数学问题之工程问题

数学问题之工程问题一、引言工程问题是数学领域中一类重要的实际应用问题，它广泛存在于建筑、制造、交通、科研等众多领域。通过对工程问题的研究和解决，可以帮助我们合理安排资源、优化工作流程、预测工作进度和成本等，具有重要的现实意义。在数学学习中，工程问题也是培养学生逻辑思维、分析问题和解决问题能力的重要载体。本文将系统地介绍工程问题的基本概念、常见类型、解题方法以及相关的拓展应用，并通过丰富的实例进行详细阐述。

二、工程问题的基本概念（一）工作总量、工作效率和工作时间的定义1.工作总量：工作总量是指完成一项工程或任务所需要完成的总的工作量。它可以是具体的数值，如建造一座房子的工作量为若干立方米的混凝土浇筑量、铺设一定长度的管道等；也可以是抽象的"1"，表示将整个工程看作一个整体。例如，一项工程，甲单独完成需要10天，这里我们就可以把这项工程的工作总量看作"1"。2.工作效率：工作效率是指单位时间内完成的工作量。它反映了工作的快慢程度。工作效率的计算公式为：工作效率=工作总量÷工作时间。例如，甲5天完成了一项工程的一半，那么甲的工作效率就是1/2÷5=1/10，即甲每天完成这项工程的1/10。工作效率可以是一个人、一台机器或一个团队等在单位时间内完成的工作量。3.工作时间：工作时间是指完成一项工作所花费的时间。工作时间的计算公式为：工作时间=工作总量÷工作效率。例如，一项工程的工作总量是"1"，乙的工作效率是1/15，那么乙完成这项工程需要的时间就是1÷1/15=15天。

（二）三者之间的关系工作总量、工作效率和工作时间三者之间存在着紧密的关系。工作总量等于工作效率乘以工作时间，即工作总量=工作效率×工作时间；工作效率等于工作总量除以工作时间，即工作效率=工作总量÷工作时间；工作时间等于工作总量除以工作效率，即工作时间=工作总量÷工作效率。这三个量中，只要知道其中两个量，就可以求出第三个量。这种关系是解决工程问题的核心依据。

三、工程问题的常见类型（一）单人完成工程问题例1：一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要15天完成。如果甲先做3天，剩下的由乙来做，乙还需要多少天完成？分析：首先，我们知道甲单独做需要12天完成，那么甲的工作效率就是1÷12=1/12；乙单独做需要15天完成，乙的工作效率就是1÷15=1/15。甲先做3天，根据工作总量=工作效率×工作时间，甲完成的工作量为1/12×3=1/4。那么剩下的工作量就是11/4=3/4。剩下的由乙来做，根据工作时间=工作总量÷工作效率，乙需要的时间就是3/4÷1/15=45/4=11.25天。

（二）多人合作完成工程问题例2：一项工程，甲、乙合作需要8天完成，乙、丙合作需要10天完成，甲、丙合作需要12天完成。那么甲、乙、丙三人合作需要多少天完成？分析：设甲、乙、丙的工作效率分别为\(x\)、\(y\)、\(z\)。已知甲、乙合作需要8天完成，则\((x+y)×8=1\)，可得\(x+y=1/8\)①；乙、丙合作需要10天完成，则\((y+z)×10=1\)，可得\(y+z=1/10\)②；甲、丙合作需要12天完成，则\((x+z)×12=1\)，可得\(x+z=1/12\)③。①+②+③得：\(2(x+y+z)=1/8+1/10+1/12\)。先计算\(1/8+1/10+1/12\)：通分，分母8、10、12的最小公倍数是120，则\(1/8=15/120\)，\(1/10=12/120\)，\(1/12=10/120\)，\(1/8+1/10+1/12=15/120+12/120+10/120=37/120\)。所以\(2(x+y+z)=37/120\)，则\(x+y+z=37/240\)。那么甲、乙、丙三人合作完成这项工程需要的时间就是1÷37/240=240/37天。

（三）交替工作工程问题例3：一项工程，甲单独做需要6小时完成，乙单独做需要10小时完成。现在按照甲、乙、甲、乙......的顺序交替工作，每次工作1小时，那么完成这项工程需要多少小时？分析：甲每小时完成工程的1÷6=1/6，乙每小时完成工程的1÷10=1/10。甲、乙各工作1小时看作一个循环周期，一个周期完成的工作量为1/6+1/10=4/15。1÷4/15=3.75，说明需要3个完整的周期还剩下一些工作量。3个周期完成的工作量为3×4/15=4/5。剩下的工作量为14/5=1/5。此时轮到甲工作，甲完成1/5工作量需要的时间为1/5÷1/6=6/5=1.2小时。所以总共需要的时间为3×2+1.2=7.2小时。

