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文档简介
控制工程基础第四章习题解题过程和参考答案一、习题41题目已知系统的传递函数为\(G(s)=\frac{10}{s(s+1)(s+2)}\),试求系统的单位阶跃响应。
解题过程1.首先,将传递函数\(G(s)\)进行部分分式展开:设\(\frac{10}{s(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{s+2}\)通分可得:\(10=A(s+1)(s+2)+Bs(s+2)+Cs(s+1)\)令\(s=0\),则\(10=A(0+1)(0+2)\),解得\(A=5\)令\(s=1\),则\(10=B(1)(1+2)\),解得\(B=10\)令\(s=2\),则\(10=C(2)(2+1)\),解得\(C=5\)所以\(G(s)=\frac{5}{s}\frac{10}{s+1}+\frac{5}{s+2}\)2.然后,根据拉普拉斯变换的性质,单位阶跃函数\(u(t)\)的拉普拉斯变换为\(U(s)=\frac{1}{s}\)。系统的输出\(Y(s)=G(s)U(s)\)即\(Y(s)=(\frac{5}{s}\frac{10}{s+1}+\frac{5}{s+2})\frac{1}{s}\)展开得\(Y(s)=\frac{5}{s^2}\frac{10}{s(s+1)}+\frac{5}{s(s+2)}\)再对\(\frac{10}{s(s+1)}\)和\(\frac{5}{s(s+2)}\)进行部分分式展开:对于\(\frac{10}{s(s+1)}=\frac{10}{s}\frac{10}{s+1}\)对于\(\frac{5}{s(s+2)}=\frac{5/2}{s}\frac{5/2}{s+2}\)则\(Y(s)=\frac{5}{s^2}(\frac{10}{s}\frac{10}{s+1})+(\frac{5/2}{s}\frac{5/2}{s+2})\)整理得\(Y(s)=\frac{5}{s^2}\frac{15/2}{s}+\frac{10}{s+1}\frac{5/2}{s+2}\)3.最后,求\(Y(s)\)的拉普拉斯反变换得到单位阶跃响应\(y(t)\):根据拉普拉斯反变换的公式:\(\mathcal{L}^{1}\{\frac{1}{s^n}\}=\frac{t^{n1}}{(n1)!}\),\(\mathcal{L}^{1}\{\frac{1}{s+a}\}=e^{at}\)可得\(y(t)=\frac{5}{1!}t\frac{15/2}{0!}+\frac{10}{0!}e^{t}\frac{5/2}{0!}e^{2t}\)即\(y(t)=5t\frac{15}{2}+10e^{t}\frac{5}{2}e^{2t}\)
参考答案系统的单位阶跃响应为\(y(t)=5t\frac{15}{2}+10e^{t}\frac{5}{2}e^{2t}\)
二、习题42题目已知系统的传递函数为\(G(s)=\frac{2}{s^2+3s+2}\),输入信号为\(r(t)=2t\),求系统的响应\(c(t)\)。
解题过程1.首先,输入信号\(r(t)=2t\)的拉普拉斯变换为\(R(s)=\frac{2}{s^2}\)。2.然后,系统的输出\(C(s)=G(s)R(s)\):已知\(G(s)=\frac{2}{s^2+3s+2}\),\(R(s)=\frac{2}{s^2}\)则\(C(s)=\frac{2}{s^2+3s+2}\times\frac{2}{s^2}\)对\(s^2+3s+2\)进行因式分解得\((s+1)(s+2)\)所以\(C(s)=\frac{4}{s^2(s+1)(s+2)}\)3.接着,对\(C(s)\)进行部分分式展开:设\(\frac{4}{s^2(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s+1}+\frac{D}{s+2}\)通分可得:\(4=As(s+1)(s+2)+B(s+1)(s+2)+Cs^2(s+2)+Ds^2(s+1)\)令\(s=0\),则\(4=B(0+1)(0+2)\),解得\(B=2\)令\(s=1\),则\(4=C(1)^2(1+2)\),解得\(C=4\)令\(s=2\),则\(4=D(2)^2(2+1)\),解得\(D=1\)再求\(A\),将\(B=2\),\(C=4\),\(D=1\)代入通分后的式子并整理得:\(4=A(s^3+3s^2+2s)+2(s^2+3s+2)+4s^2(s+2)s^2(s+1)\)令\(s=1\),可得\(4=A(1+3+2)+2(1+3+2)+4\times1\times(1+2)1\times(1+1)\)即\(4=6A+12+122\),解得\(A=3\)所以\(C(s)=\frac{3}{s}+\frac{2}{s^2}+\frac{4}{s+1}\frac{1}{s+2}\)4.最后,求\(C(s)\)的拉普拉斯反变换得到系统响应\(c(t)\):根据拉普拉斯反变换公式:\(\mathcal{L}^{1}\{\frac{1}{s^n}\}=\frac{t^{n1}}{(n1)!}\),\(\mathcal{L}^{1}\{\frac{1}{s+a}\}=e^{at}\)可得\(c(t)=3+\2t+4e^{t}e^{2t}\)
参考答案系统的响应\(c(t)=3+2t+4e^{t}e^{2t}\)
三、习题43题目已知系统的传递函数为\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\),试确定使系统稳定的\(K\)的取值范围。
解题过程1.首先,将系统的特征方程写出来:系统的特征方程为\(s(s+1)(s+2)+K=0\)展开得\(s^3+3s^2+2s+K=0\)2.然后,利用劳斯判据:劳斯表为:\(s^3\):\(1\)\(2\)\(s^2\):\(3\)\(K\)\(s^1\):\(\frac{6K}{3}\)\(s^0\):\(K\)3.要使系统稳定,则劳斯表中第一列元素都大于零:由\(3>0\),\(K>0\)且\(\frac{6K}{3}>0\),解得\(K<6\)
参考答案使系统稳定的\(K\)的取值范围是\(0<K<6\)
