信号与系统课件-第4章

第四章连续系统的s域分析4.1拉普拉斯变换4.2拉普拉斯变换的性质4.3拉普拉斯逆变换4.4连续系统的S域分析4.5微分方程的变换解

4.6电路的s域求解

4.7连续系统的表示与模拟4.8系统函数与系统特性点击目录，进入相关章节第四章连续系统的s域分析第四章连续系统的s域分析

频域分析以虚指数信号ejωt为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：（1）有些重要信号不存在傅里叶变换，如e2tε(t);（2）对于给定初始状态的系统难于利用频域分析。在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。本章引入复频率s=σ+jω,以复指数函数est为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是复频率s

，故称为s域分析。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。4.1拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换

有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t)，适当选取的值，使乘积信号f(t)e-t当t∞时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在。相应的傅里叶逆变换为f(t)e-t=Fb(

+j

)=ℱ[f(t)e-t]=令s=+j,d=ds/j，有4.1拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换对Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。二、收敛域

只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的

拉氏逆变换的物理意义4.1拉普拉斯变换例1因果信号f1(t)=e

t

(t)，求其拉普拉斯变换。

解可见，对于因果信号，仅当Re[s]=

>

时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。收敛域收敛边界双边拉普拉斯变换存在。使f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。4.1拉普拉斯变换例2反因果信号f2(t)=et(-t)，求其拉普拉斯变换。解可见，对于反因果信号，仅当Re[s]=

<

时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。4.1拉普拉斯变换例3双边信号求其拉普拉斯变换。求其拉普拉斯变换。解其双边拉普拉斯变换Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)仅当

>

时，其收敛域为

<Re[s]<

的一个带状区域，如图所示。4.1拉普拉斯变换例4求下列信号的双边拉氏变换。

f1(t)=e-3t

(t)+e-2t

(t)f2(t)=–e-3t

(–t)–e-2t

(–t)f3(t)=e-3t

(t)–e-2t

(–t)解Re[s]=

>–2Re[s]=

<–3–3<<–2可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。4.1拉普拉斯变换通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是Re[s]>

，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。三、单边拉氏变换

简记为F(s)=£[f(t)]f(t)=£

-1[F(s)]或

f(t)←→F(s)4.1拉普拉斯变换四、常见函数的单边拉普拉斯变换

4.1拉普拉斯变换4.1拉普拉斯变换五、单边拉氏变换与傅里叶变换的关系Re[s]>

0

要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。根据收敛坐标

0的值可分为以下三种情况：（1）

0<0，即F(s)的收敛域包含j

轴，则f(t)的傅里叶变换存在，并且F(j

)=F(s)

s=j

如f(t)=e-2t(t)←→F(s)=1/(s+2),>-2；则F(j)=1/(j+2)4.1拉普拉斯变换（2）

0=0，即F(s)的收敛边界为j轴，

如f(t)=(t)←→F(s)=1/s=()+1/j（3）

0>0，F(j

)不存在。例f(t)=e2t(t)←→F(s)=1/(s–2),>2；其傅里叶变换不存在。4.2拉普拉斯变换性质4.2拉普拉斯变换性质一、线性性质若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)例f(t)=

(t)+

(t)←→1+1/s，

>04.2拉普拉斯变换性质

例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s)=

求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。

解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=4×2F(2s)二、尺度变换若f(t)←→F(s),Re[s]>0，且有实数a>0，则f(at)←→Re[s]>a04.2拉普拉斯变换性质三、时移（延时）特性若f(t)

<----->F(s),Re[s]>

0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)

(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>

0

与尺度变换相结合f(at-t0)

(at-t0)←→4.2拉普拉斯变换性质0T2T3T……t四、复频移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,且有复常数sa=

a+j

a,则f(t)esat←→F(s-sa),Re[s]>

0+

a

例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=求e-tf(3t-2)的象函数。解：e-tf(3t-2)←→4.2拉普拉斯变换性质4.2拉普拉斯变换性质五、时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)f’’(t)←→s2F(s)–sf(0-)–f’(0-)f(n)(t)←→snF(s)–若f(t)为因果信号，则f(n)(t)←→snF(s)4.2拉普拉斯变换性质4.2拉普拉斯变换性质六、时域积分特性（积分定理）4.2拉普拉斯变换性质1000例1：4.2拉普拉斯变换性质例2：教材P159例4.2—9应用时域积分性质计算f(t)的单边拉氏变换：4.2拉普拉斯变换性质七、卷积定理时域卷积定理若因果函数f1(t)←→F1(s),Re[s]>

