2024-2025学年高中数学周练卷1习题含解析新人教A版选修2-3VIP

周练卷(一)一、选择题(每小题5分，共35分)1．用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n<55，n∈N*)为(D)A．Aeq\o\al(14,55) B．Aeq\o\al(15,55－n)C．Aeq\o\al(55－n,69) D．Aeq\o\al(15,69－n)解析：因为55－n,56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有(69－n)－(55－n)＋1＝15个连续的自然数，所以(55－n)·(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).2．已知Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，则n的值为(B)A．4B．5C．6D．7解：由Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.3．将2位新同学分到4个班中的2个班中去，共有的分法种数为(B)A．4B．12C．6D．24解析：共有Aeq\o\al(2,4)＝12种分法．4．沪宁铁路途上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁铁路途上的这六个大站间打算的不同火车票的种数为(A)A．30B．15C．81D．36解析：所求问题可归结为求从6个不同元素中每次取出2个不同元素的排列，共Aeq\o\al(2,6)＝6×5＝30(种)．故选A.5．有不同的5本书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．现把它们摆放成一排，要求2本数学书不能相邻，则这5本书的不同摆放种数是(D)A．24B．36C．48D．72解析：先排语文、物理书，有Aeq\o\al(3,3)种方法．然后将数学书插空，有Aeq\o\al(2,4)种方法，由分步乘法计数原理，得不同摆放种数为Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,4)＝72.6．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数字中任取2个不同的数字分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为(D)A．56B．54C．53D．52解析：在8个数中任取2个不同的数可以组成Aeq\o\al(2,8)＝56个对数值．但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满意条件的对数值共有56－4＝52(个)．7．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有(C)A．250个 B．249个C．48个 D．24个解析：当千位排数字4或3时，其他三个数位上的数字从剩余的4个数字中任选3个全排，得到的四位数都满意题设条件，因此满意题设条件的四位数共有Aeq\o\al(3,4)＋Aeq\o\al(3,4)＝2×4×3×2＝48(个)，故选C.二、填空题(每小题5分，共20分)8．满意不等式eq\f(A\o\al(7,n),A\o\al(5,n))>12的n的最小值为10.解析：由排列数公式得eq\f(n！n－5！,n－7！n！)>12，即(n－5)·(n－6)>12，解得n>9或n<2.又n≥7，所以n>9，所以n的最小值为10.9．奥运选手选拔赛上，8名男运动员参与100米决赛，其中甲、乙、丙三人必需在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则支配这8名运动员竞赛的方式共有2_880.解析：分两步支配这8名运动员．第一步：支配甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可支配，所以支配方式有4×3×2＝24(种)．其次步：支配另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道支配，所以支配方式有5×4×3×2×1＝120(种)．所以支配这8人的方式有24×120＝2880(种)．10．把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在如图中的1,2,3,4,5,6,7所示的位置上，其中3盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法有4_320种．解析：先将7盆花全排列，共有Aeq\o\al(7,7)种排法，其中3盆兰花排在一条直线上的排法有5Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)种，故所求摆放方法有Aeq\o\al(7,7)－5Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝4320(种)．11．如图是一个正方体纸盒的绽开图，把1,2,3,4,5,6分别填入小正方形后，按虚线折成正方体，则所得到的正方体相对面上的2个数的和都相等的概率是eq\f(1,15).解析：6个数随意填入6个小正方形中有6！＝720种不同的填法．将6个数分三组1,6；2,5；3,4，每组中的2个数填入一对面中，共有Aeq\o\al(3,3)×2×2×2＝48种不同的填法，故所求概率P＝eq\f(48,720)＝eq\f(1,15).三、解答题(共45分)12．(15分)求证：Aeq\o\al(1,1)＋2Aeq\o\al(2,2)＋3Aeq\o\al(3,3)＋…＋nAeq\o\al(n,n)＝(n＋1)！－1.证明：方法1：∵2Aeq\o\al(2,2)＝3Aeq\o\al(2,2)－Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(2,2)，3Aeq\o\al(3,3)＝4Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(3,3)＝Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3)，…nAeq\o\al(n,n)＝(n＋1)Aeq\o\al(n,n)－Aeq\o\al(n,n)＝Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－Aeq\o\al(n,n)，∴左边＝(Aeq\o\al(2,2)－Aeq\o\al(1,1))＋(Aeq\o\al(3,3)－Aeq\o\al(2,2))＋(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))＋…＋(Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－Aeq\o\al(n,n))＝Aeq\o\al(n＋1,n＋1)－Aeq\o\al(1,1)＝(n＋1)！－1＝右边，∴原式成立．方法2：∵(n＋1)！＝(n＋1)·n！＝nAeq\o\al(n,n)＋Aeq\o\al(n,n)＝nAeq\o\al(n,n)＋nAeq\o\al(n－1,n－1)＝nAeq\o\al(n,n)＋(n－1)Aeq\o\al(n－1,n－1)＋Aeq\o\al(n－1,n－1)＝nAeq\o\al(n,n)＋(n－1)Aeq\o\al(n－1,n－1)＋(n－2)Aeq\o\al(n－2,n－2)＋Aeq\o\al(n－2,n－2)＝…＝nAeq\o\al(n,n)＋(n－1)Aeq\o\al(n－1,n－1)＋…＋2Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(1,1)＋Aeq\o\al(1,1)，∴(n＋1)！－1＝Aeq\o\al(1,1)＋2Aeq\o\al(2,2)＋3Aeq\o\al(3,3)＋…＋nAeq\o\al(n,n)，∴原式成立．13．(15分)7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男生4名，女生2名，在下列状况下，各有多少种不同的站法？(1)2名女生必需相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不相等，按从高到低或从低到高的依次站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有Aeq\o\al(2,2)种站法，将2名女生视为一个整体与其余5人全排列，有Aeq\o\al(6,6)种站法，所以共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(6,6)＝1440种不同的站法．(2)先排老师和女生，有Aeq\o\al(3,3)种站法，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空1名，有Aeq\o\al(4,4)种站法，所以共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)＝144种不同的站法．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高依次的站法有Aeq\o\al(4,4)种，而按从高到低或从低到高的依次站，有2种，所以共有2×eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(4,4))＝420种不同的站法．(4)中间和两端是特别位置，可按如下分类求解：①老师站两端中的一端，另一端站男生，有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)种站法；②两端全由男生站，老师站除两端和正中间外的另外4个位置之一，有Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)种站法．所以共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(2,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝2112种不同的站法．14．(15分)某市田径集训队有4名队员，要参与4×100接力竞赛，依据队员的训练成果，甲不能跑第一棒，乙