陕西省2024年中考数学解答专项线段最值问题练习

线段最值问题(1)如图①，已知⊙O及⊙O外一点C，请在⊙O上找一点P，使其到点C的距离最近；(2)如图②，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从点B、C同时动身，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P.请在图中画出点P的运动路径，并求出点P到点C的最短距离；(3)如图③，AC为边长为4的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°.点M和N分别从点B、C同时动身，以相同的速度沿BC、CA方向向终点C和A运动，连接AM和BN，交于点P，求点P到直线CD的最短距离．第1题图解：(1)如解图①，连接OC交⊙O于点P，点P即为所求；第1题解图①(2)由题知BM＝CN，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴∠AMB＝∠BNC，又∵∠PBM＝∠CBN，∴△PBM∽△CBN，∴∠BPM＝∠BCN＝90°，∴∠APB＝90°，如解图②，连接AC、BD交于点O，取AB中点E，则以点E为圆心，BE为半径的eq\o(BO,\s\up8(︵))即为点P的运动路径，连接EC交eq\o(BO,\s\up8(︵))于点F，则点P与点F重合时，点P到点C距离最近．第1题解图②在Rt△BCE中，CE＝eq\r(BC2＋BE2)，∵BE＝eq\f(1,2)AB＝2，BC＝4，∴CE＝2eq\r(5)，∵EF＝B′E＝eq\f(1,2)AB＝2，∴CF＝CE－EF＝2eq\r(5)－2，∴点P到点C的最短距离为2eq\r(5)－2；(3)由题知BM＝CN.∵四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，∴∠ACB＝eq\f(1,2)∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠ACB.在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠AMB＝∠BNC，∴△BPM∽△BCN，∴∠BPM＝∠BCN＝60°，∴∠APB＝180°－∠BPM＝120°.如解图③，分别作线段AB、BP的垂直平分线，两线交于一点E，则以点E为圆心，EB为半径的eq\o(BA,\s\up8(︵))为点P的运动路径．连接EC，交eq\o(BA,\s\up8(︵))于点F，当点P与点F点重合时，点P到CD的距离最近．∵∠ABC＝∠ACB＝60°，且AB＝BC，∴△ABC是等边三角形，∴CE为AB的垂直平分线，∴∠BCE＝30°，eq\o(BF,\s\up8(︵))＝eq\o(FA,\s\up8(︵))，∵∠BEC＝2∠BAP＝60°，第1题解图③∴∠EBC＝90°，∴在Rt△EBC中，CE＝eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(4,\f(\r(3),2))＝eq\f(8\r(3),3)，BE＝eq\f(BC,tan60°)＝eq\f(4,\r(3))＝eq\f(4\r(3),3)，又∵EF＝BE，∴CF＝CE－EF＝eq\f(4\r(3),3).∴点P到直线CD的最短距离为eq\f(4\r(3),3).问题探究(1)请在图①的△ABC的边BC上作一点P，使AP最短；(2)如图②，点P为△ABC内部一点，且满意∠APB＝∠BPC＝∠APC.求证：点P到点A、B、C的距离之和最短，即PA＋PB＋PC最短；问题解决(3)如图③，某高校有一块边长为400米的正方形草坪ABCD，现打算在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在P点处，使点P到B、C、D三点的距离之和最小，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出点P的位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由．第2题图(1)解：如解图①所示，过点A作BC的垂线，垂足为P，点P即为所求；第2题解图(2)证明：如解图②，将AB绕点B逆时针旋转60°，得到A1B，将PB绕点B逆时针旋转60°，得到P1B，连接P1A1，P1P，A1A，A1B，依据作图可知△AA1B和△PP1B均为等边三角形，则PP1＝PB，∵△AA1B、△PP1B为等边三角形，∴A1B＝AB，BP1＝BP，∠A1BA＝∠P1BP＝60°，∴∠A1BP1＋∠P1BA＝∠PBA＋∠P1BA，∴∠A1BP1＝∠PBA，∴△A1BP1≌△ABP，∴P1A1＝PA，∴P1A1＋PP1＋PC＝PA＋PB＋PC，连接A1C，依据两点之间线段最短可知，当P1A1＋PP1＋PC＝A1C时，PA＋PB＋PC最短，∵∠APB＝∠BPC＝∠APC＝eq\f(1,3)×360°＝120°，∴∠A1P1B＝∠APB＝∠BPC＝120°，又∵△BP1P为等边三角形，∠A1P1B＋∠BP1P＝∠BPP1＋∠BPC＝180°，∴A1、P1、P、C四点共线，∴P1A1＋PP1＋PC＝A1C，∴当∠APB＝∠BPC＝∠APC时，PA＋PB＋PC最短；(3)解：存在符合条件的点P.如解图③，以CD为边作等边△CDE，再作△CDE的外接圆⊙O，连接BE，交⊙O于点P，此时PB＋PC＋PD最小．在PE上截取PQ＝PC.∵在等边△CDE中，∠DCE＝∠CDE＝60°，∴∠CPE＝∠CDE＝60°(同弧所对的圆周角相等)，第2题解图③∴△CPQ为等边三角形，∴CQ＝CP，∠PCQ＝60°，∴∠PCD＋∠DCQ＝∠DCQ＋∠ECQ＝60°，∴∠PCD＝∠ECQ，又∵CD＝CE，PC＝QC，∴△PCD≌△QCE(SAS)，∴PD＝QE，∴PB＋PC＋PD＝PB＋PQ＋QE＝BE最小，理由如下：设点M为正方形ABCD内随意一点，连接BM，CM、DM，将△CMD绕点C顺时针旋转60°得到△CGE，∵BE<GE＋GM＋MB＝MD＋MC＋MB，∴BE为PB＋PC＋PD的最短距离．在Rt△CEF中，∠ECF＝30°，CE＝400米，∴EF＝eq\f(1,2)CE＝200(米)，CF＝CE·cos30°＝200eq\r(3)(米)，∴BF＝BC＋CF＝400＋200eq\r(3)(米)，在Rt△BEF中