《高等数学(下册)》课件-第9章

第9章多元函数积分学9.1二重积分的概念与性质

9.2二重积分的计算

9.3二重积分的应用举例

9.1二重积分的概念与性质

9.1.1二重积分的概念

1.引例

曲顶柱体的体积.

曲顶柱体(如图9-1所示)是指在空间直角坐标系中，以xOy平面上的有界闭区域D为底面，以区域D的边界曲线为准线，母线平行于z轴的柱面为侧面，以二元函数z=f(x，y)所表示的曲面为顶的立体.当f(x，y)≥0时，求该曲顶柱体的体积V.图9-1我们知道，对于一个平顶柱体，其体积等于底面积与高的乘积.而曲顶柱体的顶f(x，y)是x、y的函数，即高度不是常数，所以不能用计算平顶柱体体积的公式来计算.不妨设f(x，y)是连续函数，则在D中的一个小的区域内，f(x，y)的变化不大，于是可仿照定积分中求曲边梯形面积的办法，先求出曲顶柱体体积的近似值，再用求极限的方式得到曲顶柱体的体积.具体步骤如下：

(1)分割.把区域D任意分割为n个小区域Dsi(i=1，2，…,n)，且Dsi(i=1，2，…，n)也表示该小区域的面积.每个小区域对应着一个小的曲顶柱体.它们的体积分别记为Dvi(i=1，2，…，n).小区域Dsi上任意两点间距离的最大值，称为该小区域的直径，记为di(i=1，2，…，n).

(2)近似.在Dsi(i=1，2，…，n)上任取一点(xi，hi)，显然，f(xi，hi)Dsi表示以Dsi为底，f(xi，hi)为高的平顶柱体的体积.当Dsi的直径不大时，f(x，y)在Dsi上的变化也很小，因此f(xi，hi)Dsi是以Dsi为底，z=f(x，y)为顶的小曲顶柱体体积的近似值.

即

Dvi≈f(xi，hi)Dsi

(i=1，2，…，n)

(3)求和.把这些小曲顶柱体体积的近似值f(xi，hi)Dsi

加起来就得到所求的曲顶柱体体积的近似值，即

(4)取极限.令 .显然，如果这些小区域的最大直径l趋于零，即区域D分割的越细密，则极限 就给出了体积V的精确值，即与上述求曲顶柱体体积的方法相类似，还有很多实际问题，如非均匀平面薄片的质量等都可归结为上述类型的和式的极限.我们抛开这些问题的实际意义，抓住它们共同的数学特征，加以抽象，概括后就得到二重积分的定义.

2.二重积分的概念

定义9-1设函数z=f(x，y)是平面有界闭区域D上的有界函数.将区域D任意分成n个小区域Dsi(i=1，2，…，n)，其中,Dsi表示第i个小区域，也表示它的面积.在Dsi上任取一点(xi，hi)作和

记l

，若无论区域D如何划分，也无论点(xi，hi)如何选取，当l→0时，和式 总有确定的极限，则称此极限为函数f(x，y)在区域D上的二重积分，记为 ，即

其中，f(x，y)称为被积函数，f(x，y)ds称为被积表达式，ds称为面积元素，x、y称为积分变量，D称为积分区域，

称为积分和式.

3.二重积分的几何意义

由二重积分的定义，在引例中的曲顶柱体的体积V就是曲顶f(x，y)在底面D上的二重积分 .显然，当f(x，y)≥0时，二重积分 正是引例所示的曲顶柱体的体积；当f(x，y)<0时，二重积分 等于相应之曲顶柱体的体积的负值；若f(x，y)在区域D上有正有负，那么 就是xOy平面上方的曲顶柱体的体积之和减去xOy平面下方的曲顶柱体的体积之和，即二重积分

等于这些曲顶柱体体积的代数和.这就是二重积分的几何意义.

9.1.2二重积分的性质

二重积分与定积分有着类似的性质，列举如下：

设函数f(x，y)、g(x，y)在闭区域D上的二重积分存在，则

性质9-1被积函数的常数因子可以提到二重积分号的外面，即

性质9-2函数和(或差)的二重积分等于各个函数的二重积分的和(或差)，即

性质9-3如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各个部分闭区域上的二重积分的和.例如把D分为两个闭区域D1与D2，则有

这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性.

性质9-4如果在区域D上f(x，y)≡1，且s为区域D的面积，则

这表明，高为1的平顶柱体的体积在数值上等于其底面积.

性质9-5若在区域D上恒有f(x，y)≤g(x，y)，则

性质9-6设函数f(x，y)在区域D上有最大值为M，最小值为m，s是区域D的面积，则

证因为M和m分别是函数f(x，y)在闭区域D上的最大值和最小值，所以

m≤f(x，y)≤M

由性质9-5得

即再由性质9-4得

此条性质为二重积分的估值不等式.