（四）有干扰因素的工程问题例4：一个水池有甲、乙两个进水管，丙一个出水管。单开甲管6小时可注满水池，单开乙管8小时可注满水池，单开丙管12小时可把满池水放完。现在三管齐开，几小时可将空水池注满？分析：甲管的注水效率是1÷6=1/6，乙管的注水效率是1÷8=1/8，丙管的排水效率是1÷12=1/12。三管齐开时，实际的注水效率为甲管注水效率加上乙管注水效率减去丙管排水效率，即1/6+1/81/12。先计算1/6+1/81/12：通分，分母6、8、12的最小公倍数是24，则1/6=4/24，1/8=3/24，1/12=2/24，1/6+1/81/12=4/24+3/242/24=5/24。那么注满空水池需要的时间就是1÷5/24=24/5=4.8小时。

四、工程问题的解题方法（一）算术法1.分析题目中给出的工作总量、工作效率和工作时间等信息，明确已知量和未知量。2.根据工作总量、工作效率和工作时间的关系，通过已知量求出未知量。3.对于复杂的工程问题，可能需要通过逐步分析各个工作阶段的工作量和工作效率，进行分步计算。例如在单人完成工程问题中，如例1，我们根据甲、乙单独完成工程的时间求出他们的工作效率，再根据甲先做的工作量求出剩余工作量，最后求出乙完成剩余工作量所需时间，整个过程都是通过算术运算来解决的。

（二）方程法1.设未知数：根据题目要求，合理设出工作效率、工作时间或工作总量等未知数。2.找等量关系：分析题目中的条件，找出能够表示工作总量相等或其他数量关系的等式。3.列方程求解：根据等量关系列出方程，然后求解方程得到未知数的值。例如在多人合作完成工程问题中，如例2，我们设甲、乙、丙的工作效率分别为\(x\)、\(y\)、\(z\)，通过已知的合作完成时间列出三个方程，再通过方程的运算求出三人合作的工作效率，进而求出合作完成工程所需时间。方程法在解决复杂的工程问题时，能够更清晰地表达数量关系，便于求解。

五、工程问题的拓展应用（一）与行程问题的结合例5：一条公路，甲队单独修需要20天完成，乙队单独修需要30天完成。现在甲、乙两队从公路两端同时开工，当两队相遇时，甲队比乙队多修了600米。这条公路全长多少米？分析：首先求出甲、乙两队的工作效率，甲队工作效率为1÷20=1/20，乙队工作效率为1÷30=1/30。两队合作完成这项工程需要的时间为1÷(1/20+1/30)=1÷1/12=12天。在这12天里，甲队完成的工作量为1/20×12=3/5，乙队完成的工作量为1/30×12=2/5。甲队比乙队多完成的工作量占总工作量的3/52/5=1/5。已知甲队比乙队多修了600米，也就是总工作量的1/5是600米。所以这条公路全长为600÷1/5=3000米。

（二）与比例问题的结合例6：一项工程，甲、乙两人合作8天可以完成。甲、乙两人的工作效率之比是3:2。问甲、乙两人单独完成这项工程各需要多少天？分析：甲、乙两人合作的工作效率为1÷8=1/8。因为甲、乙两人的工作效率之比是3:2，所以甲的工作效率占两人合作工作效率的3/(3+2)=3/5，乙的工作效率占两人合作工作效率的2/(3+2)=2/5。则甲的工作效率为1/8×3/5=3/40，乙的工作效率为1/8×2/5=1/20。那么甲单独完成这项工程需要的时间为1÷3/40=40/3天，乙单独完成这项工程需要的时间为1÷1/20=20天。

（三）在资源分配问题中的应用例7：某工厂接到一项生产任务，需要生产A、B两种产品。生产一件A产品需要甲材料3千克，乙材料4千克，耗时2小时；生产一件B产品需要甲材料5千克，乙材料2千克，耗时3小时。现在工厂有甲材料200千克，乙材料160千克，可利用工时150小时。已知生产一件A产品获利200元，生产一件B产品获利300元。问如何安排生产，可使获利最大？分析：设生产A产品\(x\)件，生产B产品\(y\)件。根据材料和工时的限制可得不等式组：\(\begin{cases}3x+5y\leq200\\4x+2y\leq160\\2x+3y\leq150\\x\geq0\\y\geq0\end{cases}\)利润\(Z=200x+300y\)。通过解不等式组，找出可行域内使得利润\(Z\)最大的\(x\)和\(y\)的值。例如，由\(3x+5y=200\)可得\(y=(2003x)/5\)；由\(4x+2y=160\)可得\(y=802x\)；由\(2x+3y=150\)可得\(y=(1502x)/3\)。通过在平面直角坐标系中画出可行域，然后将目标函数\(Z=200x+300y\)变形为\(y=2/3x+Z/300\)，通过平移直线找到在可行域内使得\(Z\)最大的点。经过计算和比较，当\(x=20\)，\(y=28\)时，利润最大。

六、总结工程问题是数学应用中的一个重要领域，通过对工作总量、工作效率和工作时间这三个关键量的分析和运用，我们可以解决各种类型的工程问题。在