1,f2(t)←→F2(s),Re[s]>

2

则f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)复频域（s域）卷积定理

4.2拉普拉斯变换性质八、s域微分和积分若f(t)←→F(s),Re[s]>

0,则例1：t2e-2t

(t)←→?e-2t

(t)←→1/(s+2)t2e-2t

(t)←→4.2拉普拉斯变换性质例2：例3：4.2拉普拉斯变换性质九、初值定理和终值定理初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞），而不必求出原函数f(t)初值定理设函数f(t)不含

(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），则终值定理若f(t)当t→∞时存在，并且f(t)←→F(s),Re[s]>

0,

0<0，则4.2拉普拉斯变换性质例1：例2：4.2拉普拉斯变换性质

初值定理证明：4.3拉普拉斯逆变换4.3拉普拉斯逆变换直接利用定义式求反变换---复变函数积分，比较困难。通常的方法（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合若象函数F(s)是s的有理分式，可写为若m≥n（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。4.3拉普拉斯逆变换

由于L-1[1]=

(t)，L

-1[sn]=

(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。部分分式展开法若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可写为式中A(s)称为系统的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为系统的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。4.3拉普拉斯逆变换（1）F(s)为单极点（单根）特例：F(s)包含共轭复根时(p1,2=–±j)K2=K1*4.3拉普拉斯逆变换f1(t)=2|K1|e-

tcos(

t+

)

(t)若写为K1,2=A±jBf1(t)=2e-

t[Acos(

t)–Bsin(

t)]

(t)例1:4.3拉普拉斯逆变换4.3拉普拉斯逆变换例2:4.3拉普拉斯逆变换4.3拉普拉斯逆变换例34.3拉普拉斯逆变换4.3拉普拉斯逆变换例4：求象函数F(s)的原函数f(t)。解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2=–1，s3,4=

j1，s5,6=–1

j1，故K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=–1K3=(s–j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(

/2),K4=K3*=(1/2)e-j(

/2)K5=(s+1–j)F(s)|s=-1+j=K6=K5*4.3拉普拉斯逆变换（2）F(s)有重极点（重根）若A(s)=0在s=p1处有r重根，4.3拉普拉斯逆变换举例:4.3拉普拉斯逆变换4.3拉普拉斯逆变换4.4连续系统的S域分析4.4连续系统的S域分析4.4连续系统的S域分析LTI4.4连续系统的S域分析连续系统的S域分析步骤：4.4连续系统的S域分析例1

已知当输入f(t)=e-t

(t)时，某LTI系统的零状态响应

yzs(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)

(t)求该系统的冲激响应。解h(t)=(4e-2t-2e-3t)

(t)4.4连续系统的S域分析4.5微分方程的变化解4.5微分方程的变换解

描述n阶系统的微分方程的一般形式为系统的初始条件为y(0-),y’(0-),…，y(n-1)(0-)。取拉普拉斯变换若f(t)在t=0时接入，则f(j)(t)←→sjF(s)4.5微分方程的变化解例1描述某LTI系统的微分方程为

y’’(t)+5y’(t)+6y(t)=2f(t)已知初始条件y(0-)=1，y’(0-)=-1，激励f(t)=5cost

(t)，求系统的全响应y(t)解：取拉氏变换得4.5微分方程的变化解y(t)=[2e-2t-e-3t-4e-2t+3e-3t+4.5微分方程的变化解4.5微分方程的变化解4.5微分方程的变化解4.5微分方程的变化解S域分析：时域模型S域模型应用方程法/等效法建立S域电路方程（代数方程）求S域解由反变换得到时域解1.S域元件模型R：4.6电路的s域求解4.6RLC电路的S域分析4.6电路的s域求解L：4.6电路的s域求解C：4.6电路的s域求解2.S域电路模型用S域元件代替时域元件S域电路模型

运算电流I（s）、电压u(s);运算阻抗、导纳。3.基本定律S域形式4.6电路的s域求解S域分析步骤：Step1:确定电容初始电压、电感初始电流；Step2：画出S域电路模型；Step3：用方程法/等效法建立S域电路方程，并求出S域响应；Step4：取拉氏逆变换，求得时域响应。注意：（1）S域电路模型中内电源的参考方向。（2）可直接求出完全响应。求时应分别令S域电路模型中激励、内电源为零。4.6电路的s域求解例：见教材p176例4.6-1。解：（1）求电感初始电流、电容初始电压。4.6电路的s域求解（2）计算全响应。4.6电路的s域求解（3）计算零输入响应。4.6电路的s域求解0（4）计算零状态响应。4.7连续系统的表示与模拟一.方框图表示：1.基本运算单元：

(a)数乘器；(b)加法器；(c)积分器

4.7连续系统的表示与模拟2.S域方框图表示：

*由微分方程画出方框图：设零状态系统微分方程：传输算子：

系统函数：

S域系统方程：

引入辅助变量，将式（2）等效写成：4.7连续系统的表示与模拟画出S域方框图：

*由S域方框图写出微分方程：

（1）设右端积分器输出为X（s），则左端加法器输出为：

（2）右端加法器输出：

4.7连续系统的表示与模拟（3）：

3.复合系统（子系统互联）：（1）.子系统串联：

t域：

s域：

4.7连续系统的表示与模拟（2）.子系统并联：

t域：

s域：

二.信号流图表示:

