北民大往届离散数学试卷

北民大往届离散数学试卷一、选择题

1.离散数学中，下列哪个是集合论的基本概念？

A.图

B.树

C.函数

D.矩阵

2.在离散数学中，以下哪种图结构被称为无向图？

A.有向图

B.有权图

C.无权图

D.无向带权图

3.下列关于图论的叙述，哪个是错误的？

A.图论是研究图的性质和结构的学科。

B.有向图中的边是有方向的。

C.在无向图中，边的两个端点可以互换。

D.树是一种特殊的图，它没有环。

4.在集合论中，下列哪个是等价关系的定义？

A.自反性、对称性和传递性

B.稳定性、可传递性和一致性

C.自反性、非对称性和传递性

D.自反性、非传递性和一致性

5.在离散数学中，以下哪种关系被称为偏序关系？

A.等价关系

B.全序关系

C.偏序关系

D.非序关系

6.在离散数学中，下列哪个是图论中的一个基本定理？

A.欧拉定理

B.赫尔曼-波普法定理

C.莫里斯-克尼普定理

D.胡尔维茨定理

7.在离散数学中，下列哪个是函数的定义？

A.一个集合到另一个集合的映射

B.一个集合到其自身的映射

C.一个子集到其自身的映射

D.一个子集到另一个子集的映射

8.在离散数学中，以下哪个是布尔代数的定义？

A.一个集合上的运算系统

B.一个图论中的运算系统

C.一个组合数学中的运算系统

D.一个集合论中的运算系统

9.在离散数学中，以下哪个是递归定义的定义？

A.一个定义依赖于自身

B.一个定义依赖于其他定义

C.一个定义依赖于数学归纳法

D.一个定义依赖于函数

10.在离散数学中，以下哪个是归纳证明的步骤？

A.基础步骤、归纳步骤和结论

B.基础步骤、假设步骤和结论

C.假设步骤、基础步骤和结论

D.假设步骤、归纳步骤和结论

二、判断题

1.在图论中，如果一个无向图的所有边都是相等的，那么这个图一定是平衡的。（）

2.在集合论中，集合A和集合B的笛卡尔积A×B包含所有可能的有序对（a，b），其中a属于A，b属于B。（）

3.在离散数学中，一个函数f是从集合A到集合B的映射，如果对于A中的每个元素a，都存在唯一的b属于B使得f(a)=b，那么这个函数f是单射的。（）

4.在布尔代数中，对于任意元素a和b，有(a∨b)∨(a∧b)=a∨b。（）

5.在离散数学的递归定义中，如果一个递归定义包含一个基础情形和一个递归情形，那么这个定义一定是有效的。（）

三、填空题

1.在图论中，一个图的最小生成树是指一棵包含图中所有顶点的______树，且包含的边数最小。

2.集合论中，两个集合A和B的笛卡尔积A×B的基数（即元素个数）等于______。

3.函数f是从集合A到集合B的映射，如果对于A中的每个元素a，都有唯一的b属于B使得f(a)=b，那么f是______函数。

4.在布尔代数中，对于任意元素a和b，______运算符表示“非”运算。

5.在离散数学的数学归纳法中，证明一个性质P(n)对所有自然数n成立时，通常需要证明两部分：P(______)成立，以及假设P(k)成立时，证明P(k+1)也成立。

四、简答题

1.简述图论中图的连通性的概念，并说明如何判断一个无向图是否是连通的。

2.请解释集合论中的基数（cardinality）的概念，并举例说明如何计算有限集合的基数。

3.简要介绍递归函数的概念，并举例说明递归函数在离散数学中的应用。

4.解释什么是布尔代数，并列举布尔代数中的基本运算及其性质。

5.在离散数学中，为什么数学归纳法是证明数学命题的一种有效方法？请说明数学归纳法的基本步骤。

五、计算题

1.计算集合{1,2,3,4,5}的所有子集的个数。

2.给定一个有向图，其顶点集合为V={A,B,C,D}，边集合为E={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}，计算该图的所有简单路径。

3.设集合A={a,b,c}，集合B={1,2,3}，计算A×B的笛卡尔积，并列举所有可能的有序对。

4.已知递归函数f(n)=f(n-1)+2n-1，且f(1)=1，计算f(5)的值。

5.给定一个布尔表达式：(A∨B)∧(¬C∨D)，其中A、B、C、D为布尔变量，计算该表达式的真值表。

六、案例分析题

1.案例分析：社交网络中的朋友圈推荐

假设你正在设计一个社交网络平台，该平台需要根据用户的兴趣和社交关系推荐新的朋友。用户在平台上有一个好友列表，以及一个表示兴趣的标签集合。请你分析如何使用图论中的概念来设计这个推荐系统。

