达州市高二数学试卷

达州市高二数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=x^3-3x^2+2$，则$f'(x)$的零点为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

2.已知数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，则$a_5$的值为（）

A.16

B.17

C.18

D.19

3.设集合$A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,3,4\}$，则$A\capB$的元素个数为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

4.若等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，公差$d=3$，则$a_{10}$的值为（）

A.32

B.33

C.34

D.35

5.已知圆的方程为$x^2+y^2-4x-6y+9=0$，则圆的半径为（）

A.1

B.2

C.3

D.4

6.若等比数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公比$q=2$，则$a_4$的值为（）

A.24

B.48

C.96

D.192

7.设函数$f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}$，则$f'(x)$的值为（）

A.$-\frac{1}{x^2}$

B.$\frac{1}{x^2}$

C.$-\frac{1}{(x+1)^2}$

D.$\frac{1}{(x+1)^2}$

8.若不等式$2x-3>x+1$，则$x$的取值范围为（）

A.$x>4$

B.$x\geq4$

C.$x<4$

D.$x\leq4$

9.已知数列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_{n+1}=\sqrt{a_n}$，则$a_4$的值为（）

A.1

B.$\sqrt{2}$

C.2

D.$\sqrt{3}$

10.若等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，公差$d=-2$，则$a_{10}$的值为（）

A.-13

B.-14

C.-15

D.-16

二、判断题

1.函数$f(x)=x^2-4x+4$的图像是一个开口向上的抛物线。（）

2.等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$d$为公差。（）

3.集合的并集包含所有属于至少一个集合的元素。（）

4.等比数列的公比$q$满足$q\neq1$时，数列的极限为$\frac{a_1}{1-q}$。（）

5.若函数$f(x)$在区间$(a,b)$上连续，则$f(x)$在该区间上一定有最大值和最小值。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=2x^3-6x^2+9x-1$，则$f'(x)$的值为__________。

2.数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=3n^2+2n$，则$a_4=$__________。

3.集合$A=\{x|x^2-4x+3=0\}$，$B=\{x|x\leq2\}$，则$A\cupB=$__________。

4.若等比数列$\{a_n\}$的第一项$a_1=1$，公比$q=\frac{1}{2}$，则$a_5=$__________。

5.函数$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$的定义域为__________。

四、简答题

1.简述一次函数的图像和性质，并举例说明一次函数在实际问题中的应用。

2.解释等差数列和等比数列的定义，并给出一个具体的例子，说明如何计算这两个数列的前$n$项和。

3.说明集合的交、并、补集的概念，并举例说明如何运用这些概念解决实际问题。

4.阐述函数的定义域和值域的概念，并举例说明如何确定一个函数的定义域和值域。

5.简述极限的概念，并解释如何使用极限的概念来计算函数在某一点的导数。

五、计算题

1.计算函数$f(x)=x^3-9x+5$在$x=2$处的导数。

2.已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=3n-2$，求该数列的前10项和$S_{10}$。

3.解不等式组$\begin{cases}2x-3>x+1\\x-2\leq5\end{cases}$，并写出解集。

4.计算下列极限：$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$。

5.已知圆的方程为$x^2+y^2-4x+6y-12=0$，求圆心坐标和半径。

六、案例分析题

1.案例背景：某公司生产一种产品，已知其生产成本函数为$C(x)=1000+20x$，其中$x$为生产的产品数量。同时，该公司的销售价格函数为$P(x)=50-0.5x$，其中$x$为销售的产品数量。求：

a)当生产数量为多少时，公司的利润最大？

b)求出最大利润是多少？

2.案例背景：某班级有50名学生，成绩分布大致符合正态分布。已知班级的平均成绩为75分，标准差为10分。求：

a)该班级成绩在60分以下的学生大约有多少人？

b)如果要提高班级平均成绩，应该如何调整？请结合正态分布的性质给出建议。

七、应用题

1.应用题：某商店以每件20元的成本价购进一批商品，为了吸引顾客，商店决定以每件25元的售价进行销售。已知每件商品的进价和售价之间存在以下关系：售价=进价+固定利润+每件商品利润。如果商店希望每件商品的利润为5元，求商店的固定利润。

2.应用题：某班级学生参加数学竞赛，成绩分布符合正态分布，平均分为80分，标准差为10分。如果希望至少有75%的学生成绩在80分以上，那么该班级至少需要有多少名学生参加竞赛？

3.应用题：一家工厂生产一种产品，每生产一件产品需要消耗电能$E(x)=2x^2+3x$（单位：千瓦时），其中$x$为生产的产品数量。已知工厂的电费为每千瓦时0.8元，求：

a)当生产多少件产品时，工厂的电费最低？

b)求出最低电费是多少？

4.应用题：某城市为了缓解交通拥堵，计划修建一条新的道路。已知现有道路上的车辆流量$V(t)$随时间$t$（单位：小时）变化的关系为$V(t)=120t-3t^2$。如果新道路可以减少50%的车辆流量，求新道路上的车辆流量$V'(t)$随时间$t$变化的关系。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.B

2.B

3.B

4.A

5.C

6.B

7.A

8.A

9.A

10.B

二、判断题答案

1.×

2.√

3.√

4.√

5.×

三、填空题答案

1.$f'(x)=6x^2-12x+9$

2.$S_{10}=255$

3.$A\cupB=\{x|x\leq5\}$

4.$a_5=\frac{1}{16}$

5.定义域为$\{x|x\neq2\}$

四、简答题答案

1.一次函数的图像是一条直线，其斜率表示函数的变化率，截距表示函数与y轴的交点。一次函数在实际问题中可以用来描述直线运动、线性增长等。

2.等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差。等比数列的通项公式为$a_n=a_1\cdotq^{n-1}$，其中$a_1$是首项，$q$是公比。等差数列的前$n$项和为$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，等比数列的前$n$项和为$S_n=a_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}$（$q\neq1$）。

3.集合的交是指同时属于两个集合的元素组成的集合，并集是指属于至少一个集合的元素组成的集合，补集是指不属于某个集合的元素组成的集合。

4.函数的定义域是指函数可以取到的所有实数值的集合，值域是指函数输出值可以取到的所有实数值的集合。

5.极限的概念是指当自变量的取值趋近于某个值时，函数的取值趋近于某个确定的值。使用极限的概念可以计算函数在某一点的导数，即$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。

五、计算题答案

1.$f'(2)=6\cdot2^2-12\cdot2+9=12$

2.$S_{10}=\frac{10(1+3\cdot10-2)}{2}=255$

3.解不等式组得$x>4$，$x\leq7$，因此解集为$4<x\leq7$。

4.$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4$

5.圆的标准方程为$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$，其中$(h,k)$是圆心坐标，$r$是半径。将方程$x^2+y^2-4x+6y-12=0$化为标准方程得$(x-2)^2+(y+3)^2=25$，因此圆心坐标为$(2,-3)$，半径为$5$。

六、案例分析题答案

1.a)固定利润为$5$元，每件商品利润为$5$元，因此售价为$20+5+5=30$元。b)最大利润出现在销售量等于生产量时，即$30x=20x+20$，解得$x=20$，最大利润为$20\cdot5=100$元。

2.a)根据正态分布的性质，$75$分以下的学生占比为$1-\Phi\left(\frac{75-80}{10}\right)$，其中$\Phi$是标准正态分布的累积分布函数。计算得占比约为$0.1587$，因此大约有$50\cdot0.1587\approx7.935$名学生，约8名学生。

3.a)电费最低时，生产量$x$满足$E(x)=2x^2+3x$最低，即$E'(x)=4x+3=0$