2025版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系教案理含解析新人教A版

PAGEPAGE1§9.2两条直线的位置关系最新考纲考情考向分析1.能依据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.驾驭两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.以考查两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特殊是距离公式，是高考考查的重点.1.两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.②两条直线垂直：(ⅰ)假如两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解.2.几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).概念方法微思索1.若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率有什么关系？提示当两条直线l1与l2的斜率都存在时，·＝－1；当两条直线中一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，l1与l2也垂直.2.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应留意什么？提示(1)将方程化为最简的一般形式.(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两平行线方程中x，y的系数分别对应相等.题组一思索辨析1.推断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，肯定有k1＝k2⇒l1∥l2.(×)(2)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(√)(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(×)(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(√)(5)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－eq\f(1,k)，且线段AB的中点在直线l上.(√)题组二教材改编2.已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A.eq\r(2)B.2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1D.eq\r(2)＋1答案C解析由题意得eq\f(|a－2＋3|,\r(1＋1))＝1.解得a＝－1＋eq\r(2)或a＝－1－eq\r(2).∵a>0，∴a＝－1＋eq\r(2).3.已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.答案1解析由题意知eq\f(m－4,－2－m)＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.4.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0相交于同一点，则m的值为________.答案－9解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2.))所以点(1,2)满意方程mx＋2y＋5＝0，即m×1＋2×2＋5＝0，所以m＝－9.题组三易错自纠5.直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于()A.2 B.－3C.2或－3 D.－2或－3答案C解析直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有eq\f(2,m)＝eq\f(m＋1,3)≠eq\f(4,－2)，故m＝2或－3.故选C.6.直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______.答案eq\f(3\r(2),4)解析先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋eq\f(1,2)＝0，则两平行线间的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2))),\r(2))＝eq\f(3\r(2),4).7.若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.题型一两条直线的平行与垂直例1(2024·满洲里调研)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.(1)试推断l1与l2是否平行；(2)当l1⊥l2时，求a的值.解(1)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－eq\f(a,2)x－3，l2：y＝eq\f(1,1－a)x－(a＋1)，l1∥l2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)＝\f(1,1－a)，,－3≠－a＋1，))解得a＝－1，综上可知，当a＝－1时，l1∥l2，a≠－1时，l1与l2不平行.方法二由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，∴l1∥l2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa－1－1×2＝0，,aa2－1－1×6≠0，))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a－2＝0，,aa2－1≠6，))可得a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2.当a≠－1时，l1与l2不平行.(2)方法一当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；当a≠1且a≠0时，l1：y＝－eq\f(a,2)x－3，l2：y＝eq\f(1,1－a)x－(a＋1)，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))·eq\f(1,1－a)＝－1，得a＝eq\f(2,3).方法二由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝eq\f(2,3).思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般状况，也要考虑到斜率不存在的特殊状况.同时还要留意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在推断两直线平行、垂直时，也可干脆利用直线方程的系数间的关系得出结论.跟踪训练1(1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为()A.－eq\f(3,2) B.0C.－eq\f(3,2)或0 D.2答案C解析若a≠0，则C.(2)(2024·营口模拟)已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满意下列条件的a，b的值.①l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；②l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等.解①∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.②∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在.∴k1＝k2，即eq\f(a,b)＝1－a.又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即eq\f(4,b)＝b.故a＝2，b＝－2或a＝eq\f(2,3)，b＝2.题型二两直线的交点与距离问题1.(2024·葫芦岛调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是()A.－eq\f(2,3)B.eq\f(2,3)C.－eq\f(3,2)D.eq\f(3,2)答案A解析由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立解得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k)＋1，1))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k－6,k－1)，\f(－6k＋1,k－1))).又因为MN的中点是P(1，－1)，所以由中点坐标公式得k＝－eq\f(2,3).2.若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上随意一点，则|PQ|的最小值为()A.eq\f(9,5)B.eq\f(18,5)C.eq\f(29,10)D.eq\f(29,5)答案C解析因为eq\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,5)，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq\f(29,10).3.