2.案例分析：电子商务网站的商品分类

一个电子商务网站需要根据商品的属性和用户的行为来对商品进行分类。假设网站上的商品可以被分类为多个类别，并且每个商品可以属于多个类别。请你分析如何使用集合论中的概念来设计这个商品分类系统，并讨论如何处理商品的多重分类问题。

七、应用题

1.应用题：最小生成树的计算

给定一个加权无向图，顶点集合为V={A,B,C,D,E}，边集合为E={(A,B,2),(A,C,3),(B,C,1),(B,D,4),(C,D,2),(C,E,1),(D,E,3)}。使用普里姆算法计算该图的最小生成树，并输出生成树的边及其权重。

2.应用题：集合的基数计算

假设有一个集合A，包含以下元素：{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}。请使用集合论中的概念，计算集合A的基数，并说明计算过程。

3.应用题：递归函数的应用

编写一个递归函数，该函数接收一个整数参数n，并返回从1到n的所有整数的和。例如，当n=5时，函数应返回1+2+3+4+5的结果。

4.应用题：布尔表达式的简化

给定一个布尔表达式：(P∧(Q∨¬R))∨(¬P∧R)，使用布尔代数的基本运算（分配律、结合律、交换律、德摩根律等）简化该表达式，并写出简化后的表达式。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.C

2.C

3.B

4.A

5.C

6.A

7.A

8.A

9.A

10.A

二、判断题答案：

1.×

2.√

3.√

4.√

5.×

三、填空题答案：

1.最小权

2.|A|×|B|

3.单射

4.¬

5.1

四、简答题答案：

1.图的连通性是指图中任意两个顶点之间都存在一条路径。判断一个无向图是否连通，可以使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法遍历图的顶点，如果能够访问到所有顶点，则图是连通的。

2.集合的基数是指集合中元素的数量。计算有限集合的基数，只需计数集合中的元素即可。

3.递归函数是一种在函数定义中直接或间接调用自己的函数。递归函数在离散数学中的应用包括计算阶乘、斐波那契数列等。

4.布尔代数是研究布尔值及其运算的代数系统。布尔代数中的基本运算包括合取（∧）、析取（∨）、否定（¬）和非（¬）。

5.数学归纳法是一种证明数学命题的方法。其基本步骤包括证明基础情形（即命题对于最小的自然数n成立），以及假设命题对于某个自然数k成立，证明命题对于k+1也成立。

五、计算题答案：

1.2^5=32（集合{1,2,3,4,5}的所有子集个数）

2.简单路径：{A,B},{A,C},{A,D},{A,C,D},{B,C},{B,D},{B,C,D},{C,D},{A,C,D,A},{B,C,D,B},{B,C,D,A},{C,D,A,C},{D,A,C},{D,A,C,D}

3.A×B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)}

4.f(5)=f(4)+2*5-1=(f(3)+2*4-1)+2*5-1=...=1+2*5-1=9

5.真值表：

P|Q|R|¬R|Q∨¬R|P∧(Q∨¬R)|¬P|¬P∧R|(P∧(Q∨¬R))∨(¬P∧R)

T|T|T|F|T|T|F|F|T|

T|T|F|T|T|T|F|F|T|

T|F|T|F|F|F|F|F|F|

T|F|F|T|T|T|F|T|T|

F|T|T|F|T|F|T|F|T|

F|T|F|T|T|T|T|T|T|

F|F|T|F|F|F|T|F|F|

F|F|F|T|T|T|T|T|T|

知识点总结：

1.图论：图的连通性、路径、最小生成树、图的遍历（DFS和BFS）。

2.集合论：集合的基数、笛卡尔积、等价关系、偏序关系。

3.函数：函数的定义、单射、满射、双射。

4.布尔代数：布尔运算（合取、析取、否定、非）、布尔代数的基本性质。

5.递归与归纳：递归函数的定义、递归定义、数学归纳法。

题型知识点详解及示例：

1.选择题：考察对基本概念和定义的理解，如集合、图、函数、布尔代数等。

2.判断题：考察对基本概念和性质的记忆，如集合的基数、图的连通性、布尔代数的运算性质等