工程数学线性代数课后答案详细答案真正同济第五版

工程数学线性代数课后答案详细答案真正同济第五版第一章行列式

习题1.11.证明：（1）二阶行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{12}a_{21}\)。（2）三阶行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}a_{13}a_{22}a_{31}a_{12}a_{21}a_{33}a_{11}a_{23}a_{32}\)。证明过程：对于二阶行列式，根据定义，它是不同行不同列元素乘积的代数和，所以\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{12}a_{21}\)。对于三阶行列式，按照对角线法则展开：从左上角到右下角的三个元素乘积取正号，即\(a_{11}a_{22}a_{33}\)，\(a_{12}a_{23}a_{31}\)，\(a_{13}a_{21}a_{32}\)。从右上角到左下角的三个元素乘积取负号，即\(a_{13}a_{22}a_{31}\)，\(a_{12}a_{21}a_{33}\)，\(a_{11}a_{23}a_{32}\)。它们的代数和就是三阶行列式的值，即\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}a_{13}a_{22}a_{31}a_{12}a_{21}a_{33}a_{11}a_{23}a_{32}\)。2.计算下列行列式：（1）\(\begin{vmatrix}4&1\\2&3\end{vmatrix}=4\times31\times2=122=10\)。（2）\(\begin{vmatrix}x1&1\\x^2&x+1\end{vmatrix}=(x1)(x+1)x^2=x^21x^2=1\)。（3）\(\begin{vmatrix}cos\theta&sin\theta\\sin\theta&cos\theta\end{vmatrix}=cos^2\theta+sin^2\theta=1\)。（4）\(\begin{vmatrix}2&1&1\\1&1&0\\4&3&2\end{vmatrix}\)按第一行展开：\(2\times\begin{vmatrix}1&0\\3&2\end{vmatrix}1\times\begin{vmatrix}1&0\\4&2\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}1&1\\4&3\end{vmatrix}\)计算二阶行列式：\(2\times((1)\times20\times3)1\times(1\times20\times4)+1\times(1\times3(1)\times4)\)\(2\times(2)1\times2+1\times7\)\(42+7=1\)。

习题1.21.利用行列式定义计算下列行列式：（1）\(\begin{vmatrix}0&0&0&1\\0&0&2&0\\0&3&0&0\\4&0&0&0\end{vmatrix}\)根据行列式定义，不同行不同列元素乘积的代数和。非零项只有\(1\times2\times3\times4\)，且符号为\((1)^{\tau(4321)}\)。\(\tau(4321)=3+2+1+0=6\)，符号为正。所以行列式的值为\(24\)。（2）\(\begin{vmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\end{vmatrix}\)观察发现第二行减去第一行的\(5\)倍，第三行减去第一行的\(9\)倍，第四行减去第一行的\(13\)倍后，第二、三、四行的元素很多变为\(0\)。进行相应变换后再按行列式定义计算。这里直接按定义计算比较复杂，可采用后面学到的方法，经过计算结果为\(0\)。2.已知四阶行列式\(D\)中第三列元素依次为\(1,2,0,1\)，它们的余子式依次分别为\(5,3,7,4\)，求\(D\)。根据行列式按列展开定理\(D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+a_{3j}A_{3j}+a_{4j}A_{4j}\)（这里\(j=3\)）。又\(A_{ij}=(1)^{i+j}M_{ij}\)（\(M_{ij}\)是余子式）。则\(D=(1)\times(1)^{1+3}\times5+2\times(1)^{2+3}\times3+0\times(1)^{3+3}\times(7)+1\times(1)^{4+3}\times4\)\(=564=15\)。

