《数学（上册）》课件-第六章

第六章多面体和旋转体6.1多面体及其表面积6.2旋转体及其表面积6.3多面体和旋转体的体积6.1多面体及其表面积6.1.1多面体6.1.2棱柱6.1.3棱锥6.1.4棱台6.1.5棱柱、棱锥、棱台的直观图6.1.6直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积6.1.7正多面体6.1.1多面体由几个平面多边形围成的几何体叫作多面体．围成多面体的各个平面多边形叫作多面体的面，相邻两个面的公共边叫作多面体的棱，棱和棱的公共点叫作多面体的顶点，连结不在同一个面内的两个顶点的线段叫作多面体的对角线。请说出如图各多面体的面数、棱数和顶点数．6.1.2棱柱棱柱的概念和性质有两个面互相平行，其余每相邻两个面的公共边都互相平行的多面体叫作棱柱．这两个互相平行的面叫作棱柱的底面，简称底．其余各面叫作棱柱的侧面．相邻侧面的公共边叫作棱柱的侧棱．两个底面间的公垂线段叫作棱柱的高．请指出图中的棱柱的底面、侧面、侧棱和高．由棱柱的定义，容易得出棱柱具有下面的一些性质：（1）侧棱都相等，侧面都是平行四边形．（2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形（图甲）．（3）经过棱柱的不在同一个侧面上的两条侧棱的截面叫作棱柱的对角面．棱柱的对角面都是平行四边形（图乙）．长方体的对角线有下面的性质：

定理长方体任意一条对角线长度的平方等于它的三度的

平方和．

推论长方体的四条对角线等长．6.1.3棱锥棱锥的概念和性质有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫作棱锥．这个多边形叫作棱锥的底面，其余各面叫作棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫作棱锥的顶点，从顶点到底面间的垂线段叫作棱锥的高.请指出图中棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点和高．棱锥截面的性质定理如果一个棱锥被平行于底面的一个平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比．6.1.3棱锥正棱锥如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底而上的正射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫作正棱锥．正棱锥有下面的一些性质：（1）正棱锥各侧棱都相等，各个侧面都是全等的等腰三角形．各等腰三角形底边上的高都相等，它叫作正棱锥的斜高．（2）正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的正射影组成一个直角三角形；高、侧棱和侧棱在底面上的正射影也组成一个直角三角形.6.1.4棱台棱台的概念和性质用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫作棱台．原棱锥的底面和截面分别叫作棱台的下底面和上底面．其他各面叫作棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱，上、下底面之间的公垂线段叫作棱台的高．请指出图6-16的棱台的底面、侧面、侧棱和高．由棱台的定义容易得出棱台具有下面的一些性质：（1）棱台的各条侧棱延长后相交于一点．（2）棱台的两个底面是相似多边形．（3）棱台的各个侧面都是梯形．6.1.4棱台正棱台由正棱锥截得的棱台叫作正棱台．如图的棱台就是一个正四棱台．

正棱台除具有棱台的性质外，还有下面一些性质：（1）正棱台的侧棱都相等，侧面是全等的等腰梯形．各等腰梯形的高都相等，它叫作正棱台的斜高．（2）正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是相似的正多边形．（3）正棱台的两底面中心连线（正棱台的高）、侧棱和两底面相应的半径组成一个直角梯形；两底面中心连线、相应的边心距和斜高也组成一个直角梯形．6.1.6直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积

直棱柱的表面积把棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，所得到的图形叫作棱柱的侧面展开图，展开图的面积就是棱柱的侧面积，直棱柱的侧面展开图是一个矩形（如图），这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h，由此得到下面的定理：定理直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积，即S直棱柱侧=ch其中，c和h分别表示直棱柱的底面周长和高．直棱柱的全面积等于它的侧面积与两个底面面积的和．6.1.6直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积正棱锥的表面积定理正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高的乘积的一半．即

S正棱锥侧=ch’/2

其中，c和h'分别表示正棱锥的底面周长和斜高，正棱锥的全面积等于它的侧面积与底面积的和．正棱台的表面积定理正棱台的侧面积等于它的两个底面周长的和与斜高的乘积的一半．即其中，c、c'和h'分别表示正棱台的两个底面周长和斜高．正棱台的全面积等于它的侧面积与两个底面积的和．

6.1.7正多面体在正多面体里，所有的棱都相等，所有的二面角都相等．正多边形有无数多种，但作为正多面体的面，只可能是正三角形、正方形和正五边形三种．以正三角形作面，可以围成正四面体、正八面体和正二十面体三种；以正方形作面，只能围成正六面体；以正五边形作面，只能围成正十二面体．可以证明，正多面体只有以上这五种.6.2旋转体及其表面积6.2.1旋转体6.2.2圆柱、圆锥、圆台的直观图6.2.3圆柱、圆锥、圆台的表面积6.2.4球6.2.1旋转体旋转体一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所成的曲面叫作旋转面，这条定直线叫作旋转轴，无论旋转到什么位置，这条曲线都叫作旋转面的母线．图中，直线a是旋转轴，曲线l（不论旋转到什么位置）是母线．由旋转面或旋转面和平面所围成的封闭的几何体叫作旋转体，生活中常见的圆钢、铅锤、粮囤、救生圈等都是旋转体(如图).6.2.1旋转体圆柱、圆锥、圆台的概念和性质分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形的垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体，分别叫作圆柱、圆锥、圆台．旋转轴叫作它们的轴，在轴上的这条边叫作它们的高，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线（简称母线）．圆柱、圆锥、圆台有下面的性质：（1）平行于底面的截面都是圆．（2）过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形和等腰梯形．（3）圆台的各条母线的延长线相交于一点．6.2.3圆柱、圆锥、圆台的表面积定理如果圆柱的底面半径是r，周长是c，母线长为l，那么它的侧面积是定理如果圆锥底面半径是r，周长是c，母线长为l，那么它的侧面积是定理如果圆台的上、下底面半径分别是r'、r，周长分别是c'、c，母线长是l，那么它的侧面积是圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系可表示如图6.2.4球球的概念和性质半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所围成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．旋转出球面的半圆的圆心叫作球心．连结球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径，连结球面上任意两点并且经过球心的线段叫作球的直径．图中的球中，指出球心、半径、直径各是什么？球可以用表示它的球心的字母来表示，例如球O．用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的一些性质：（1）球心和截面（不过球心）的圆心的连线垂直于截面（2）球心和截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，有下面的关系：

