11.4.1 直线与平面垂直-人教B版高一《数学》同步教学课件

11.4.1直线与平面垂直旗杆与地面的位置关系是怎样的？这一节我们就来研究！1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论.（重点）3.能够应用直线与平面垂直的判定定理及推论解决简单的证明问题.（难点）探究1

直线与直线所成角

4231思考1：如图，两条直线相交，可以形成四个角，那么哪个角是这两条直线所成的角呢？

习惯上，两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小.

AB1CBA1D1DC1由等角定理可知，平行线所夹的角相等

α

1.异面直线所成角的定义：2.直线与直线所成角的范围：

两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.

AB1CBA1D1DC1

追问：空间两条直线垂直，它们一定相交吗？不一定相交，如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为直角，则称这两条直线互相垂直.A1A⊥AB（相交垂直）C1C⊥AB（异面垂直）如图，则有

探究2直线与平面垂直的定义

ABoloAB

OoAB

直线与平面垂直的定义：oαAB

符号语言：

AB例如，旗杆与地面垂直，旗杆与地面上的影子都垂直.这条直线叫做

，这个平面叫做

.交点叫做

.垂线上任意一点到垂足间的线段,叫做这个点到这个平面的

,垂线段的长度叫做这个点到平面的距离.垂线垂面垂足OαAB平面的垂线直线的垂面垂足垂线段定义兼具两重性，既是判定又是性质.判定是指：如果一条直线垂直一个平面内的任意一条直线，那么这条直线与这个平面垂直，这是证明直线与平面垂直的一种方法；性质是指：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线.这是判定线线垂直的一种方法对判线面垂直定义的再认识：思考1：对于一条直线和一个平面，如果根据定义来判断它们是否垂直，需要解决什么问题？用定义来证明，需要验证平面内的每一条直线是否和已知直线垂直，这是很难操作的.探究3直线与平面垂直的判定思考2：如图，使书脊AB与桌面垂直，可否将若干书页去掉，但至少保留几页？可去掉，但至少保留两页，HGFEDCBA由此我们可以得到直线与平面垂直的判定方法.1.直线与平面垂直的判定定理文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.图形语言：符号语言：

l⊥m，l⊥n，m⊂α，n⊂α，m∩n≠∅⇒l⊥α.α

lO线不在多，相交则灵简记：线线垂直,则线面垂直.

有一根旗杆AB高8m,它的顶端A挂着两条长10m的绳子，拉紧绳子,并把它的下端放在地面上的两点C,D(和旗杆脚不在同一条直线上),如果这两点都和旗杆脚B的距离是6m，那么旗杆就和地面垂直，为什么？DCaBA例1在△ABC和△ABD中，因为AB=8m，BC=BD=6m，AC=AD=10m，所以

AB2+BC2=82+62=102=AC2.AB2+BD2=82+62=102=AD2.所以∠ABC=∠ABD=90°，即AB⊥BC，AB⊥BD.又知B，C，D三点不共线,因此AB⊥平面BCD，即旗杆和地面垂直.解析证明：由已知可得

O

为

AC的中点.在△SAC中，因为

SA=SC，且

AO=OC，所以由等腰三角形三线合一可知

SO⊥AC；同理，SO⊥BD.又因为

AC∩BD=O，所以

SO⊥面ABCD.如图所示的四棱锥

S-ABCD

中，已知

ABCD是一个平行四边形，AC∩BD=O，且

SA=SC，SB=SD.求证：SO⊥面ABCD.SABCDO例2探究4直线与平面垂直的性质lm思考1:

如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线和这个平面的位置关系如何？也垂直于这个平面.推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．abα证明：在平面α内取两条相交直线m，n．∴b⊥α．又m，n是平面α内的两条相交直线，∴b⊥m，

b⊥n．∵a∥b，∴a⊥m，

a⊥n，∵a⊥α，思考2:如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线是什么位置关系？ab平行

如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

记作：

l⊥α，m⊥α

⇒l∥m.2.直线与平面垂直的性质定理αbamnlAo证明：如图，假设直线m不与直线l平行，

m′amαβ因为直线m和m′都垂直于平面α.

因为在同一平面内，通过直线上一点并与已知直线垂直的直线不可能有两条，

探究5直线与平面垂直的应用思考1：直线与平面垂直是直线与平面相交时的一种特殊情况，当它们不垂直时，可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同？αlPAθ平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若直线l与平面α垂直，则称它们所成的角为90°；若直线l在平面α内，则称它们所成的角为0°．直线与平面所成的角θ的取值范围为0°≤θ≤90°．斜线斜足射影(直线)3.直线与平面所成的角

如图所示，三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，且AB=BC=2，求三棱锥的体积.例3设S在底面的射影为O，则由SA=SB=SC，由OA=OB=OC，即O为△ABC的外心，又因为△ABC是直角三角形，所以O是线段AC的中点.因为

所以

，又因为是直角三角形，从而因此所求体积为

解析证明：因为AB⊥α，l

⊂α，所以AB⊥l；又因为l⊥BC

且AB∩BC=B，所以l⊥面ABC，而且AC

⊂面ABC，所以l⊥AC.如图所示，已知

AB

是平面

α

的一条垂线，AC是平面

α