2024-2025学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算练习含解析新人教A版选修2-1

PAGEPAGE13.1.3空间向量的数量积运算课时过关·实力提升基础巩固1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量夹角为45°的是()A.C.解析:A,B,C,D四个选项中两个向量的夹角依次是45°,135°,90°,180°,故选A.答案:A2在棱长为2的正四面体ABCD中,若E,F分别是BC,AD的中点,则AEA.0 B.解析:AE答案:D3已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱的长度都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是()A.2 B.解析:由于所以即EF的长是答案:C4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是()A.重合 B.平行 C.垂直 D.无法确定解析:AC1=AB+AD答案:C5已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,则以下等式可能不成立的是()A.C.解析:①DA⊥ABDA⊥PA⇒DA⊥平面PAB⇒DA⊥PB⇒DA·PB=0;②同①知AB·PD=0;③PA⊥平面ABCD⇒PA⊥CD⇒PA·CD=0;④答案:B6在正四面体ABCD中,BC解析:<答案:120°7已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则A解析:A1B·B1C=答案:a28已知在三棱锥O-ABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.证明:设OA=a,OB=∵P,M分别为OA,BC的中点,∴PM=OM-OP=12(b+c)同理,QN=12(a+c)-12b∴PM·QN=-14[|b-a∵AB=OC,即|b-a|=|c|,∴∴即PM⊥QN.9如图,已知E是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱C1D1的中点,试求向量A解:设正方体的棱长为m,AB=a,AD=则|a|=|b|=|c|=m,a·b=b·c=a·c=0.∵A1C1=A∴A1C1·DE=(a+b)·c+12又∴cos<实力提升1已知a,b是异面直线,且a⊥b,e1,e2分别为取自直线a,b上的单位向量,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为()A.-6 B.6 C.3 D.-3解析:∵a⊥b,∴a·b=(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=2k|e1|2+(3k-8)e1·e2-12|e2|2=2k-12=0,∴k=6.答案:B2如图,在正四面体ABCD中,E是BC的中点,则()A.B.C.D.答案:C3设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足AB·AC=0,ACA.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形 D.不确定解析:∵∴AB,AC,AD两两垂直.∴BC2=AB2+AC2,CD2=AC2+AD2,BD2=AB2+AD2,∴BC2<CD2+BD2,CD2<BC2+BD2,BD2<BC2+CD2.∴△BCD是锐角三角形.答案:B4在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为()A.C.解析:∵∴|∵AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,∴<∴|答案:B5在空间四边形OABC中,若∠AOB=∠AOC=π解析:OA答案:06在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=π解析:设AB=AC=AA1=a,所以A1B=则cos<===故向量A1B,C1A所成角为π答案:π7已知在空间四边形OABC中,OA⊥BC,OB⊥AC,求证:OC⊥AB.证明:=∵∴=OB=①-②,得∴OC·BA8★如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为正方形ABCD和AA1B1B的中心.(1)求证:AC1⊥平面A1BD;(2)求(1)证明设AB=a,AD=b,AA1=c,则AC1=a+由题意可知|a|=|b|=|c|,a·b=a·c=b·c=0,则有AC1·BD=(a+b+c=a·b-a2+b2-a·b+b·c-a·c=|b|2-|a|2=0.同理∴AC1⊥BD,AC1⊥A1B.又A1B与BD相交,∴AC1⊥平面A1BD.(2)解设正方体的棱长为a,则D1M=D1CN=CB+BN=-b∴|=a2+∴|又=-12|c|2-14|a|2∴cos<即9★如图所示,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;(2)求<分析:(1)要证AO,BO,CO两两垂直只需证(2)由公式cos<可求得(1)证明设VA=a,VB=b,VC=c,且正四面体的棱长为1,有|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·则VD=13(a+b+c),AO=BO=16(a+c-5b),CO=1∴AO·BO=136(b+c-5a)·(=136(18a