2024-2025学年高中数学课下梯度提能十八平面向量的正交分解及坐标表示新人教A版必修4

PAGE1-课下梯度提能（十八）一、题组对点训练对点练一向量的坐标表示1．已知＝(－2，4)，则下面说法正确的是()A．A点的坐标是(－2，4)B．B点的坐标是(－2，4)C．当B是原点时，A点的坐标是(－2，4)D．当A是原点时，B点的坐标是(－2，4)2．假如用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则AB→可以表示为()A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋j3．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，则对点练二平面对量的坐标运算4．设平面对量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，则a－2b＝()A．(6，3)B．(7，3)C．(2，1)D．(7，2)5．若向量a＝(x－2，3)与向量b＝(1，y＋2)相等，则()A．x＝1，y＝3B．x＝3，y＝1C．x＝1，y＝－5D．x＝5，y＝－16．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝2eq\r(2)，且∠AOC＝eq\f(π,4).设(λ∈R)，则λ＝________．对点练三向量共线的坐标表示8．已知A(2，－1)，B(3，1)，则与AB→平行且方向相反的向量a是()A．(2，1)B．(－6，－3)C．(－1，2)D．(－4，－8)9．已知A(－1，4)，B(x，－2)，若C(3，3)在直线AB上，则x＝________．11．平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，回答下列问题：(1)求3a＋b－2(2)求满意a＝mb＋nc的实数m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.二、综合过关训练1．已知A(7，1)，B(1，4)，直线y＝eq\f(1,2)ax与线段AB交于C，且，则实数a等于()A．2B．1C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,3)2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(A．(2，6)B．(－2，6)C．(2，－6)D．(－2，－6)3．已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，假如c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向4．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq\f(m,n)等于()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－2D．26．已知P1(2，－1)，P2(－1，3)，P在直线P1P2上，且.则P点的坐标为________．7．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且，试问：(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在其次象限？(2)四边形OABP可能为平行四边形吗？若可能，求出相应的t值；若不行能，请说明理由．8．如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．答案[学业水平达标练]1.解析：选D由任一向量的坐标的定义可知：当A点是原点时，B点的坐标是(－2，4)．2.解析：选C记O为坐标原点，则OA→＝2i＋3j，OB→＝4i＋2j，所以AB→＝OB→－OA→＝2i－j.3.解析：∵A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，＝(2，3)＋(－6，6)＝(－4，9)．答案：(－4，9)4.解析：选B∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)，∴a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(3，5)－(－4，2)＝(7，3)．5.解析：选B由题意，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝1，,3＝y＋2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1.))6.解析：过C作CE⊥x轴于点E，由∠AOC＝eq\f(π,4)知，|OE|＝|CE|＝2，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)7.∴(x1＋1，y1－2)＝eq\f(1,3)(3，6)＝(1，2)，(－1－x2，2－y2)＝－eq\f(1,3)(－3，－6)＝(1，2)．则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝1，,y1－2＝2，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－x2＝1，,2－y2＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0.))∴C，D的坐标分别为(0，4)和(－2，0)，因此＝(－2，－4)．8.解析：选D＝(1，2)，向量(2，1)、(－6，－3)、(－1，2)与(1，2)不平行；(－4，－8)与(1，2)平行且方向相反．9.解析：＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，∵∥，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.答案：2310.证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，所以(x1＋1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，故Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))；所以(x2－3，y2＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，故Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0)).所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3))).又因为4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq\f(8,3)×(－1)＝0，11.解：(1)3a＋b－2c＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4＝(9，6)＋(－1，2)－(8，2)＝(9－1－8，6＋2－2)＝(0，6)．(2)∵a＝mb＋nc，∴(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝(－m＋4n，2m＋n)∴－m＋4n＝3且2m＋n＝2，解得m＝eq\f(5,9)，n＝eq\f(8,9).(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－eq\f(16,13).二、综合过关训练1.解析：选A设C(x0，y0)，则y0＝eq\f(1,2)ax0，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－7，\f(1,2)ax0－1))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x0，4－\f(1,2)ax0))，∵，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－7＝2（1－x0），,\f(1,2)ax0－1＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,2)ax0))，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,a＝2.))2.解析：选D∵四条有向线段首尾相接构成四边形，则对应向量之和为零向量，即4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2)＝(－23.解析：选D∵a＝(1，0)，b＝(0，1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1，1)，d＝a－b＝(1，－1)，明显c与d不平行，解除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1，1)，d＝a－b＝－(－1，1)，即c∥d且c与d反向．4.解析：选A由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).5.∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06.∴(x－2，y＋1)＝eq\f(2,3)(－1－x，3－y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2＋\f(2,3)×（－1）,1＋\f(2,3))，,y＝\f(－1＋\f(2,3)×3,1＋\f(2,3))，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,5)，,y＝\f(3,5).))故P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5))).∴(x－2，y＋1)＝－eq\f(2,3)(－1－x，3－y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－\f(2,3)×（－1）,1－\f(2,3))，,y＝\f(－1－\f(2,3)×3,1－\f(2,3))，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝－9.))故P点坐标为(8，－9)．综上可得，P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))或(8，－9)．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))或(8，－9)7.解：由题可知＝(1，2)，＝(3，3)，＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．(1)若P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－eq\f(2,3)；若P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－eq\f(1,3)；若P在其次象限，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3t＜0，,2＋3t＞0，))解得－eq\f(2,3)＜t＜－eq\f(1,3).(2)＝(－1－3t，－2－3t)＋(4，5)＝(3－3t，3－3t)．若四边形OABP是平行四边形