已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－eq\f(1,2)x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,2)))解析方法一由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2k＋1，,y＝－\f(1,2)x＋2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－4k,2k＋1)，,y＝\f(6k＋1,2k＋1).))(若2k＋1＝0，即k＝－eq\f(1,2)，则两直线平行)∴交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)，\f(6k＋1,2k＋1))).又∵交点位于第一象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2－4k,2k＋1)>0，,\f(6k＋1,2k＋1)>0，))解得－eq\f(1,6)<k<eq\f(1,2).方法二如图，已知直线y＝－eq\f(1,2)x＋2与x轴、y轴分别交于点A(4,0)，B(0,2).而直线方程y＝kx＋2k＋1可变形为y－1＝k(x＋2)，表示这是一条过定点P(－2,1)，斜率为k的动直线.∵两直线的交点在第一象限，∴两直线的交点必在线段AB上(不包括端点)，∴动直线的斜率k需满意kPA<k<kPB.∵kPA＝－eq\f(1,6)，kPB＝eq\f(1,2).∴－eq\f(1,6)<k<eq\f(1,2).4.已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为________________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－4))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,7)，－\f(8,7)))解析设点P的坐标为(a，b).∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2).而AB的斜率kAB＝eq\f(－3＋1,4－2)＝－1，∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.①又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，∴eq\f(|4a＋3b－2|,\r(42＋32))＝2，即4a＋3b－2＝±10，②由①②联立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(27,7)，,b＝－\f(8,7).))∴所求点P的坐标为(1，－4)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,7)，－\f(8,7))).思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法先求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.(2)利用距离公式应留意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等.题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例2过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________.答案x＋4y－4＝0解析设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.命题点2点关于直线对称例3如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最终经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.3eq\r(3)B.6C.2eq\r(10)D.2eq\r(5)答案C解析直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).命题点3直线关于直线的对称问题例4直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________.答案x－2y＋3＝0解析设所求直线上随意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－y－y0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝y－2，,y0＝x＋2，))由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.(2)轴对称①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.跟踪训练2已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l′的方程.解(1)设A′(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)·\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，))即A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m′上.设对称点为M′(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2×\f(a＋2,2)－3×\f(b＋0,2)＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，))即M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).设m与l的交点为N，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4,3).又m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)方法一在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如P(1,1)，N(4,3)，则P，N关于点A的对称点P′，N′均在直线l′上.易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.方法二设Q(x，y)为l′上随意一点，则Q(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为Q′(－2－x，－4－y)，∵Q′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.妙用直线系求直线方程在求解直线方程的题目中，可采纳设直线系方程的方式简化运算，常见的直线系有平行直线系，垂直直线系和过直线交点的直线系.一、平行直线系例1求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程.解由题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0(c≠1)，又因为直线过点(1,2)，所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11.因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0.二、垂直直线系例2求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程.解因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C＝0，又直线过点A(2,1)，所以有2－2×1＋C＝0，解得C＝0，即所求直线方程为x－2y＝0.三、过直线交点的直线系例3求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程.解方法一将直线l1，l2的方程联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))即直线l1，l2的交点为(－1,2).由题意得直线l3的斜率为eq\f(3,5)，又直线l⊥l3，所以直线l的斜率为－eq\f(5,3)，则直线l的方程是y－2＝－eq\f(5,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))，即5x＋3y－1＝0.方法二由于l⊥l3，所以可设直线l的方程是5x＋3y＋C＝0，将直线l1，l2的方程联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))即直线l1，l2的交点为(－1,2)，则点(－1,2)在直线l上，所以5×(－1)＋3×2＋C＝0，解得C＝－1，所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.方法三设直线l的方程为3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0，整理得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0.由于l⊥l3，所以3(3＋5λ)－5(2＋2λ)＝0，解得λ＝eq\f(1,5)，所以直线l的方程为5x＋3y－1＝0.1.直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是()A.平行 B.垂直C.相交但不垂直 D.不能确定答案C解析直线2x＋y＋m＝0的斜率k1＝－2，直线x＋2y＋n＝0的斜率k2＝－eq\f(1,2)，则k1≠k2，且k1k2≠－1.故选C.2.