新高考2025版高考数学二轮复习第三部分讲重点解答题专练第5讲概率与统计教学案理

PAGEPAGE1第5讲概率与统计■真题调研——————————————【例1】[2024·全国卷Ⅱ]11分制乒乓球竞赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局竞赛结束．甲、乙两位同学进行单打竞赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局竞赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事务“X＝4且甲获胜”的概率．解：(1)X＝2就是10∶10平后，两人又打2个球该局竞赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局竞赛结束，且这4个球的得分状况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.【例2】[2024·全国卷Ⅲ]为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．依据试验数据分别得到如下直方图：甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图记C为事务：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，依据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.【例3】[2024·北京卷]改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的运用状况，从全校学生中随机抽取了100人，发觉样本中A，B两种支付方式都不运用的有5人，样本中仅运用A和仅运用B的学生的支付金额分布状况如下：支付金额(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000仅运用A18人9人3人仅运用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都运用的概率；(2)从样本仅运用A和仅运用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有改变．现从样本仅运用A的学生中，随机抽查3人，发觉他们本月的支付金额都大于2000元．依据抽查结果，能否认为样本仅运用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有改变？说明理由．解：(1)由题意知，样本中仅运用A的学生有18＋9＋3＝30人，仅运用B的学生有10＋14＋1＝25人，A，B两种支付方式都不运用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都运用的学生有100－30－25－5＝40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都运用的概率估计值为eq\f(40,100)＝0.4.(2)X的全部可能值为0,1,2.记事务C为“从样本仅运用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事务D为“从样本仅运用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．由题设知，事务C，D相互独立，且P(C)＝eq\f(9＋3,30)＝0.4，P(D)＝eq\f(14＋1,25)＝0.6.所以P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝0.24，P(X＝1)＝P(Ceq\x\to(D)∪eq\x\to(C)D)＝P(C)P(eq\x\to(D))＋P(eq\x\to(C))P(D)＝0.4×(1－0.6)＋(1－0.4)×0.6＝0.52，P(X＝0)＝P(eq\x\to(C)eq\x\to(D))＝P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＝0.24.所以X的分布列为X012P0.240.520.24故X的数学期望E(X)＝0×0.24＋1×0.52＋2×0.24＝1.(3)记事务E为“从样本仅运用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．假设样本仅运用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有改变，则由上个月的样本数据得，P(E)＝eq\f(1,C\o\al(3,30))＝eq\f(1,4060).答案示例1：可以认为有改变．理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事务一般不简单发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了改变．所以可以认为有改变．答案示例2：无法确定有没有改变．理由如下：事务E是随机事务，P(E)比较小，一般不简单发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有改变．【例4】[2024·全国卷Ⅰ]为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再支配下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了便利描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验起先时都给予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.(ⅰ)证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；(ⅱ)求p4，并依据p4的值说明这种试验方案的合理性．解：(1)X的全部可能取值为－1,0,1.P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)．所以X的分布列为(2)(ⅰ)由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1(i＝1,2，…，7)，故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列．(ⅱ)由(ⅰ)可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq\f(48－1,3)p1.由于p8＝1，故p1＝eq\f(3,48－1)，所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝eq\f(44－1,3)p1＝eq\f(1,257).p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝eq\f(1,257)≈0.0039，此时得出错误结论的概率特别小，说明这种试验方案合理．■模拟演练——————————————1．[2024·南昌二模]某品牌餐饮公司打算在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理支配各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1,2,3,4,5时，单店日平均营业额y(单位：万元)的数据如下：加盟店个数x12345单店日平均营业额y/万元10.910.297.87.1(1)求单店日平均营业额y(单位：万元)与所在地区加盟店个数x的线性回来方程；(2)该公司依据(1)中所求的回来方程，确定在其他5个地区中，开设加盟店个数为5,6,7的地区数分别为2,1,2.小赵与小王都打算加入该公司的加盟店，但依据公司规定，他们只能分别从这5个地区的30个加盟店中随机抽取一个加入．记事务A：小赵与小王抽取到的加盟店在同一个地区，事务B：小赵与小王抽取到的加盟店预料日平均营业额之和不低于12万元，求在事务A发生的前提下事务B发生的概率．(参考数据及公式：eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝125，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝55，线性回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x))解：(1)由题可得，eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝9，设所求线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(125－135,55－45)＝－1，将eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝9代入eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，得eq\o(a,\s\up6(^))＝9－(－3)＝12，故所求线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－x＋12.(2)依据(1)中所得回来方程，加盟店个数为5的地区单店预料日平均营业额为7万元，加盟店个数为6的地区单店预料日平均营业额为6万元，加盟店个数为7的地区单店预料日平均营业额为5万元．P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5)×2＋C\o\al(2,6)＋C\o\al(2,7)×2,C\o\al(2,30))＝eq\f(77,435)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,5)×2＋C\o\al(2,6),C\o\al(2,30))＝eq\f(35,435)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(5,11).2．