2024-2025学年高中数学第二章概率课时作业62.1离散型随机变量及其分布列含解析北师大版选修2-3

课时作业6离散型随机变量及其分布列时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．一个袋子中有质量相等的红、黄、绿、白四种小球各若干个，一次倒出三个小球，下列变量是离散型随机变量的是(D)A．小球滚出的最大距离B．倒出小球所需的时间C．倒出的三个小球的质量之和D．倒出的三个小球的颜色种数解析：A，B不能一一列举，不是离散型随机变量，而C是常量，是个确定值，D可能取1,2,3，是离散型随机变量．2．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事务为(C)A．X＝4 B．X＝5C．X＝6 D．X≤4解析：第一次取到黑球，则放回1个球，其次次取到黑球，则共放回2个球，…，共放回5个球，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.3．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，若P(X<4)＝0.3，则n＝(C)A．3 B．4C．10 D．不确定解析：∵X等可能取1,2,3，…，n，∴X的每个值的概率均为eq\f(1,n).由题意知P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,n)＝0.3，∴n＝10.4．离散型随机变量ξ全部可能值的集合为{－2,0,3,5}，且P(ξ＝－2)＝eq\f(1,4)，P(ξ＝3)＝eq\f(1,2)，P(ξ＝5)＝eq\f(1,12)，则P(ξ＝0)的值为(C)A．0 B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)解析：依据离散型随机变量分布列的性质有P(ξ＝－2)＋P(ξ＝0)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝1，所以eq\f(1,4)＋P(ξ＝0)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,12)＝1.解得P(ξ＝0)＝eq\f(1,6).5．设某项试验的胜利率是失败率的2倍，用随机变量ξ去描述1次试验的胜利次数，P(ξ＝0)等于(C)A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：设ξ的分布列为ξ01Pp2p则“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验胜利，设失败率为p，则胜利率为2p.∴由p＋2p＝1得p＝eq\f(1,3).应选C.6．随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(eq\f(1,2)<ξ<eq\f(5,2))的值为(D)A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5) D.eq\f(5,6)解析：因为P(ξ＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，所以eq\f(a,2)＋eq\f(a,6)＋eq\f(a,12)＋eq\f(a,20)＝1，所以a＝eq\f(5,4)，因为P(eq\f(1,2)<ξ<eq\f(5,2))＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(5,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(5,4)×eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).故选D.7．设随机变量X等可能地取值1,2,3,4，…，10.又设随机变量Y＝2X－1，P(Y<6)的值为(A)A．0.3 B．0.5C．0.1 D．0.2解析：Y<6，即2X－1<6，∴X<3.5.X＝1,2,3，P＝eq\f(3,10).8．若随机变量η的分布列如下：η－2－10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是(C)A．x≤2 B．1≤x≤2C．1<x≤2 D．1<x<2解析：由题意知，P(η<－1)＝0.1，P(η<0)＝0.3，P(η<1)＝0.5，P(η<2)＝0.8，P(η<3)＝0.9，则当P(η<x)＝0.8时，实数x的取值范围是1<x≤2.二、填空题9．设随机变量ξ的可能取值为5,6,7，…，16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝eq\f(2,3)，P(6<ξ≤14)＝eq\f(2,3).解析：因为P(ξ＝5)＋P(ξ＝6)＋…＋P(ξ＝16)＝1，且P(ξ＝5)＝P(ξ＝6)＝…＝P(ξ＝16)，所以P(ξ＝5)＝P(ξ＝6)＝…＝P(ξ＝16)＝eq\f(1,12)，则P(ξ>8)＝P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)＋…＋P(ξ＝16)＝eq\f(1,12)×8＝eq\f(2,3).P(6<ξ≤14)＝p(ξ＝7)＋P(ξ＝8)＋…＋P(ξ＝14)＝eq\f(1,12)×8＝eq\f(2,3).10．设随机变量ξ的分布列为ξ1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)则m＝eq\f(1,4)，η＝ξ－3的分布列为η－2－101Peq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,6)解析：首先由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝1，得m＝eq\f(1,4).再由随机变量ξ和η＝ξ－3表示的试验结果是相同的，可以求出η＝ξ－3对应的概率，列出分布列．11．随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝eq\f(2,3)，公差d的取值范围是(－eq\f(1,3)，eq\f(1,3))．解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1,3)，P(|ξ|＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).又a＝eq\f(1,3)－d，c＝eq\f(1,3)＋d，依据分布列的性质，得0<eq\f(1,3)－d<eq\f(2,3)，0<eq\f(1,3)＋d<eq\f(2,3)，∴－eq\f(1,3)<d<eq\f(1,3)，即公差d的取值范围为(－eq\f(1,3)，eq\f(1,3))．三、解答题12．写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，取到白球的个数ξ.(2)一个袋中装有5个同样大小的球，编号分别为1,2,3,4,5.现从该袋中随机取出3个球，被取出的最大号码数ξ.(3)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对表，他所等待的时间ξ.解：(1)ξ可取0,1,2.ξ＝i表示取出的3个球中有i个白球、3－i个黑球，其中i＝0,1,2.(2)ξ可取3,4,5.ξ＝3表示取出的3个球的编号分别为1,2,3；ξ＝4表示取出的3个球的编号分别为1,2,4或1,3,4或2,3,4；ξ＝5表示取出的3个球的编号分别为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5.(3)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内随意一个值，每一个取值表示这个人所等待的时间．13．旅游公司为3个旅游团供应4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条线路．(1)求3个旅游团选择3个不同线路的概率；(2)求选择甲线路的旅游团数的分布列．解：(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为eq\f(A\o\al(3,4),43)＝eq\f(3,8).(2)设选择甲线路的旅游团数为ξ，则ξ＝0,1,2,3.P(ξ＝0)＝eq\f(33,43)＝eq\f(27,64)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·32,43)＝eq\f(27,64)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)·3,43)＝eq\f(9,64)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),43)＝eq\f(1,64).所以ξ的分布列为ξ＝k0123P(ξ＝k)eq\f(27,64)eq\f(27,64)eq\f(9,64)eq\f(1,64)——实力提升类——14．一用户在打电话时遗忘了号码的最终三个数字，只记得最终三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最终三个数字(两两不同)，设他拨到所要号码的次数为ξ，则随机变量ξ的可能取值共有24种．解析：后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有Aeq\o\al(3,4)＝24(种)，故随机变量ξ的可能取值共有24(种)．15．在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．(1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率；(2)记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2.求随机变量ξ的分布列．解：(1)记“这3个数中恰有1个是偶数”为事务A，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21).(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2，ξ＝1表示3个数中只有1组相邻的数，则P(ξ＝1)＝eq\f(2