2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱棱锥棱台的表面积和体积课时作业含解析新人教A版必修第二册

PAGE1-课时作业24棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是(A)A．6eq\r(3) B．3eq\r(6)C．11 D．12解析：设长方体长、宽、高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，bc＝9，相乘得(abc)2＝108，∴V＝abc＝6eq\r(3).2．已知棱台的两个底面面积分别是245cm2和80cm2，截得此棱台的棱锥的高为35cm，则这个棱台的高为(B)A．20cmB．15cmC．10cmD．25cm解析：设棱台高为h，则截去的小棱锥的高为35－h，由截面性质知eq\f(80,245)＝(eq\f(35－h,35))2，解得h＝15，即棱台的高为15cm.3．假如一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9cm3，则其表面积为(A)A．18eq\r(3)cm2B．18cm2C．12eq\r(3)cm2D．12cm2解析：设正四面体的棱长为acm，则底面积为eq\f(\r(3),4)a2cm2，易求得高为eq\f(\r(6),3)acm，则体积为eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(2),12)a3＝9，解得a＝3eq\r(2)，所以其表面积为4×eq\f(\r(3),4)a2＝18eq\r(3)(cm2)．4．一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体积是8，它的表面积是32，且满意b2＝ac，那么这个长方体棱长的和是(B)A．28B．32C．36D．40解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·b·c＝8，①,ab＋bc＋ca＝16，②,b2＝ac，③))将③代入①得b3＝8，b＝2，∴ac＝4，代入②得a＋c＝6.∴长方体棱长的和为4(a＋b＋c)＝4×8＝32.5．正三棱锥的底面边长为a，高为eq\f(\r(6),6)a，则三棱锥的侧面积等于(A)A.eq\f(3,4)a2 B.eq\f(3,2)a2C.eq\f(3\r(3),4)a2 D.eq\f(3\r(3),2)a2解析：如图，VO＝eq\f(\r(6),6)a，OA＝eq\f(a,2)·eq\f(\r(3),3)＝eq\f(\r(3),6)a，∴VA＝eq\f(1,2)a，∴S侧＝eq\f(1,2)·3a·eq\f(1,2)a＝eq\f(3,4)a2，故选A.6．长方体的高等于h，底面积等于a，过相对侧棱的截面面积等于b，则此长方体的侧面积等于(C)A．2eq\r(b2＋ah2)B．2eq\r(2b2＋ah2)C．2eq\r(b2＋2ah2)D.eq\r(b2＋2ah2)解析：如图，由条件知AB·BC＝a，且AC·h＝b，∴AC＝eq\f(b,h)，即AB2＋BC2＝eq\f(b2,h2)＝(AB＋BC)2－2a，∴AB＋BC＝eq\f(\r(b2＋2ah2),h).∴S侧＝2(AB＋BC)·h＝2eq\r(b2＋2ah2)，故选C.二、填空题7．已知一个长方体的三个面的面积分别是eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(6)，则这个长方体的体积为eq\r(6).解析：设长方体从一点动身的三条棱长分别为a，b，c，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＝\r(2)，,ac＝\r(3)，,bc＝\r(6)，))三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝eq\r(6).8．一个六棱锥的体积为2eq\r(3)，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为12.解析：设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.由题意，得eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×h＝2eq\r(3)，∴h＝1，∴斜高h′＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，∴S侧＝6×eq\f(1,2)×2×2＝12.9．如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1­BB1D1D的体积为eq\f(1,3).解析：∵正方体棱长为1，∴矩形BB1D1D的长和宽分别为1，eq\r(2).∵四棱锥A1­BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1对角线长的一半，即为eq\f(\r(2),2)，∴V四棱锥A1­BB1D1D＝eq\f(1,3)×1×eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3).三、解答题10．如图，在三棱柱A1B1C1­ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F­ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1­ABC的体积为V2，求V1V解：设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于eq\f(1,4)S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥F­ADE的高等于eq\f(1,2)h，于是三棱锥F­ADE的体积V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S×eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，故V1V2＝124.11．若E，F是三棱柱ABC­A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A­BEFC解：如图所示，连接AB1，AC1.∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．又四棱锥A­BEFC的高与四棱锥A­B1EFC1的高相等，∴VA­BEFC＝VA­B1EFC1＝eq\f(1,2)VA­BB1C1C.又VA­A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h，VABC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝∴VA­A1B1C1＝eq\f(m,3)，∴VA­BB1C1C＝VABC­A1B1C1－VA­A1B1C1＝eq\f(2,3)∴VA­BEFC＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)m＝eq\f(m,3)，即四棱锥A­BEFC的体积是eq\f(m,3).——实力提升类——12．(多选)已知长方体ABCD­A1B1C1D1的一条棱ADA．90eq\r(3) B．180C．60 D．18eq\r(91)解析：由题意可知，AD＝3，截面边长为6,10，则AD为底面的棱，底面对角线长为6或10，分类探讨．13．在三棱锥A­BCD中，P、Q分别在棱AC、BD上，连接AQ、CQ、BP、DP、PQ，若三棱锥A­BPQ，B­CPQ，C­DPQ的体积分别为6,2,8，则三棱锥A­BCD的体积为(D)A．20B．24C．28D．40解析：如图所示，VA­BPQVB­CPQ＝62，VB­APQVB­CPQ＝S△APQS△CPQ＝62.类似地VA­DPQVC­DPQ＝VD­APQVD­CPQ＝S△APQS△CPQ＝62.其中VC­DPQ＝8，∴VA­DPQ8＝62.∴VA­DPQ＝24，∴VA­BDC＝6＋2＋8＋24＝40.14．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8cm和18cm，侧棱长为13cm，则这个正四棱台的侧面积为624_cm2，表面积为1_012_cm2.解析：由已知可得正四棱台侧面梯形的高为h＝eq\r(132－\f(18－8,2)2)＝12(cm)，所以S侧＝4×eq\f(1,2)×(8＋18)×12＝624(cm2)，S上底＝8×8＝64(cm2)，S下底＝18×18＝324(cm2)，于是表面积为S＝624＋64＋324＝1012(cm2)．15．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：(1)交