《几种常用的重分形分析方法分析3500字》

几种常用的重分形分析方法分析综述目录TOC\o"1-2"\h\u1385几种常用的重分形分析方法分析综述 1304831.1R/S方法与修正的R/S方法 130760式中的q可以通过时间序列的一阶自相关系数来确定，式中 230351.2DFA方法 3901.3MF-DFA方法 4R/S方法与修正的R/S方法R/S方法是最早最经典的进行分形分析的方法。该方法是由英国水文学家Hurst在20世纪初参与尼罗河水坝工程时提出的。为了判断水位序列是随机游走序列还是有偏的随机游走，即分数布朗运动序列，他提出了一个新的统计量Hurst指数来判断。Hurst指数刻画的是不同频率下有偏随机游走增量的波动和频率的关系。波动的数学含义是有偏的随机游走运动在不同频率下的增量的分布宽度。刻画这个宽度可以使用标准差或者其他指标。当使用重标极差作为刻画宽度的指标来度量波动的分布宽度时，该方法便称为重标极差分析法。1972年数学家Mandelbrot首次在美国的证劵市场中应用R/S方法，用于股票价格走势的分析中。20世纪九十年代，Peters则将该方法作为他的分形市场假说最重要的研究工具进行了详细的研究，在他做的很多实证研究中，R/S方法都取得了较为明显的效果。现在，尽管已经在R/S方法的基础上已经有了更多更完善的方法，但该方法仍然是用来分析时间序列的分形特征和长期记忆过程的有力工具之一。对于给定的对数收益率序列X=xiStep1:将长度为N的时间序列X等分成A个长度为s的子集，其中每个子集互不重叠，长度s=N/AStep2:对于子集a，计算前k个点（k=1,2,3,…,n）相对该子集均值eaDk,a=Step3:计算每个子集a内对数收益率序列的波动范围RaRa=Step4:计算每个子集a内的标准差SaSa=Step5:对每个子集a内，使用标准差Sa对波动范围Ra标准化，得到(R/S)a=Step6:对于a=1,2,…,A，重复以上步骤。当得到A个(R/S)a(R/S)s=Step7:改变分割长度s，使之取遍2,int(N/2)里所有的正整数。对不同的s，重复以上Step2～Step6，得到散点对s,(R/S)s。由于Hurst指数是用来描述(R/S)s(R/S)s=C∗因此，对s和(R/S)s进行双对数回归，即使用散点对ln⁡ln⁡((R/S)s所以该线性回归方程的斜率H就是Hurst指数。Hurst指数结果帮助我们判断序列是否具有单分形特征和长记忆性，以及时间序列是具有正向持续性还是反向持续性，又或者或者该序列其实是随机游走序列（Hurst指数=0.5）。R/S方法虽然可以检测时间序列中的长程相关性，但它对短期记忆性比较敏感，不能区分序列的短程和长程依赖关系。由于原始的R/S方法容易混淆短程和长程相关性，于是在罗闻全学者在经典R/S方法基础上提出了修正的R/S统计量。修正的R/S方法的与经典R/S方法在Step1～Step5都是一样的，在第六步：Step6:时间序列X的R/S统计量：(R/S)s=式中的q可以通过时间序列的一阶自相关系数来确定，式中σn2在公式中wkq=1− 根据Taqqu等人的研究表明，修正R/S方法仍然有其局限性，具体表现在于尽管该方法可以区分短程依赖性的问题，但是它在某些情况下可能是检测不到长期记忆性的。所以在实际应用时，序列的长期记忆可能会被修正R/S方法低估。因此，对于针对时间序列长期记忆性的判别的应用上，修止R/S方法应结合其他的统计学方法综合判断。DFA方法DFA方法是一种由C.K.Peng等生物学家在1994年引入的去趋势波动分析法（DetrendedFluctuationAnalysis，简记DFA），最开始应用于研究DNA的长期幂律关系。DFA可以用来分析类似长记忆过程的时间序列的自相关性。