全部的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等解析：|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(BA,\s\up16(→))|，故选项A对；选项B应为球面；选项C，空间向量可以用有向线段来表示，但不等同于有向线段；选项D，向量不相等有可能模相等．2．设A、B、C为空间随意三点，则下列命题为假命题的是(C)A.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))B.eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))＝0C.eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))D.eq\o(AB,\s\up16(→))＝－eq\o(BA,\s\up16(→))3．如右图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up16(→))＝c，则eq\o(BD′,\s\up16(→))＝b－a＋c，eq\o(A′C,\s\up16(→))＝a＋b－c.解析：eq\o(BD′,\s\up16(→))＝eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DD′,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AA′,\s\up16(→))＝b－a＋c，eq\o(A′C,\s\up16(→))＝eq\o(A′A,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(A′A,\s\up16(→))＝a＋b－c.4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，化简eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))－eq\o(DA,\s\up16(→))