新高考2025版高考数学二轮复习第二部分讲重点选填题专练第3讲不等式线性规划教学案理

PAGEPAGE1第3讲不等式、线性规划调研一不等式的性质与解法■备考工具——————————————1．不等式的基本性质(1)对称性：a>b⇔b<a.(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.(5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．(8)开方法则：a>b>0⇒eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．2．不等式的倒数性质(1)a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).3．分式不等式的解法(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx·gx≥0≤0，,gx≠0.))4．一元二次不等式恒成立问题的解题方法(1)图象法：对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．(2)更换主元法：假如不等式中含有多个变量，这时选准“主元”往往是解题的关键，即须要确定合适的变量或参数，能使函数关系更加清楚明朗．一般思路为：将已知范围的量视为变量，而待求范围的量看作是参数，然后借助函数的单调性或其他方法进行求解．(3)分别参数法：假如欲求范围的参数能够分别到不等式的一边，那么这时可以通过求出不等式另一边式子的最值(或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围．一般地，a≥f(x)恒成立时，应有a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立时，应有a≤f(x)min.■自测自评——————————————1．[2024·石家庄质检]已知a>0>b，则下列不等式肯定成立的是()A．a2<－ab B．|a|<|b|C.eq\f(1,a)>eq\f(1,b) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b解析：通解：当a＝1，b＝－1时，满意a>0>b，此时a2＝－ab，|a|＝|b|，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b，∴A，B，D不肯定成立．∵a>0>b，∴b－a<0，ab<0，∴eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)>0，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)肯定成立，故选C.优解：∵a>0>b，∴eq\f(1,a)>0>eq\f(1,b)，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)肯定成立，故选C.答案：C2．[2024·赣中南五校联考]对于随意实数a，b，c，d，有以下四个命题：①若ac2>bc2，则a>b；②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；③若a>b，c>d，则ac>bc；④若a>b，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b).其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：①ac2>bc2，则c≠0，则a>b，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③错误，比如令a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－3，满意a>b，c>d，但ac＝－4<bd＝－3；④错误，比如令a＝－1，b＝－2，满意a>b，但eq\f(1,a)＝eq\f(1,－1)<eq\f(1,b)＝eq\f(1,－2).故选B.答案：B3．[2024·河南六市模拟]若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列结论不正确的是()A．a2<b2 B．ab<b2C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b|解析：因为eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，所以b<a<0，所以b2>a2，ab<b2，a＋b<0，所以A，B，C均正确，而|a|＋|b|＝|a＋b|，故D错误，故选D.答案：D4．[2024·安徽六校一中月考]在区间(1,2)上不等式x2＋mx＋4>0有解，则m的取值范围为()A．m>－4 B．m<－4C．m>－5 D．m<－5解析：记f(x)＝x2＋mx＋4，要使不等式x2＋mx＋4>0在区间(1,2)上有解，需满意f(1)>0或f(2)>0，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5.故选C.答案：C5．[2024·青岛城阳一中月考]已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))，则不等式x2－bx－a<0的解集是()A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))解析：∵不等式ax2－bx－1≥0的解集是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))，∴a<0，方程ax2－bx－1＝0的两个根为－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)，－eq\f(－b,a)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)，eq\f(－1,a)＝eq\f(1,6)，∴a＝－6，b＝5，∴x2－bx－a<0，即x2－5x＋6<0，(x－2)(x－3)<0，∴2<x<3，故选A.答案：A6．[2024·湖北重点中学考试]已知集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|log3(x＋2)<1}，则A∩B＝()A．{x|－2<x<1} B．{x|x≤1或x≥2}C．{x|x<1} D．∅解析：通解：解不等式x2－3x＋2≥0，得x≤1或x≥2，则A＝{x|x≤1或x≥2}．解不等式log3(x＋2)<1，得－2<x<1，则B＝{x|－2<x<1}，则A∩B＝{x|－2<x<1}，故选A.