2024-2025学年高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征限时规范训练新人教A版必修3

PAGE1-2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征【基础练习】1．下列说法不正确的是()A．方差是标准差的平方B．标准差的大小不会超过极差C．若一组数据的值大小相等，没有波动改变，则标准差为0D．标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数四周越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数四周越分散【答案】D2．在青年歌手大赛中，七位评委为某选手打出的分数如下：91,89,91,96,94,95,94，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为()A．93,2.8 B．93,2C．94,2.8 D．94,2【答案】A【解析】因为七位评委为某选手打出的分数如下：91,89,91,96,94,95,94，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为91,91,94,95,94，所以所剩数据的平均值为eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(91＋91＋94＋95＋94)＝93，所剩数据的方差为s2＝eq\f(1,5)×[(91－93)2＋(91－93)2＋(94－93)2＋(95－93)2＋(94－93)2]＝eq\f(14,5)＝2.8.故选A．3．若某市8所中学参与中学生合唱竞赛的得分用茎叶图表示(如图)，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是()A．91 B．91.5C．92 D．92.5【答案】B【解析】依据茎叶图中的数据，依据从小到大的依次排列为87,88,90,91,92,93,94,97.所以这组数据的中位数是eq\f(91＋92,2)＝91.5.故选B．4．已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海一般职工n(n≥3，n∈N*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，假如再加上世界首富的年收入xn＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是()A．平均数大大增大，中位数肯定变大，方差可能不变B．平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变【答案】B【解析】依据题意，xn＋1会远大于x1，x2，x3，…，xn，故这n＋1个数据中，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能变大．由于数据的离散程度也受到xn＋1比较大的影响，而更加离散，则方差变大．故选B．5．一组数据2，x,4,6,10的平均值是5，则此组数据的标准差是________．【答案】2eq\r(2)【解析】∵数据2，x,4,6,10的平均值是5，∴2＋x＋4＋6＋10＝5×5，解得x＝3.∴此组数据的方差s2＝eq\f(1,5)×[(2－5)2＋(3－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(10－5)2]＝8.∴此组数据的标准差s＝eq\r(8)＝2eq\r(2).6．阶段考试以后，班长算出了全班40个人数学成果的平均分为M，假如把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均分为N，那么M∶N为________．【答案】1∶1【解析】M＝eq\f(x1＋x2＋…＋x40,40)，N＝eq\f(x1＋x2＋…＋x40＋M,41)＝eq\f(40M＋M,41)＝M，故M∶N＝1∶1.7．为了爱护学生的视力，教室内的日光灯在运用一段时间后必需更换．已知某校运用的100支日光灯在必需换掉前的运用天数如下，则这种日光灯的平均运用寿命为________天.天数[150,180)[180,210)[210,240)[240,270)灯泡数1111820天数[270,300)[300,330)[330,360)[360,390]灯泡数251672【答案】268【解析】各组中值分别为165,195,225,255,285,315,345,375，由此算得平均数约为165×1%＋195×11%＋225×18%＋255×20%＋285×25%＋315×16%＋345×7%＋375×2%＝267.9≈268(天)．8．甲、乙两同学的6次考试成果分别为：甲998997859599乙899390899290(1)画出甲、乙两同学6次考试成果的茎叶图；(2)计算甲、乙两同学考试成果的方差，并对甲、乙两同学的考试成果做出合理评价．解：(1)甲、乙两位同学六次考试成果的茎叶图：(2)eq\x\to(x)甲＝eq\f(99＋89＋97＋85＋95＋99,6)＝94，eq\x\to(x)乙＝eq\f(89＋93＋90＋89＋92＋90,6)＝90.5，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)×[(99－94)2＋(89－94)2＋(97－94)2＋(85－94)2＋(95－94)2＋(99－94)2]＝eq\f(83,3)＝27eq\f(2,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)×[(89－90.5)2＋(93－90.5)2＋(90－90.5)2＋(89－90.5)2＋(92－90.5)2＋(90－90.5)2]＝2.25.评价：甲同学的平均水平要高于乙同学，但是甲同学的方差值较大，说明甲同学的发挥没有乙同学稳定．【实力提升】9．某校高一、高二年级各有7个班参与歌咏竞赛，他们的得分的茎叶图如图所示，对这组数据分析正确的是()A．高一的中位数大，高二的平均数大B．高一的平均数大，高二的中位数大C．高一的平均数、中位数都大D．高二的平均数、中位数都大【答案】A【解析】由茎叶图可以看出，高一的中位数为93，高二的中位数为89，所以高一的中位数大．由计算得，高一的平均数为91，高二的平均数为eq\f(647,7)≈92，所以高二的平均数大．10．(2024年陕西西安模拟)已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差s2＝eq\f(1,4)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)－16)，则数据x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均数为________．【答案】4【解析】由方差公式，得s2＝eq\f(1,4)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4))－eq\x\to(x)2，又已知s2＝eq\f(1,4)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4)－16)＝eq\f(1,4)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋xeq\o\al(2,3)＋xeq\o\al(2,4))－4，所以eq\x\to(x)2＝4，所以eq\x\to(x)＝2，故eq\f(1,4)[(x1＋2)＋(x2＋2)＋(x3＋2)＋(x4＋2)]＝eq\x\to(x)＋2＝4.11．某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布直方图．(1)假如w为整数，那么依据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费．解：(1)由频率分布直方图得：用水量在[0.5,1)的频率为0.1，用水量在[1,1.5)的频率为0.15，用水量在[1.5,2)的频率为0.2，用水量在[2,2.5)的频率为0.25，用水量在[2.5,3)的频率为0.15，用水量在[3,3.5)的频率为0.05，用水量在[3.5,4)的频率为0.05，用水量在[4,4.5)的频率为0.05.∵用水量小于2立方米的频率为0.45，用水量小于3立方米的频率为0.85，∴为使80%以上居民在该月的用水价格为