习题1.31.计算下列行列式：（1）\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)第二行减去第一行的\(4\)倍，第三行减去第一行的\(7\)倍：\(\begin{vmatrix}1&2&3\\44\times1&54\times2&64\times3\\77\times1&87\times2&97\times3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&3&6\\0&6&12\end{vmatrix}\)第三行减去第二行的\(2\)倍：\(\begin{vmatrix}1&2&3\\0&3&6\\00\times2&6(3)\times2&12(6)\times2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&3&6\\0&0&0\end{vmatrix}=0\)。（2）\(\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}\)第二行减去第一行的\(a\)倍，第三行减去第一行的\(a^2\)倍：\(\begin{vmatrix}1&1&1\\aa\times1&ba\times1&ca\times1\\a^2a^2\times1&b^2a^2\times1&c^2a^2\times1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&ba&ca\\0&b^2a^2&c^2a^2\end{vmatrix}\)第三行减去第二行的\((b+a)\)倍：\(\begin{vmatrix}1&1&1\\0&ba&ca\\0&b^2a^2(ba)(b+a)&c^2a^2(ca)(b+a)\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&ba&ca\\0&0&c^2bcac+ab\end{vmatrix}\)计算得\((ba)(ca)(cb)\)。2.计算下列\(n\)阶行列式：（1）\(\begin{vmatrix}x&a&\cdots&a\\a&x&\cdots&a\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a&a&\cdots&x\end{vmatrix}\)把所有列加到第一列：\(\begin{vmatrix}x+(n1)a&a&\cdots&a\\x+(n1)a&x&\cdots&a\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\x+(n1)a&a&\cdots&x\end{vmatrix}=[x+(n1)a]\begin{vmatrix}1&a&\cdots&a\\1&x&\cdots&a\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&a&\cdots&x\end{vmatrix}\)第一行乘以\(1\)加到其余各行：\([x+(n1)a]\begin{vmatrix}1&a&\cdots&a\\0&xa&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&xa\end{vmatrix}=[x+(n1)a](xa)^{n1}\)。（2）\(\begin{vmatrix}1&2&2&\cdots&2\\2&2&2&\cdots&2\\2&2&3&\cdots&2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\2&2&2&\cdots&n\end{vmatrix}\)第二行减去第一行的\(2\)倍，第三行减去第一行的\(2\)倍，......，第\(n\)行减去第一行的\(2\)倍：\(\begin{vmatrix}1&2&2&\cdots&2\\22\times1&22\times2&22\times2&\cdots&22\times2\\22\times1&22\times2&32\times2&\cdots&22\times2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\22\times1&22\times2&22\times2&\cdots&n2\times2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&2&\cdots&2\\0&2&2&\cdots&2\\0&2&1&\cdots&2\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&2&2&\cdots&n2\end{vmatrix}\)第三行减去第二行，第四行减去第二行，......，第\(n\)行减去第二行：\(\begin{vmatrix}1&2&2&\cdots&2\\0&2&2&\cdots&2\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&n4\end{vmatrix}=2(n2)!\)。

习题1.41.证明：（1）\(\begin{vmatrix}a^2&ab&b^2\\2a&a+b&2b\\1&1&1\end{vmatrix}=(ab)^3\)第一行减去第二行的\(a\)倍，再减去第三行的\(a^2\)倍：\(\begin{vmatrix}a^22a^2a^2&aba(a+b)&b^22aba^2\\2a&a+b&2b\\1&1&1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2a^2&a^2&a^22ab\\2a&a+b&2b\\1&1&1\end{vmatrix}\)第一行提出\(a^2\)：\(a^2\begin{vmatrix}2&1&1+2\frac{b}{a}\\2a&a+b&2b\\1&1&1\end{vmatrix}\)第二行减去第一行的\(a\)倍，第三行减去第一行：\(a^2\begin{vmatrix}2&1&1+2\frac{b}{a}\\0&ba&2b(1+2\frac{b}{a})a\\0&0&(1+2\frac{b}{a})\end{vmatrix}\)计算得\((ab)^3\)。（2）\(\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^3&b^3&c^3\end{vmatrix}=(ab)(bc)(ca)(a+b+c)\)第二行减去第一行的\(a\)倍，第三行减去第一行的\(a^3\)倍：\(\begin{vmatrix}1&1&1\\aa\times1&ba\times1&ca\times1\\a^3a^3\times1&b^3a^3\times1&c^3a^3\times1\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1\\0&ba&ca\\0&b^3a^3&c^3a^3\end{vmatrix}\)第三行减去第二行的\((b^2+ab+a^2)\)倍：\(\begin{vmatrix}1&1&1\\0&ba&ca\\0&0&c^3a^3(b^3a^3)(ba)(b^2+ab+a^2)(ca)\end{vmatrix}\)经过化简计算得\((ab)(bc)(ca)(a+b+c)\)。2.计算下列行列式：（1）\(\begin{vmatrix}1&1&1&1\\1&2&3&4\\1&4&9&16\\1&8&27&64\end{vmatrix}\)观察发现，第二行减去第一行，第三行减去第一行，第四行减去第一行：\(\begin{vmatrix}1&1&1&1\\11&21&31&41\\11&41&91&161\\11&81&271&641\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&3&8&15\\0&7&26&63\end{vmatrix}\)第三行减去第二行的\(3\)倍，第四行减去第二行的\(7\)倍：\(\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&1&2&3\\0&0&2&6\\0&0&12&