优解：因为－2∈A且－2∉B，故解除B、C，又0∈A且0∈B，故解除D，故选A.答案：A7．[2024·湖南四校调研]已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x2－x－2<0}，则(∁RA)∩B＝()A．(－1,0] B．[－1,2)C．[1,2) D．(1,2]解析：通解：由题意知，∁RA＝{x|x≥1或x≤－1}，又B＝{x|x2－x－2<0}＝{x|－1<x<2}，所以(∁RA)∩B＝{x|1≤x<2}，故选C.优解：因为1∉A且1∈B，所以解除A，D，又－1∉B，所以解除B，故选C.答案：C8．[2024·福建五校联考]已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|y＝eq\r(－x2－2x)}，则A∩B＝()A．{x|－1<x<0} B．{x|－1<x≤0}C．{x|0<x<2} D．{x|0≤x<2}解析：因为函数y＝eq\r(－x2－2x)有意义，所以－x2－2x≥0，解得－2≤x≤0，所以集合B＝{x|－2≤x≤0}．又集合A＝{x|－1<x<2}，所以A∩B＝{x|－1<x≤0}．故选B.答案：B调研二基本不等式■备考工具——————————————1．基本不等式及有关结论(1)基本不等式：假如a>0，b>0，则eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)重要不等式：a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．(3)几个常用的重要结论①eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)；②a＋eq\f(1,a)≥2(a>0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋eq\f(1,a)≤－2(a<0，当且仅当a＝－1时取等号)；③ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；④eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．2．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，则(1)假如积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq\r(p)(简记：积定和最小)．(2)假如x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq\f(s2,4)(简记：和定积最大)．■自测自评——————————————1．[2024·天津卷]已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋eq\f(1,8b)的最小值为________．解析：由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋eq\f(1,8b)＝23b－6＋eq\f(1,23b)≥2eq\r(23b－6×\f(1,23b))＝2×2－3＝eq\f(1,4)，当且仅当23b－6＝eq\f(1,23b)，即b＝1时等号成立．答案：eq\f(1,4)2．[2024·南京调研]已知实数x>0，y>0，且满意xy＋x＋2y＝4，则x＋2y的最小值为________．解析：解法一：(拼凑法)∵xy＋x＋2y＝4，∴x(y＋1)＋2y＝4，∴x(y＋1)＋2(y＋1)＝6，即(x＋2)(y＋1)＝6，∴(x＋2)(2y＋2)＝12.∵x>0，y>0，∴x＋2>2,2y＋2>2.∴(x＋2)＋(2y＋2)≥2eq\r(x＋22y＋2)＝2eq\r(12)＝4eq\r(3).当且仅当x＋2＝2y＋2，即x＝2eq\r(3)－2，y＝eq\r(3)－1时取“＝”．∴x＋2y≥4eq\r(3)－4.即(x＋2y)min＝4eq\r(3)－4.解法二：(判别式法)令x＋2y＝t，则t>0,2y＝t－x，∴x·eq\f(t－x,2)＋t＝4.整理得x2－tx＋8－2t＝0，由Δ≥0，得t2－4(8－2t)≥0，(t＋4)2≥48.∵t>0，∴t＋4≥4eq\r(3)，∴t≥4eq\r(3)－4.即x＋2y的最小值为4eq\r(3)－4.方法3：(解不等式法)∵x>0，y>0，∴4＝x＋2y＋eq\f(1,2)·x·2y≤x＋2y＋eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))2.∴(x＋2y)2＋8(x＋2y)－32≥0.解得x＋2y≥4eq\r(3)－4.答案：4eq\r(3)－43．[2024·东北三省四市一模]已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为()A．8 B．9C．12 D．6解析：由题意可得eq\f(4,y)＋eq\f(1,x)＝1，则x＋y＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,y)＋\f(1,x)))＝5＋eq\f(4x,y)＋eq\f(y,x)≥5＋2eq\r(\f(4x,y)×\f(y,x))＝9，当且仅当x＝3，y＝6时等号成立，故x＋y的最小值为9.选B.答案：B4．已知x>0，y>0，且eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围为________．解析：记t＝x＋2y，由不等式恒成立可得m2＋2m<tmin.因为eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，所以t＝x＋2y＝(x＋2y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y).而x>0，y>0，所以eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥2eq\r(\f(4y,x)×\f(x,y))＝4.(当且仅当eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝2y时等号成立)．所以t＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥4＋4＝8，即tmin＝8.故m2＋2m<8，即(m－2)(m＋4)<0，解得－4<m<2.所以实数m的取值范围为(－4,2)．答案：(－4,2)5．若a，b∈R，ab>0，则eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为________．