1.什么是信流图：

信号流图（SFG）简称信流图，由美国MIT学院S.J.Mason教授于1953年提出。信流图是一种由点、有向线段组成的有向加权线图，用以表示线性代数方程组变量间的关系。为方程组求解提供一种直观、简便的解法。

LTI系统t域微分方程、s域代数方程、应用SFG表示系统输入输出关系，计算系统函数H(s)。

4.7连续系统的表示与模拟常用术语：

1.节点：代表信号变量的点。

2.支路：连接两个节点的有向线段。其方向为信号传输方向

，权值表示支路传输函数。

3.源点/汇点：仅含输出/输入支路的节点;4.通路：沿支路传输方向，从一个节点到另一个节点之间的路径。

5.开路（开通路）：一条通路与它经过的任一节点只相遇一次。

6.环（闭通路、回路）：一条通路的起始和终止节点为同一节点，且与经过的其余节点只相遇一次。信流图规则：支路：信号沿支路方向传输；信号在支路中得到加工、处理:4.7连续系统的表示与模拟节点：代表信号变量。任一节点信号等于所有输入该节点的支路信号相加。且与其输出支路无关。例：2.系统的信流图表示：（1）信流图、方框图对应关系：（见下页)

信流图是方框图的简化表示。

（2）由方框图画出信流图：

方法：a.由方框图写出诸运算单元（或个子系统）和整个系统输出信号的表达式。

b.由节点代表系统输入、输出及内部信号变量。

4.7连续系统的表示与模拟图：信号流图与方框图的对应关系4.7连续系统的表示与模拟c.用支路表示各节点信号之间的关系

例：某线性连续系统的方框图表示如下图，画出信流图。

解：设左边加法器的输出为X1(s)，左边第一和第二个积分器的输出分别为X2(s)和X3(s)，则有

4.7连续系统的表示与模拟三.用Mason公式计算H(s)：4.7连续系统的表示与模拟4.7连续系统的表示与模拟例：求系统函数。解：三阶系统、含三个环、三条开路。4.7连续系统的表示与模拟例：求系统函数。解：四阶系统含五个一阶环三个不接触二阶环一条开路。4.7连续系统的表示与模拟四.系统模拟：

1.系统模拟概念

2.常用模拟组件：数乘器、加法器、积分器。

3.模拟形式

（1）直接形式：二阶系统三条开路传输函数之和，且两不接触环传输函数之和直接形式1直接形式24.7连续系统的表示与模拟（2）串联形式：三阶系统模拟信号流图：4.7连续系统的表示与模拟（2）并联形式：三阶系统模拟信号流图：4.7节到此结束！4.7连续系统的表示与模拟4.8系统函数与系统特性一.H(s)的零点和极点：

本节主要研究H(s)零、极点分布与系统时域响应、频率特性和稳定性之间的关系。

LTI连续系统H(s)一般可表示为：m<n，ai、bi为实常数4.8系统函数与系统特性二.H(s)与时域特性：

h(t)表征系统的时域特性。

因h(t)等于H(s)的拉普拉斯逆变换，故h(t)与H(t)零、极点密切相关，具体有：

(1)H(s)的零点影响h(t)的幅度和相位。

(2)H(s)的极点影响h(t)的函数形式。

1.左半开平面极点：4.8系统函数与系统特性

结论1.H(s)在左半平面的极点，无论一阶或高阶极点，对应的h(t)均按指数规律衰减，当t趋于无穷大时，h(t)趋于零。2.虚轴上极点：

i=0,1,…r-14.8系统函数与系统特性i=0,1,…r-1

结论2.H(s)在虚轴上的一阶极点，对应的h(t)是幅度一定的阶跃函数或正弦函数；H(s)在虚轴上的高阶极点，对应的h(t)幅度随t的增长而增大，当t趋于无穷大时，

h(t)值趋于无穷大。3.右半开平面极点：

4.8系统函数与系统特性i=0,1,…r-1

结论3.H(s)在右半开平面极点，无论是一阶或高阶极点，对应的h(t)幅度均随t的增长而增大，当t趋于无穷大时，h(t)趋于零。H(s)的极点分布与时域函数的对应关系图见下页4.8系统函数与系统特性图：H(s)的极点分布与时域函数的对应关系

4.8系统函数与系统特性三.H(s)的系统频率特性：

H(jω)表征系统的频域特性：

设H(s)极点均位于s平面的左半开平面，其收敛坐标σ0

<0，即H(s)收敛域包括jω轴，则有：令

则有

4.8