[2024·武汉4月调研]中共十九大以来，某贫困地区扶贫办主动实行国家精准扶贫的要求，带领广阔农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农夫年收入也逐年增加．为了更好地制定2024年关于加快提升农夫年收入，力争早日脱贫的工作支配，该地区扶贫办统计了2024年50位农夫的年收入(单位：千元)并制成如下频率分布直方图：(1)依据频率分布直方图，估计50位农夫的年平均收入eq\x\to(x)(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)．(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农夫年收入X听从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入eq\x\to(x)，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92.利用该正态分布，解决下列问题：①在2024年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农夫人数的84.14%的农夫的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？②为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实状况，扶贫办随机走访了1000位农夫．若每个农夫的年收入相互独立，问：这1000位农夫中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式eq\r(6.92)≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)eq\x\to(x)＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．(2)由题意，X～N(17.40,6.92)．①P(X>u～σ)≈eq\f(1,2)＋eq\f(0.6827,2)≈0.8414，μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，即最低年收入大约为14.77千元．②由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)≈0.5＋eq\f(0.9545,2)≈0.9773，得每个农夫的年收入不少于12.14千元的事务的概率为0.9773，记这1000位农夫中年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B(103，p)，其中p＝0.9773，于是恰好有k位农夫的年收入不少于12.14千元的事务的概率是P(ξ＝k)＝Ck103pk(1－p)103－k，从而由eq\f(Pξ＝k,Pξ＝k－1)＝eq\f(1001－k×p,k×1－p)>1，得k<1001p，而1001p＝978.2773，所以，当0≤k≤978时，P(ξ＝k－1)<P(ξ＝k)，当979≤k≤1000时，P(ξ＝k－1)>P(ξ＝k)．由此可知，在所走访的1000位农夫中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.3．[2024·郑州质量预料二]目前，浙江和上海已经成为新高考综合试点的“排头兵”，有关其他省份新高考改革的实施支配，教化部部长在十九大上做出明确表态：到2024年，我国将全面建立起新的高考制度．新高考规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案．某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：选考方案探讨状况物理化学生物历史地理政治男生确定的有16人16168422待确定的有12人860200女生确定的有20人610201626待确定的有12人2810002(1)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？(2)将2×2列联表填写完整，并通过计算推断能否有99.9%的把握认为选历史与性别有关？选历史不选历史总计选考方案确定的男生选考方案确定的女生总计(3)从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，设随机变量ξ＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，2名男生选考方案不同,1，2名男生选考方案相同，))求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋ba＋cc＋db＋d)，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828解：(1)由题意可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的学生有8人，选考方案确定的女生中确定选考生物的学生有20人，则该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生约有eq\f(28,36)×eq\f(36,60)×840＝392(人)．(2)2×2列联表填写完整为选历史不选历史总计选考方案确定的男生41216选考方案确定的女生16420总计201636由2×2列联表可得，K2的观测值k＝eq\f(36×4×4－12×162,20×16×20×16)＝eq\f(36×162×112,20×16×20×16)＝eq\f(1089,100)＝10.89＞10.828，所以有99.9%的把握认为选历史与性别有关．(3)由题表中数据可知，选考方案确定的男生中有8人选择物理、化学和生物；有4人选择物理、化学和历史；有2人选择物理、化学和地理；有2人选择物理、化学和政治．由已知得ξ的取值为0,1.P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,8)＋C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,16))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝0)＝1－P(ξ＝1)＝eq\f(7,10)(或P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(1,8)C\o\al(1,8)＋C\o\al(1,4)C\o\al(1,4)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(2,16))＝eq\f(7,10))，所以ξ的分布列为ξ01Peq\f(7,10)eq\f(3,10)所以E(ξ)＝0×eq\f(7,10)＋1×eq\f(3,10)＝eq\f(3,10).4．[2024·济南模拟]某客户打算在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，运用寿命为十年，如图1所示．两个一级过滤器采纳并联安装，二级过滤器与三级过滤器为串联安装．其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在运用过程中，一级滤芯和二级滤芯都须要不定期更换(每个滤芯是否须要更换相互独立)，三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个80元，二级滤芯每个160元．若客户在运用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200元，二级滤芯每个400元，现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了依据100套该款净水系统在十年运用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图2是依据200个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，表是依据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表：图1图2二级滤芯更换频数分布表：二级滤芯更换的个数56频数6040以200个一级过滤器更换滤芯的频率代替1个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以100个二级过滤器更换滤芯的频率代替1个二级过滤器更换滤芯发生的概率．(1)求一套净水系统在运用期内须要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；(2)记X表示该客户的净水系统在运用期内须要更换的一级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；(3)记m，n分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数．若m＋n＝28，且n∈{5,6}，以该客户的净水系统在运用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m，n的值．解：(1)由题意可知，若一套净水系统在运用期内须要更换的各级滤芯总个数恰好为30，则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12个滤芯，二级过滤器须要更换6个滤芯．设“一套净水系统在运用期内须要更换的各级滤芯总个数恰好为30”为事务A.因为一个一级过滤器须要更换12个滤芯的概率为0.4，二级过滤器须要更换6个滤芯的概率为0.4，所以P(A)＝0.4×0.4×0.4＝0.064.(2)由柱状图可知，一个一级过滤器须要更换的滤芯个数为10,11,12的概率分别为0.2,0.4,0.4.由题意，X可能的取值为20,2