2024-2025学年新教材高中数学第四章指数函数对数函数与幂函数4.2.3对数函数的性质与图像第1课时对数函数的性质与图像应用案巩固提升新人教B版必修第二册

PAGE4-第1课时对数函数的性质与图像[A基础达标]1．函数f(x)＝eq\f(1,1－x)＋lg(1＋x)的定义域是()A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1，1)∪(1，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：选C.由题意知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋x>0，,1－x≠0，))解得x>－1且x≠1.2．对数函数的图像过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为()A．y＝log4x B．y＝logeq\s\do9(\f(1,4))xC．y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x D．y＝log2x解析：选D.由于对数函数的图像过点M(16，4)，所以4＝loga16，得a＝2.所以此对数函数的解析式为y＝log2x，故选D.3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：选A.因为3x＞0，所以3x＋1＞1.所以log2(3x＋1)＞0.所以函数f(x)的值域为(0，＋∞)．4．函数y＝lg(x＋1)的图像大致是()解析：选C.由底数大于1可解除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图像向左平移1个单位(或令x＝0得y＝0)，而且函数为增函数，故选C.5．已知函数f(x)＝loga(x－m)的图像过点(4，0)和(7，1)，则f(x)在定义域上是()A．增函数 B．减函数C．奇函数 D．偶函数解析：选A.将点(4，0)和(7，1)代入函数解析式，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝loga（4－m），,1＝loga（7－m）.))解得a＝4和m＝3，则有f(x)＝log4(x－3)．由于定义域是x＞3，则函数不具有奇偶性，很明显函数f(x)在定义域上是增函数．6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________．解析：由对数函数的定义可知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－4a－5＝0，,a＞0，,a≠1，))解得a＝5.答案：57．已知函数y＝loga(x－3)－1的图像过定点P，则点P的坐标是________．解析：y＝logax的图像恒过点(1，0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.答案：(4，－1)8．若f(x)是对数函数且f(9)＝2，当x∈[1，3]时，f(x)的值域是________．解析：设f(x)＝logax，因为loga9＝2，所以a＝3，即f(x)＝log3x.又因为x∈[1，3]，所以0≤f(x)≤1.答案：[0，1]9．若函数y＝loga(x＋a)(a＞0且a≠1)的图像过点(－1，0)．(1)求a的值；(2)求函数的定义域．解：(1)将(－1，0)代入y＝loga(x＋a)(a＞0，a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2＞0，解得x＞－2，所以函数的定义域为{x|x＞－2}．10．求下列函数的定义域与值域：(1)y＝log2(x－2)；(2)y＝log4(x2＋8)．解：(1)由x－2＞0，得x＞2，所以函数y＝log2(x－2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R.(2)因为对随意实数x，log4(x2＋8)都有意义，所以函数y＝log4(x2＋8)的定义域是R.又因为x2＋8≥8，所以log4(x2＋8)≥log48＝eq\f(3,2)，即函数y＝log4(x2＋8)的值域是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).[B实力提升]11．函数y＝2＋log2x(x≥1)的值域为()A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．[2，＋∞) D．[3，＋∞)解析：选C.当x≥1时，log2x≥0，所以y＝2＋log2x≥2.所以函数y＝2＋log2x的值域为[2，＋∞)．12．函数f(x)＝eq\f(\r(x－4),lgx－1)的定义域是()A．[4，＋∞) B．(10，＋∞)C．(4，10)∪(10，＋∞) D．[4，10)∪(10，＋∞)解析：选D.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4≥0，,lgx－1≠0，,x＞0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥4，,x≠10，,x＞0，))所以x≥4且x≠10，所以函数f(x)的定义域为[4，10)∪(10，＋∞)．故选D.13．假如函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－a＞1，,a＞1，))即1＜a＜2，若f(x)，g(x)均为减函数，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜3－a＜1，,0＜a＜1))无解．所以a的取值范围是(1，2)．答案：(1，2)14．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图像；(2)若f(a)<f(2)，利用图像求a的取值范围．解：(1)作出函数y＝f(x)＝log3x的图像如图所示．(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由图像知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．所以所求a的取值范围为(0，2)．[C拓展探究]15．求y＝(logeq\s\do9(\f(1,2))x)2－eq\f(1,2)logeq\s\do9(\f(1,2))x＋5在区间[2，4]上的最大值和最小值．解：因为2≤x≤4，所以logeq\s\do9(\f(1,2))2≥logeq\s\do9(\f(1,2))x≥logeq\s\do9(\f(1,2))4，即－1≥logeq\s\do9(\f(1