r=6.2.4球球的表面积

定理球面面积等于它的大圆面积的4倍．即其中，R是球的半径．6.3多面体和旋转体的体积6.3.1体积的概念和祖暅原理6.3.2棱柱、圆柱的体积6.3.3棱锥、圆锥的体积6.3.4棱台、圆台的体积6.3.5球的体积6.3.1体积的概念和祖暅原理几何体占有空间部分的大小叫作它的体积．祖暅原理夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．

链接：我国古代数学家祖暅（是我国南北朝时代著名的数学家）早在公元五世纪，就在实践的基础上，总结出这个原理，并首先使用这个原理巧妙地证明了球的体积公式，这是我国古代数学研究的灿烂成果．为了纪念祖暅的这一伟大功绩，我们把这个公理叫作祖暅原理，在国外，直到十七世纪，才由意大利数学家卡发雷利（1598～1647）提出这一事实．6.3.2棱柱、圆柱的体积设有底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱和圆柱，取一个与它们底面积相等、高也相等的长方体，把它们的下底放在同一个平面上，因为它们的上底和下底平行，并且高都相等，所以它们的上底都在和平面平行的同一个平面内（如图）.定理柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即推论圆柱的底面半径是r，高是h，它的体积是6.3.3棱锥、圆锥的体积定理等底面积等高的两个锥体的体积相等．定理三棱锥的体积等于它的底面积S与高h的乘积的三分之一定理任意锥体（棱锥、圆锥）的体积都等于它的底面积S与高h的乘积的三分之一．推论如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是6.3.4棱台、圆台的体积定理如果台体（棱台、圆台）的上、下底面的面积分别是S'、S，高是h，那么它的体积是推论如果圆台的上、下底面半径分别是r'、r，高是h，那么它的体积是柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系，可用下图表示：6.3.5球的体积定理球的体积等于它的半径R的立方与的乘积的三分之四．即推论球的体积等于它的直径D的立方与的乘积的六分之一，即本章小结本章的主要内容是多面体和旋转体中常见的柱、锥、台、球的概念、性质、直观图的画法以及面积、体积的计算，重点研究了应用比较广泛的直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球．这些几何体的性质主要指它们的元素及特殊位置的截面的形状、大小和位置关系．这些性质都可以在第五章线面关系的基础上由定义推出来．具体包括：它们的棱、面的性质；平行于底面的截面的性质；经过侧棱（或轴线）的截面（或它的一部分）的性质，通过对这些性质的研究，我们对这些几何体就有了一个比较全面深刻的认识．本章介绍了立体图形两种直观图的画法：斜二测画法和正等测画法．画图时，可以根据情况任选一种，画多面体时，常用斜二测画法．画旋转体时，常用正等测画法．画多面体和旋转体组合图形时，多用正等测画法．这时，要注意不要两种方法混用．直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台的侧面都可以展成平面图形，我们可以通过展开图求出这些多面体和旋转体的侧面积和表面积．利用展开图还可以做出这些几何体的模型．球面不能展成平面图形．本章中有关多面体和旋转体的体积公式，都是经过逻辑推理得到的．推理的基础是祖暅原理和长方体的体积定理．其中长方体的体积定理是推导其他体积公式的基础，而祖暅原理起着转化的作用，它把求未知几何体体积的问题转化为已知几何体的体积问题，推导三棱锥的体积公式时，使用了对几何体割补的方法，这种方法用途广泛，应该注意理解和体会．由于柱体、锥体可以看作台体的特殊形式，所以它们的侧面积公式和体积公式可以分别用台体的侧面积公式和体积公式来概括，几何体之间的侧面积公式和体积公式的这种关系，反映了这些几何体之间的辩证关系．各个面都是全等的正多边形，并且从每个顶点出发的棱数都相等的多面体叫作正多面体，正多面体只有五种：正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．本章几何体的体积与其表面积的公式较多，为了便于记忆和应用，把它们列成下面的公式表．图形侧面积公式体积公式多面体旋转体本章内容与第五章直线与平面的知识及初中平面几何的内容有密切的联系．在解题时，常通过适当的方法（如借助于正棱锥、正棱台中的一些直角三角形和直角梯形，通过平移、投影和作截面等），把立体问题转化为平面问题来解决．练习题填空（1）正方体的对角线长为l，则它的全面是_______．（2）圆柱的一个底面积与它的轴截面面积之比是:4，则这轴截面的两条对角线的交角是________度．（3）三棱锥的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的_______心．（4）等边圆锥的母线长为a，它的侧面面积是_________，体积是____．（5）圆台的两底面半径和母线长的比为1:4:5，高是8cm，它的体积是________．（6）过球半径的中点作一个垂直于这半径的截面，则这个截面圆的面积与大圆面积的比是___________．选择题（1）球、球的外切圆柱、球的外切等边圆锥的体积的比为____．A.6:4