2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.4向量的数量积课时作业新人教A版必修第二册

PAGE1-6.2.4向量的数量积一、选择题1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝()A．12B．12eq\r(2)C．－12eq\r(2)D．－12解析：m·n＝|m||n|cosθ＝4×6×cos45°＝24×eq\f(\r(2),2)＝12eq\r(2).答案：B2．已知a·b＝－12eq\r(2)，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|＝()A．12B．3C．6D．3eq\r(3)解析：a·b＝|a||b|cos135°＝－12eq\r(2)，又|a|＝4，解得|b|＝6.答案：C3．已知向量a，b满意|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则a与b的夹角为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)解析：因为|a|＝2，a·(b－a)＝－1，所以a·(b－a)＝a·b－a2＝a·b－22＝－1，所以a·b＝3.又因为|b|＝3，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3,2×3)＝eq\f(1,2).又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,3).答案：C4．若a·b＞0，则a与b的夹角θ的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))解析：因为a·b＞0，所以cosθ＞0，所以θ∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).答案：A二、填空题5．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，则eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))的值是________．解析：方法一eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))＝|eq\o(AB,\s\up10(→))||eq\o(BC,\s\up10(→))|cos(180°－∠B)＝－|eq\o(AB,\s\up10(→))||eq\o(BC,\s\up10(→))|cos∠B＝－|eq\o(AB,\s\up10(→))||eq\o(BC,\s\up10(→))|·eq\f(|\o(AB,\s\up10(→))|,|\o(BC,\s\up10(→))|)＝－|eq\o(AB,\s\up10(→))|2＝－1.方法二|eq\o(BA,\s\up10(→))|＝1，即eq\o(BA,\s\up10(→))为单位向量，eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))＝－eq\o(BA,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))＝－|eq\o(BA,\s\up10(→))||eq\o(BC,\s\up10(→))|cos∠B，而|eq\o(BC,\s\up10(→))|·cos∠B＝|eq\o(BA,\s\up10(→))|，所以eq\o(AB,\s\up10(→))·eq\o(BC,\s\up10(→))＝－|eq\o(BA,\s\up10(→))|2＝－1.答案：－16．已知向量a，b满意|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为________．解析：设a与b的夹角为θ，cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(2,1×4)＝eq\f(1,2)，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)7．已知|a|＝3，向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，则a在b方向上的投影为________．解析：向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝3×coseq\f(π,3)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)三、解答题8．已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求：(1)a2－b2；(2)(2a－b)·(a＋3b)．解析：(1)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos120°－3|b|2＝2×32＋5×3×4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))－3×42＝－60.9．(1)已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|；(2)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，求|3a＋b|的值；(3)如图，已知在▱ABCD中，AB＝3，AD＝1，∠DAB＝eq\f(π,3)，求对角线AC和BD的长．解析：(1)a·b＝|a||b|coseq\f(π,3)＝5×5×eq\f(1,2)＝eq\f(25,2)，∴|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝eq\r(25＋2×\f(25,2)＋25)＝5eq\r(3)，|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(|a|2＋|b|2－2a·b)＝eq\r(25)＝5，|3a＋b|＝eq\r(3a＋b2)＝eq\r(9a2＋b2＋6a·b)＝eq\r(325)＝5eq\r(13).(2)∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，又|3a－2b|＝5，∴325－12a·b＝25，则a·b＝25.∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400.故|3a＋b|＝20.(3)设eq\o(AB,\s\up10(→))＝a，eq\o(AD,\s\up10(→))＝b，则|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角θ＝eq\f(π,3).∴a·b＝|a||b|cosθ＝eq\f(3,2).又∵eq\o(AC,\s\up10(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up10(→))＝a－b，∴|eq\o(AC,\s\up10(→))|＝eq\r(\o(AC,\s\up10(→))\o(2,\s\up10()))＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝eq\r(13)，|eq\o(DB,\s\up10(→))|＝eq\r(\o(DB,\s\up10(→))\o(2,\s\up10()))＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(7).∴AC＝eq\r(13)，BD＝eq\r(7).[尖子生题库]10．已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b方向上的投影为－1.(1)求a与b的夹角θ；(2)求(a－2b)·b；(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b相互垂直？解析：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.又a在b方向上的投影为|a|cos