若m∈R，则“log6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A解析由log6m＝－1得m＝eq\f(1,6)，若l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行，则直线斜率相等或斜率不存在，解得m＝0或m＝eq\f(1,6)，则“log6m＝－1”是“直线l1：x＋2my－1＝0与l2：(3m－1)x－my－1＝0平行”的充分不必要条件.故选A.3.已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为()A.－10B.－2C.0D.8答案A解析因为l1∥l2，所以kAB＝eq\f(4－m,m＋2)＝－2.解得m＝－8.又因为l2⊥l3，所以－eq\f(1,n)×(－2)＝－1，解得n＝－2，所以m＋n＝－10.4.过点M(－3,2)，且与直线x＋2y－9＝0平行的直线方程是()A.2x－y＋8＝0 B.x－2y＋7＝0C.x＋2y＋4＝0 D.x＋2y－1＝0答案D解析方法一因为直线x＋2y－9＝0的斜率为－eq\f(1,2)，所以与直线x＋2y－9＝0平行的直线的斜率为－eq\f(1,2)，又所求直线过M(－3,2)，所以所求直线的点斜式方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x＋3)，化为一般式得x＋2y－1＝0.故选D.方法二由题意，设所求直线方程为x＋2y＋c＝0，将M(－3，2)代入，解得c＝－1，所以所求直线为x＋2y－1＝0.故选D.5.(2024·盘锦模拟)若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为()A.eq\f(4\r(2),3)B.4eq\r(2)C.eq\f(8\r(2),3)D.2eq\r(2)答案C解析∵l1∥l2，∴a≠2且a≠0，∴eq\f(1,a－2)＝eq\f(a,3)≠eq\f(6,2a)，解得a＝－1，∴l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq\f(2,3)＝0，∴l1与l2的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq\f(8\r(2),3).6.若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点()A.(0,4) B.(0,2)C.(－2,4) D.(4，－2)答案B解析直线l1：y＝k(x－4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2经过定点(0,2).7.已知直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，若l1⊥l2，则a＝________，此时点P的坐标为________.答案1(3,3)解析∵直线l1：ax＋y－6＝0与l2：x＋(a－2)y＋a－1＝0相交于点P，且l1⊥l2，∴a×1＋1×(a－2)＝0，即a＝1，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－6＝0，,x－y＝0，))易得x＝3，y＝3，∴P(3,3).8.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.答案eq\f(34,5)解析由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq\f(34,5).9.直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程为______________.答案x－2y＝0解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋3，,y＝x＋1，))解得直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，所以可设直线l2的方程为y＋1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得eq\f(|k－2＋2k－1|,\r(k2＋1))＝eq\f(|2－2＋3|,\r(22＋1))，解得k＝eq\f(1,2)(k＝2舍去)，所以直线l2的方程为x－2y＝0.10.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为______________.答案6x－y－6＝0解析设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b－4,a－－3)·1＝－1，,\f(－3＋a,2)－\f(b＋4,2)＋3＝0，))解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为eq\f(y－0,6－0)＝eq\f(x－1,2－1)，即6x－y－6＝0.11.已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2,2).(1)证明：对随意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同肯定点，并求出这肯定点的坐标；(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq\r(2).(1)解明显2＋λ与－(1＋λ)不行能同时为零，故对随意的实数λ，该方程都表示直线.∵方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－6＝0，,x－y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2，))故直线经过的定点为M(2，－2).(2)证明过P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，∴M与Q不行能重合，而|PM|＝4eq\r(2)，∴|PQ|<4eq\r(2)，故所证成立.12.已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是eq\f(7\r(5),10).(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满意下列三个条件：①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的eq\f(1,2)；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是eq\r(2)∶eq\r(5).若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.解(1)直线l2：2x－y－eq\f(1,2)＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))),\r(22＋－12))＝eq\f(7\r(5),10)，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2))),\r(5))＝eq\f(7\r(5),10)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))＝eq\f(7,2)，又a>0，解得a＝3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0).若P点满意条件②，则P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且eq\f(|c－3|,\r(5))＝eq\f(1,2)eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2))),\r(5))，即c＝eq\f(13,2)或eq\f(11,6)，所以2x0－y0＋eq\f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq\f(11,6)＝0；若P点满意条件③，由点到直线的距离公式，有eq\f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq\f(\r(2),\r(5))eq\f(|x0＋y0－1|,\r(2))，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不行能.联立方程2x0－y0＋eq\f(13,2)＝0和x0－2y0＋4＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝\f(1,2)，))(舍去)联立方程2x0－y0＋eq\f(11,6)＝0和x0－2y0＋4＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,9)，,y0＝\f(37,18).))所以存在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(37,18)))同时满意三个条件.13.已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3,1)，则点C的坐标为()A.(－2,4) B.(－2，－4)C.(2,4) D.(2，－4)答案C解析设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(y－2,x＋4)×2＝－1，,\f(y＋2,2)＝2×\f(－4＋x,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))∴BC所在直线方程为y－1＝eq\f(－2－1,4－3)(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3,1)关于直线y＝2x的对称点为(－1,3)，