性质9-7(二重积分的中值定理)设函数f(x，y)在有界闭区域D上连续，s是区域D的面积，则在D上至少有一点(x，h),使得

证因函数f(x，y)在有界闭区域D上连续，故在D上取得最大值M和最小值m，显然s≠0，把性质9-6中的不等式各除以s，有

即 是介于函数f(x，y)的最大值M和最小值m

之间的一个值.根据闭区域上连续函数的介值定理，在D上至少存在一点(x，h)，使得

上式两端乘以s，即得性质9-7.

例9-1估计 的值的范围，其

中，D：－1≤x≤3，0≤y≤2.

解因为－1≤x≤3，0≤y≤2，所以1≤x+y+2≤7，又因为D的面积s为8，由性质9-6得 9.2二重积分的计算

9.2.1利用直角坐标计算二重积分

1.转化面积元素

由二重积分的定义可知，若f(x，y)在区域D上的二重积分存在，则和式的极限(即二重积分的值)与区域D的分法无关.因此，在直角坐标系中可以用平行于x轴和y轴的直线把区域D分成若干小区域(如图9-2所示)，由图可知所得小区域中除了一些不规则的区域之外，其余均为矩形，设矩形小区域Dsi的边长为Dxi和Dyi，则Dsi=DxiDyi.所以在直角坐标系中，常把面积元素ds记为dxdy，于是二重积分可表示为图9-2

2.化二重积分为二次积分

根据二重积分的几何意义，我们用前面学过的平行截面面积为已知的立体体积来计算以z=f(x，y)为曲顶、闭区域D为底的曲顶柱体的体积，从而导出化二重积分为二次积分的公式.

(1)X—型区域的二重积分计算方法.

如果积分区域D为：D={(x，y)｜a≤x≤b，j1(x)≤y≤j2(x)}，则称D为X—型区域，如图9-3所示.其中，j1(x)、j2(x)在［a，b］上连续.图9-3设f(x，y)≥0且在闭区域D上连续，根据二重积分的几何意义， 的值等于以z=f(x，y)为曲顶、闭区域D为底的曲顶柱体(如图9-4所示)的体积，另一方面，这个体积也可以用平行截面法来计算.

先计算截面的面积，为此，在区间［a，b］上任取一点x0，做平行于yOz平面的平面x=x0，这个平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间［j1(x0)，j2(x0)］为底，曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形(图9-4所示的阴影部分)，所以这个截面面积为图9-4一般地，若改x0为x，即过区间［a，b］上任一点x且平行于yOz平面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为

于是，应用计算平行截面面积为已知的立体体积的方法，得曲顶柱体(如图9-4所示)的体积为

这个体积也就是所求的二重积分的积分值，从而有等式上式右端的积分就称为先对y、后对x的二次积分.也就是说,先把x看成常数，把二元函数z=f(x，y)只作为y的一元函数，对y计算从φ1(x)到φ2(x)的定积分；然后再把计算结果对x计算从a到b的定积分.因此，把这个先对y、后对x的二次积分也常记为

这就是化二重积分为先对y、后对x的二次积分的公式.

在上述讨论中，我们假定f(x，y)≥0，可以证明，公式的成立并不受此限制.

(2)Y—型区域的二重积分计算方法.

如果积分区域D为：D={(x，y)｜c≤y≤d，y1(y)≤x≤y2(y)}，则称D为Y—型区域，如图9-5所示.其中，y1(y)、y2(y)在［c，d］上连续.图9-5

注意

Y—型区域的特点为：穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点.

按照X—型区域的计算方法，可得公式

这是一个先对x后对y的二次积分.

注意

(1)若积分区域D既是X—型区域又是Y—型区域.显然，

(2)若积分区域D既非X—型区域又非Y—型区域(如图9-6所示).此时，需用平行于x轴或y轴的直线将区域D划分成X—型或Y—型区域.图9-6中，将D分割成了D1、D2、D3三个X—型小区域.由二重积分的性质9-3得图9-6

例9-2计算 ，其中D是由直线x=

－1、x=1、y=0、y=1所围成的区域.

解先画出区域D的图形如图9-7所示，可见积分区域D是矩形区域，既是X—型区域又是Y—型区域.若按X—型区域积分，则将二重积分化为先对y、后对x的二次积分图9-7若按Y—型区域积分，则二重积分化为先对x、后对y的二次积分

积分的结果是相同的，难易程度也一样.

例9-3计算二重积分 ，D是由直线y=x、y=1、x=0所围成的区域.

解先画出区域D的图形如图9-8所示，此区域既是X—型区域又是Y—型区域.若按X—型区域积分，则将二重积分化为先对y、后对x的二次积分

由于 的原函数不能用初等函数表示，故上述积分难以求出.图9-8现改变积分次序，按Y—型区域积分，则将二重积化为先对x、后对y的二次积分

例9-4改变 的积分次序.