四、习题44题目已知系统的传递函数为\(G(s)=\frac{10(s+1)}{s(s^2+4s+10)}\),求系统的阻尼比\(\zeta\)、自然频率\(\omega_n\)。
解题过程1.首先,将传递函数化为标准形式:\(G(s)=\frac{10(s+1)}{s(s^2+4s+10)}=\frac{10(s+1)}{s(s^2+4s+4+6)}=\frac{10(s+1)}{s((s+2)^2+(\sqrt{6})^2)}\)展开\(G(s)=\frac{10s+10}{s(s^2+4s+10)}=\frac{10}{s^2+4s+10}+\frac{10}{s(s^2+4s+10)}\)对于\(\frac{10}{s^2+4s+10}\),其标准形式为\(\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)对比可得\(\omega_n^2=10\),则\(\omega_n=\sqrt{10}\)又\(2\zeta\omega_n=4\),将\(\omega_n=\sqrt{10}\)代入可得\(2\zeta\sqrt{10}=4\)解得\(\zeta=\frac{4}{2\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}\)
参考答案系统的阻尼比\(\zeta=\frac{\sqrt{10}}{5}\),自然频率\(\omega_n=\sqrt{10}\)
五、习题45题目已知系统的闭环传递函数为\(\Phi(s)=\frac{4}{s^2+2s+4}\),求系统的超调量\(\sigma_p\)、调节时间\(t_s\)(按\(\Delta=0.05\))。
解题过程1.首先,将闭环传递函数化为标准形式:\(\Phi(s)=\frac{4}{s^2+2s+4}=\frac{4}{s^2+2s+1+3}=\frac{4}{(s+1)^2+(\sqrt{3})^2}\)可得\(\omega_n=\sqrt{4}=2\),\(\zeta=\frac{2}{2\times2}=\frac{1}{2}\)2.然后,求超调量\(\sigma_p\):根据公式\(\sigma_p=e^{\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1\zeta^2}}}\times100\%\)将\(\zeta=\frac{1}{2}\)代入得:\(\sigma_p=e^{\frac{\frac{1}{2}\pi}{\sqrt{1(\frac{1}{2})^2}}}\times100\%=e^{\frac{\pi}{\sqrt{3}}}\times100\%\approx16.3\%\)3.最后,求调节时间\(t_s\):根据公式\(t_s=\frac{3}{\zeta\omega_n}\)(按\(\Delta=0.05\))将\(\zeta=\frac{1}{2}\),\(\omega_n=2\)代入得:\(t_s=\frac{3}{\frac{1}{2}\times2}=3s\)
参考答案系统的超调量\(\sigma_p\approx16.3\%\),调节时间\(t_s=3s\)
六、习题46题目已知单位反馈系统的开环传递函数为\(G(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\),要求系统的超调量\(\sigma_p\leq20\%\),调节时间\(t_s\leq1s\)(按\(\Delta=0.05\)),试确定\(K\)的取值范围。
解题过程1.首先,求系统的闭环传递函数:对于单位反馈系统,闭环传递函数\(\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{\frac{K}{s(s+1)(s+2)}}{1+\frac{K}{s(s+1)(s+2)}}=\frac{K}{s(s+1)(s+2)+K}\)展开特征方程\(s(s+1)(s+2)+K=s^3+3s^2+2s+K=0\)2.然后,根据超调量要求确定\(\zeta\)的范围:已知\(\sigma_p=e^{\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1\zeta^2}}}\times100\%\leq20\%\)即\(e^{\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1\zeta^2}}}\leq0.2\)两边取对数得\(\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1\zeta^2}}\leq\ln0.2\)解这个不等式可得\(\zeta\geq0.456\)3.接着,根据调节时间要求确定\(\zeta\omega_n\)的范围:已知\(t_s=\frac{3}{\zeta\omega_n}\leq1s\),则\(\zeta\omega_n\geq3\)4.再求\(\omega_n\)与\(K\)的关系:对于特征方程\(s^3+3s^2+2s+K=0\),根据劳斯判据,劳斯表为:\(s^3\):\(1\)\(2\)\(s^2\):\(3\)\(K\)\(s^1\):\(\frac{6K}{3}\)\(s^0\):\(K\)系统稳定则\(3>0\),\(K>0\),\(\frac{6K}{3}>0\),解得\(K<6\)又由\(\omega_n^2\)与特征方程系数的关系,\(\omega_n^2\)近似等于特征方程中\(s^0\)项系数\(K\)(当系统稳定时)由\(\zeta\omega_n\geq3\),\(\omega_n=\sqrt{K}\)(近似),\(\zeta\geq0.456\),可得\(0.456\sqrt{K}\geq3\)解得\(K\geq\frac{3^2}{0.456^2}\approx44.8\)结合\(K<6\)不成立,所以综合考虑系统稳定及性能要求,由\(\zeta\omega_n\geq3\),\(\omega_n^2=K\)(稳定时)可得\(K\geq9\),又因为\(K
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