该技术已广泛应用于分析长时间连续发展后的自然环境中生物的长期关系。通过DFA方法以消除短期的波动趋势从而得出可以用来检测非平稳时间序列的长记忆性，该方法所得到的结果和R/S方法一样，得到Hurst指数。对于一个给定的对数收益率序列X=xStep1:按照下列公式构造时间序列X去均值的和序列Y=yy(i)=k=1i式中x=Step2:将去均值的和序列Y划分为N个互不相交的数据区间，子区间长度为s，其中N=n/s。由于取整的过程会导致尾部部分时间序列数据丢失，为了解决这个问题，对Y从尾部开始逆向分成等长的N个区间段。Step2结束后，共得到2N个长为sStep3:对每一个子区间λ,λ=1,2,…,2N，求其局部消除趋势序列。按如下方法：eq\o\ac(○,1)在子区间λ的s个数据中使用最小二乘回归法拟合m阶趋势多项式yλi:yλ式中m代表回归方程的阶数，可以去任意正整数。在标准的DFA方法中，取阶数m=2。eq\o\ac(○,2)计算各个区间段局部消除趋势序列Dλi。对于正向切割的区间λ=1,2,…,N，每个小区间上的消除趋势序列为：Dλi对于逆向切割的区间λ=N+1,N+2,…,2N的消除趋势序列为：DλiStep4:计算2N个小区间上的局部消除趋势序列的均方误差：F2s,λF2Step5:对这2N个F2Fs=[Step6:对分割长度s取遍区间2,int(N/2)里所有的正整数，重复Step2～Step5，计算出不同分割长度下的Fs，得到Fs关于不同F(s)∝sH再对(lns,ln⁡(F(s))lnFs则斜率H即为我们求得的Hurst指数。DFA方法和R/S方法求出的都是时间序列的Hurst指数，且该值是固定的。固定的Hurst指数主要用来判断时间序列是否具有单分形性和长记忆性的特征。若有上述特征，则继续使用MF-DFA方法探测序列的多重分形特征。MF-DFA方法2002年Kantelhard等人在传统DFA方法的基础上提出了多重分形消除趋势波动分析方法，英文名是MultifractalDetrendedFluctuationAnalysis（记为MF-DFA），是DFA方法的拓展。R/S方法和DFA方法一般先用在检测时间序列是否具有单分形特征，MF-DFA方法再更深入地探测时间序列是否具有多重分形特征。给定对数收益率序列X=xStep1:按照公式1构造时间序列X去均值的和序列Y=yyi=式中x=Step2:将去均值的和序列Y划分为N个互不相交的数据区间，子区间长度为s，其中N=n/s。由于取整的过程会导致尾部部分时间序列数据丢失，为了解决这个问题，对Y从尾部开始逆向分成等长的N个区间段。Step2结束后，共得到2NStep3:对每一个子区间λ,λ=1,2,…,2N内的s个点，求其局部消除趋势序列。按如下方法：eq\o\ac(○,1)在子区间λ的s个数据中使用最小二乘回归法拟合m阶趋势多项式yλi:yλ式中m代表回归方程的阶数，可以去任意正整数。eq\o\ac(○,2)计算各个区间段局部消除趋势序列Dλi。对于正向切割的区间λ=1,2,…,N，每个小区间上的消除趋势序列为：Dλi对于逆向切割的区间λ=N+1,N+2,…,2N的消除趋势序列为：DλiStep4:计算2N个子区间的均方误差：F2s,λF2s,λStep5:计算2N个子区间的平均均方误差，将结果开q次方得到依赖于q值的消除趋势波动函数的表达式：Fqs式中的q称为消除趋势波动函数的阶数。Step6:Fqs是关于子区间长度s和消除趋势波动函数阶数q的函数。根据幂律关系有下式成立FqsFqs的取值和分割长度s成正比。固定q值，对分割长度s取遍区间2,int(N/2)里的所有正整数，得到散点对(lns,ln(FStep7:改变q值，重复以上Step2～Step6，得到随q变化的Hurst指数ℎ(q)。此处的ℎq由于已经是q的函数了，所以也称为广义Hurst指数