解现将积分区域D用不等式表示出来，因为D=D1+D2,其中然后画出积分区域D的图形(如图9-9所示)，改变为先对y积分、后对x积分，此时

D={(x，y)｜0≤x≤1，x≤y≤2－x2}

因此图9-99.2.2利用极坐标计算二重积分

一般地，对于圆形、扇形、环形等区域上的二重积分，如果还利用直角坐标计算往往是非常困难的，而在极坐标系下计算则比较简单.下面就介绍这种计算方法.

要用极坐标计算二重积分 ，就需要将积分区域D和被积函数f(x，y)化为极坐标的形式，并求出极坐标系下的面积元素dσ.

极坐标与直角坐标的关系为

其中，r是极径；θ是极角.

1.转化面积元素

在极坐标系下，我们用两组曲线r=常数及θ=常数，即一组同心圆和一组过原点的射线，将区域D任意分成n个小区域(如图9-10所示).第i个小区域Dsi是由r=ri，r=ri+Dr及q=qi，q=qi+Dq所围成的.由扇形面积公式可得

因此面积微元ds=rdrdq称为极坐标系中的面积微元.图9-10于是得到极坐标系下二重积分的表达式为

上式表明，把二重积分中的变量从直角坐标转化为极坐标，只要把f(x，y)中的x换成rcosq，y换成rsinq，并把直角坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标中的面积元素rdrdq.

极坐标系下的二重积分化为二次积分，一般总是先对r积分再对q积分，因此主要是确定r、q的积分上下限，一般分下列三种情形：

(1)极点O在区域D之外.积分区域D是由极点出发的两条射线q=a，q=b和两条连续曲线r=r1(q)、r=r2(q)围成的，如图9-11所示，即

D={(r，q)｜r1(q)≤r≤r2(q)，a≤q≤b}

所以极坐标系下的二重积分化为

(2)极点O在区域D的边界上.

积分区域D是由极点出发的两条射线q=a、q=b和连续曲线r=r(q)围成的，如图9-12所示，即

D={(r，q)｜0≤r≤r(q)，a≤q≤b}图9-11图9-12所以极坐标系下的二重积分化为

(3)极点O在区域D的内部.

积分区域D是由连续曲线r=r(q)围成的，如图9-13所示，即

D={(r，q)｜0≤r≤r(q)，0≤q≤2p}

所以极坐标系下的二重积分化为图9-13

例9-5计算 ，其中，D是由圆周x2+y2=1与x2+y2=4p2所围成的平面区域.

解此积分区域属于环形区域，所以选用极坐标计算.

令x=rcosq，y=rsinq，则D可表为：D={(r，q)｜1≤r≤2p，0≤q≤2p}，从而

例9-6计算 ，D是圆心在原点，半径为R的圆域.

解这属于极点O在区域D的内部的情况，在极坐标系下

9.3二重积分的应用举例

9.3.1求体积

根据二重积分的几何意义，当f(x，y)≥0时，

表示以f(x，y)为曲顶，以f(x，y)在xOy坐标平面的投影区域D为底的曲顶柱体的体积.因此，利用二重积分可以计算空间曲面所围立体的体积.

例9-7求抛物面x2+y2=6－z及平面z=0所围成的几何体的体积.

解图9-14所示是一个几何体，此几何体可看成是以xOy面内的闭区域D：x2+y2≤6为底，以曲面z=6－x2－y2为顶的曲顶柱体.

故体积 .

因为积分区域为圆形区域，所以选用极坐标计算，令x=rcosq，y=rsinq，则积分区域D为图9-14

例9-8求由旋转抛物面z=x2+y2与平面z=h所围成的立体的体积.

解如图9-15所示.所求立体的体积是以D为底、高为h的圆柱体体积，与以旋转抛物面z=x2+y2为顶，以D为底的曲顶柱体的体积之差.

圆柱体体积v1=ph2.以z=x2+y2为曲顶的曲顶柱体体积为

于是，所求立体的体积为图9-159.3.2求平面薄片的质量

由二重积分的物理意义可知，若平面薄片D的面密度为m=m(x，y)，则其质量微元为

dm=m(x，y)ds

因而平面薄片的质量为

例9-9设平面薄片所占区域D为x2+y2≤1，且y≥0，在点(x，y)处的面密度m(x，y)=x+y，求此薄片的质量.

解平面薄片的质量公式为因为积分区域为圆形区域，所以选用极坐标计算，令x=rcosq，y=rsinq，则积分区域D为{(r，q)｜0≤r≤1，0≤q≤p},故9.3.3求平面薄片的重心

由物理学知识可知：若质点系由n个质点m1、m2、…、mn组成(其中，mi也表示第i个质点的质量)，并设mi的坐标为(xi，yi)(i=1，2，…，n).设它的重心为 ，则有将平面薄片D先任意分成n个小块Dsi(i=1，2，…，n)，在Dsi上任取一点(xi，yi)，认为在Dsi上密度分布是均匀的，其密度为m=m(xi，yi)，则Dsi的质量近似等于m(xi，yi)Dsi，所以此平面薄片的质量微元为