解析：因为ab>0，所以eq\f(a4＋4b4＋1,ab)≥eq\f(2\r(4a4b4)＋1,ab)＝eq\f(4a2b2＋1,ab)＝4ab＋eq\f(1,ab)≥2eq\r(4ab·\f(1,ab))＝4，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝2b2，,ab＝\f(1,2)))时取等号，故eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值是4.答案：46．[2024·天津卷]已知a∈R.设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2ax＋2a，x≤1，,x－alnx，x>1.))若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为()A．[0,1] B．[0,2]C．[0，e] D．[1，e]解析：解法一：当a＝0时，不等式f(x)≥0恒成立，解除D；当a＝e时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2ex＋2e，x≤1，,x－elnx，x>1，))当x≤1时，f(x)＝x2－2ex＋2e的最小值为f(1)＝1>0，满意f(x)≥0；当x>1时，由f(x)＝x－elnx可得f′(x)＝1－eq\f(e,x)＝eq\f(x－e,x)，易得f(x)在x＝e处取得微小值(也是最小值)f(e)＝0，满意f(x)≥0恒成立，解除A，B.故选C.解法二：若x≤1，f(x)＝x2－2ax＋2a＝(x－a)2－a2＋2a，当a≤1时，可得f(x)的最小值为f(a)＝－a2＋2a，令f(a)≥0，解得0≤a≤2，故0≤a≤1；当a>1时，可得f(x)的最小值为f(1)＝1≥0，满意条件．所以a≥0.若x>1，由f(x)＝x－alnx可得f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)，当a≤1时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，故只需f(1)≥0，明显成立；当a>1时，由f′(a)＝0可得x＝a，易得f(x)的最小值为f(a)＝a－alna，令f(a)≥0，解得a≤e，故1<a≤e，所以a≤e，a的取值范围是[0，e]．答案：C调研三线性规划■备考工具——————————————1．二元一次不等式表示的平面区域当A>0时，区域Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0的右侧；区域Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0的左侧．2．线性目标函数的最值问题求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；当b<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．3．利用线性规划求目标函数最值的步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的随意一条直线l；(2)平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时须要进行目标函数l和可行域边界的斜率的大小比较；(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．■自测自评——————————————1．[2024·天津卷]设变量x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－y＋2≥0，,x≥－1，,y≥－1，))则目标函数z＝－4x＋y的最大值为()A．2 B．3C．5 D．6解析：画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线－4x＋y＝0，并平移，可知当直线过点A时，z取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,x－y＋2＝0))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1，))所以点A的坐标为(－1,1)，故zmax＝－4×(－1)＋1＝5.答案：C2．[2024·浙江卷]若实数x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋4≥0，,3x－y－4≤0，,x＋y≥0，))则z＝3x＋2y的最大值是()A．－1 B．1C．10 D．12解析：作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知，当直线z＝3x＋2y过点(2,2)时，z取得最大值，zmax＝6＋4＝10.故选C.答案：C3．[2024·湖北重点中学考试]已知x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－y≤0，,x＋y－m≤0，))若eq\f(y,x＋1)的最大值为2，则m的值为()A．4 B．5C．8 D．9解析：由题意知x≥1，y≥x，则m≥x＋y≥2，作出满意约束条件的平面区域如图中阴影部分所示．因为eq\f(y,x＋1)表示定点P(－1,0)与平面区域内的点(x，y)连线的斜率，由图可知，当直线经过平面区域的顶点A(1，m－1)时，直线的斜率取得最大值eq\f(m－1－0,1－－1)＝2，解得m＝5.答案：B4．若变量x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0，,x－y≤0，,x－2y＋2≥0，))则z＝(x＋2)2＋(y＋2)2的最大值为__________，最小值为________．解析：如图所示，画出不等式组表示的可行域，即由点O(0,0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，B(2,2)所围成的三角形区域(包括边界)．又点P(－2，－2)在直线BO：x－y＝0上，z＝(x＋2)2＋(y＋2)2表示可行域内的动点(x，y)与定点P(－2，－2)间距离的平方，易知所求最大值为|PB|2＝32，最小值为点P(－2，－2)到直线AO：x＋2y＝0的距离的平方，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－2＋2×－2|,\r(12＋22))))2＝eq\f(36,5)(此时动点(x，y)在线段AO上)．答案：32eq\f(36,5)5．[2024·湖北七校联考]已知实数x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y－2≤0，