2024-2025学年高中数学第2章推理与证明2.1合情推理与演绎推理课时作业17演绎推理新人教A版选修2-2

PAGE1-课时作业17演绎推理学问点一演绎推理的概念1.下面说法正确的个数为()①演绎推理是由一般到特别的推理；②演绎推理得到的结论肯定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”形式；④演绎推理得到的结论的正确性与大前提、小前提和推理形式有关．A．1B．2C．3D．4答案C解析②错误，演绎推理得到的结论要想正确，需满意大前提、小前提和推理形式都正确.学问点二演绎推理的形式2.推理过程“大前提：________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是()A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等答案B解析由三段论的一般模式知应选B.3．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．两条直线平行，同旁内角互补，因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截所得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°B．我国地质学家李四光发觉中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也隐藏着丰富的石油C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D．在数列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式答案A解析选项A中“两条直线平行，同旁内角互补”这是大前提，是真命题，该推理为三段论推理，选项B为类比推理，选项C，D都是归纳推理．4．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港；②这艘船是准时到达目的港的；③这艘船是准时起航的”中的小前提是()A．①B．②C．①②D．③答案D解析这里三段论的形式是：①M是P，②S是P，③S是M，故小前提是③.5．把下列推断写成三段论的形式：(1)通项公式为an＝2n＋3的数列{an}是等差数列；(2)0.33eq\o(3,\s\up6(·,))是有理数．解(1)数列{an}中，假如当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为等差数列．大前提an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)．小前提通项公式为an＝2n＋3的数列是等差数列．结论(2)全部的循环小数是有理数，大前提0．33eq\o(3,\s\up6(·,))是循环小数，小前提0．33eq\o(3,\s\up6(·,))是有理数．结论学问点三演绎推理的应用6.如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：DE＝AF.写出“三段论”形式的演绎推理．解(1)同位角相等，两直线平行，(大前提)∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，(小前提)所以DF∥AE.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA且DF∥EA，(小前提)所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)所以ED＝AF.(结论)一、选择题1．下列推理是演绎推理的是()A．由a1＝1，an＋1＝eq\f(an,1＋an)，因为a1＝1，a2＝eq\f(1,2)，a3＝eq\f(1,3)，a4＝eq\f(1,4)，故有an＝eq\f(1,n)(n∈N＋)B．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇C．妲己惑纣王，商灭；西施迷吴王，吴灭；杨贵妃迷唐玄宗，致安史之乱，故曰：“红颜祸水也．”D．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”答案D解析A，C中的推理均是从个别到一般的推理，是归纳推理，属于合情推理；B中，科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇，是由特别到特别的推理，是类比推理，属于合情推理；D中的推理是从一般到特别的推理，是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用多次三段论，是演绎推理．2．“任何实数的平方大于0(大前提)，而a是实数(小前提)，所以a2＞0(结论)”，你认为这个推理()A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．是正确的答案A解析当a≠0时，a2＞0；当a＝0时，a2＝0.所以这个推理的大前提错误．故选A.3．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满意增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满意增函数的定义是小前提．其中正确的命题是()A．①④B．②④C．①③D．②③答案A解析依据三段论的特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满意增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．4．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是()A．三段论推理 B．假言推理C．关系推理 D．完全归纳推理答案A解析∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)，在△ABC中，AB＝AC(小前提)，∴在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，符合三段论推理规则，故选A.5．设⊕是R内的一个运算，A是R的非空子集．若对于随意a，b∈A，有a⊕b∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是()A．自然数集 B．整数集C．有理数集 D．无理数集答案C解析A错误：因为自然数集对减法不封闭；B错误：因为整数集对除法不封闭；C正确：因为随意两个有理数的和、差、积、商都是有理数，故有理数集对加、减、乘、除法(除数不等于零)四则运算都封闭；D错误：因为无理数集对加、减、乘、除法都不封闭．二、填空题6．在求函数y＝eq\r(log2x－2)的定义域时，第一步推理中大前提是当eq\r(a)有意义时，a≥0；小前提是eq\r(log2x－2)有意义；结论是________．答案y＝eq\r(log2x－2)的定义域是[4，＋∞)解析由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.7．关于函数f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x＞0时，f(x)是增函数；当x＜0时，f(x)为减函数；③f(x)的最小值是lg2；④当－1＜x＜0或x＞1时，f(x)是增函数；⑤f(x)无最大值，也无最小值．其中全部正确结论的序号是________．答案①③④解析明显f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．当x＞0时，f(x)＝lgeq\f(x2＋1,x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))).设g(x)＝x＋eq\f(1,x)，可知其在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，∴f(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．f(x)min＝f(1)＝lg2.∵f(x)为偶函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数．8．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对随意m，n∈N*都有：①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m,1)给出以下三个结论：(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.其中正确结论为________．答案(1)(2)(3)解析由条件可知，因为f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，且f(1,1)＝1，所以f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝f(1,1)＋8＝9.又因为f(m＋1,1)＝2f(m,1)，所以f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1)＝23f(2,1)＝24f(1,1)＝16，所以f(5,6)＝f(5,1)＋10＝24f(1,1)＋10＝26.故(1)(2)(3)均正确．三、解答题9．下列推理是否正确，错误的请指出其错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°；(2)已知eq\r(2)和eq\r(3)是无理数，试证：eq\r(2)＋eq\r(3)也是无理数．证明：依题设，eq\r(2)和eq\r(3)是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，故eq\r(2)＋eq\r(3)也是无理数．解(1)错误．犯了偷换论题的错误．在证明过程中，把论题中的四边形改为了矩形．(2)错误．结论虽然正确，但证明是错误的，这里运用的论据(即大前提)“无理数与无理数的和是无理数”是假命题．例如，－eq\r(3)与eq\r(3)都是无理数，但－eq\r(3)＋eq\r(3)＝0,0是有理数．10．(1)证明函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数；(2)推断函数f(x)＝－x2＋2x在区间[－5，－2]上的单调性，并加以证明．解(1)证法一：任取x1，x2∈(－∞，1]，x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)，∵x1<x2≤1，∴x2＋x1－2<0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)．于是，依据“三段论”可