2024-2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课时分层作业含解析新人教A版选修1-1

PAGE6-课时分层作业(六)(建议用时：40分钟)一、选择题1．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,169)＝1的焦点坐标为()A．(5,0)，(－5,0) B．(0,5)，(0，－5)C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0)C[c2＝169－25＝144，c＝12，故选C．]2．已知椭圆过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的标准方程是()A．x2＋eq\f(y2,25)＝1B．eq\f(x2,25)＋y2＝1或x2＋eq\f(y2,25)＝1C．eq\f(x2,25)＋y2＝1D．以上都不对A[设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,25)m＋16n＝1，,\f(16,25)m＋9n＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(1,25).))∴椭圆的方程为x2＋eq\f(y2,25)＝1.]3．若椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距为2，则m的值为()A．5 B．3C．5或3 D．8C[由题意可知m－4＝1或4－m＝1，即m＝3或5.]4．设F1，F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于()A．5 B．4C．3 D．1B[由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝eq\r(5)，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2eq\r(5))2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×4×2＝4，故选B．]5．假如方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a＋6)＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是()A．(3，＋∞)B．(－∞，－2)C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D．(3，＋∞)∪(－6，－2)D[由于椭圆的焦点在x轴上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＞a＋6，,a＋6＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2a－3＞0，,a＞－6.))解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D．]二、填空题6．已知椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m为________．4或eq\r(34)[因为2c＝6，所以c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2，由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，所以m2＝16，又m>0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25，a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝eq\r(34).综上，实数m的值为4或eq\r(34).]7．已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且eq\o(PF1,\s\up8(→))⊥eq\o(PF2,\s\up8(→)).若△PF1F2的面积为9，则b＝________.3[依题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|·|PF2|＝18，,|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，))可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有8．椭圆的两焦点为F1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1[如图，当P在y轴上时△PF1F2的面积最大，∴eq\f(1,2)×8b＝12，∴b＝3.又∵c＝4，∴a2＝b2＋c2＝25.∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1.]三、解答题9．设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．[解]∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，∴2a＝4，a2∵点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))是椭圆上的一点，∴eq\f(\r(3)2,4)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2),b2)＝1，∴b2＝3，∴c2＝1，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知点A(0，eq\r(3))和圆O1：x2＋(y＋eq\r(3))2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．[解]因为|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，所以|PO1|＋|PA|＝4，又因为|O1A|＝2eq\r(3)<4，所以点P的轨迹是以A，O1为焦点的椭圆，所以c＝eq\r(3)，a＝2，b＝1.所以动点P的轨迹方程为x2＋eq\f(y2,4)＝1.1．“2<m<6”是“方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B[若eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆．则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2>0，,6－m>0，,m－2≠6－m，))∴2<m<6且m≠4.故“2<m<6”是“eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示椭圆”的必要不充分条件．]2．已知椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且eq\o(MF1,\s\up8(→))·eq\o(MF2,\s\up8(→))＝0，则点M到x轴的距离为()A．eq\f(2\r(3),3) B．eq\f(2\r(6),3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\r(3)C[设M(x0，y0)，由F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)得eq\o(MF1,\s\up8(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)，eq\o(MF2,\s\up8(→))＝(eq\r(3)－x0，－y0)，由eq\o(MF1,\s\up8(→))·eq\o(MF2,\s\up8(→))＝0得xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝3，又eq\f(x\o\al(2,0),4)＋yeq\o\al(2,0)＝1，解得y0＝±eq\f(\r(3),3).即点M到x轴的距离为eq\f(\r(3),3)，故选C．]3．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|(O为坐标原点)的值为________．4[如图所示．|ON|＝eq\f(1,2)|MF2|＝eq\f(1,2)(2×5－|MF1|)＝4.]4．如图所示，F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为eq\r(3)的正三角形，则b2＝________.2eq\r(3)[设正三角形POF2的边长为c，则eq\f(\r(3),4)c2＝eq\r(3)，解得c＝2，从而|OF2|＝|PF2|＝2，连接PF1(图略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2，则|PF1|＝eq\r(|F1F2|2－|PF2|2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3)，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(3)＋2，即a＝eq\r(3)＋1，所以b2＝a2－c2＝(eq\r(3)＋1)2－4＝2eq\r(3).]5．设椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点(如图所示)，∠F1F2B＝eq\f(2π,3)，△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍．若|AB|＝eq\f(15,2)，求椭圆C的方程．[解]由题意可得S△F1F2A＝2S△F1所以|F2A|＝2|F2B由椭圆的定义得|F1B|＋|F2B|＝|F1A|＋|F2A|＝设|F2A|＝2|F2B|＝2在△F1F2B(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·coseq\f(2π,3)，所以m＝eq\f(2a2－c2,2a＋c).