2025版高考数学一轮复习第十一章统计与统计案例第2讲用样本估计总体高效演练分层突破文新人教A版

PAGEPAGE1第2讲用样本估计总体[基础题组练]1．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70]，2，则在区间[10，50)上的数据的频率是()A．0.05 B．0.25C．0.5 D．0.7解析：选D.由题知，在区间[10，50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为eq\f(14,20)＝0.7.2．(2024·高考全国卷Ⅱ)演讲竞赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成果时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数 B．平均数C．方差 D．极差解析：选A.记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的依次排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.3．(2024·陕西咸阳模拟检测(二))PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采纳世界卫生组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5(单位：μg/m3)的日均值，则下列说法不正确的是()A．这10天中有3天空气质量为一级B．从6日到9日PM2.5日均值渐渐降低C．这10天中PM2.5日均值的中位数是55D．这10天中PM2.5日均值最高的是12月6日解析：选C.这10天中第一天，第三天和第四天，共3天空气质量为一级，所以A正确；从题图可知从6日到9日PM2.5日均值渐渐降低，所以B正确；从题图可知，这10天中PM2.5日均值最高的是12月6日，所以D正确；由题图可知，这10天中PM2.5日均值的中位数是eq\f(41＋45,2)＝43，所以C不正确．故选C.4．甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数中相同的是()A．极差 B．方差C．平均数 D．中位数解析：选C.由题中茎叶图中数据的分布，可知方差不同，极差不同，甲的中位数为eq\f(16＋21,2)＝18.5，乙的中位数为eq\f(14＋18,2)＝16，eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(5＋16＋12＋25＋21＋37,6)＝eq\f(58,3)，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1＋6＋14＋18＋38＋39,6)＝eq\f(58,3)，所以甲、乙的平均数相同．故选C.5．甲、乙、丙、丁四人参与某运动会射击项目的选拔赛，四人的平均成果和方差如下表所示：甲乙丙丁平均环数eq\o(x,\s\up6(－))8.38.88.88.7方差s23.53.62.25.4从这四个人中选择一人参与该运动会射击项目竞赛，最佳人选是．解析：由题表中数据可知，丙的平均环数最高，且方差最小，说明技术稳定，且成果好．答案：丙6．对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25，30)年龄组对应小矩形的高度为；(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25，35)的人数为．解析：设[25，30)年龄组对应小矩形的高度为h，则5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.则志愿者年龄在[25，35)年龄组的频率为5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25，35)年龄组的人数约为0.55×800＝440.答案：(1)0.04(2)4407．某校1200名高三年级学生参与了一次数学测验(满分为100分)，为了分析这次数学测验的成果，从这1200人的数学成果中随机抽取200人的成果绘制成如下的统计表，请依据表中供应的信息解决下列问题：成果分组频数频率平均分[0，20)30.01516[20，40)ab32.1[40，60)250.12555[60，80)c0.574[80，100]620.3188(1)求a、b、c的值；(2)假如从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P(注：60分及60分以上为及格)；(3)试估计这次数学测验的年级平均分．解：(1)由题意可得，b＝1－(0.015＋0.125＋0.5＋0.31)＝0.05，a＝200×0.05＝10，c＝200×0.5＝100.(2)依据已知，在抽出的200人的数学成果中，及格的有162人．所以P＝eq\f(162,200)＝0.81.(3)这次数学测验样本的平均分为eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(16×3＋32.1×10＋55×25＋74×100＋88×62,200)＝73，所以这次数学测验的年级平均分大约为73分．8．为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费状况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．(1)依据图中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；(2)依据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．解：(1)甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为36，众数为33.(2)依据题图中数据，可估算甲公司的每位员工该月所得劳务费为4.5×36×30＝4860(元)，易知乙公司员工B每天所得劳务费X的可能取值为136，147，154，189，203，所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为eq\f(1,10)×(136×1＋147×3＋154×2＋189×3＋203×1)×30＝165.5×30＝4965(元)．[综合题组练]1．(2024·安徽五校联盟其次次质检)数据a1，a2，a3，…，an的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3，…，2an的方差为()A.eq\f(σ2,2) B．σ2C．2σ2 D．4σ2解析：选D.设a1，a2，a3，…，an的平均数为a，则2a1，2a2，2a3，…，2an的平均数为2a，σ2＝eq\f(（a1－a）2＋（a2－a）2＋（a3－a）2＋…＋（an－a）2,n).则2a1，2a2，2a3，…，2an的方差为eq\f(（2a1－2a）2＋（2a2－2a）2＋（2a3－2a）2＋…＋（2an－2a）2,n)＝4×eq\f(（a1－a）2＋（a2－a）2＋（a3－a）2＋…＋（an－a）2,n)＝4σ2.故选D.2.(2024·郑州市其次次质量预料)将甲、乙两个篮球队各5场竞赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是()A．甲队平均得分高于乙队的平均得分B．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D．甲、乙两队得分的极差相等解析：选C.由题中茎叶图得，甲队的平均得分eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(26＋28＋29＋31＋31,5)＝29，乙队的平均得分eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(28＋29＋30＋31＋32,5)＝30，eq\o(x,\s\up6(－))甲<eq\o(x,\s\up6(－))乙，选项A不正确；甲队得分的中位数为29，乙队得分的中位数为30，甲队得分的中位数小于乙队得分的中位数，选项B不正确；甲队得分的方差seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝eq\f(18,5)，乙队得分的方差seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2，seq\o\al(2,甲)>seq\o\al(2,乙)，选项C正确；甲队得分的极差为31－26＝5，乙队得分的极差为32－28＝4，两者不相等，选项D不正确．故选C.3.(2024·沈阳市质量监测(一))某篮球运动员的投篮命中率为50%，他想提高自己的投篮水平，制定了一个夏季训练安排，为了了解训练效果，执行训练前，他统计了10场竞赛的得分，计算出得分的中位数为15，平均得分为15，得分的方差为46.3.执行训练后也统计了10场竞赛的得分，茎叶图如图所示：(1)请计算该篮球运动员执行训练后统计的10场竞赛得分的中位数、平均得分与方差；(2)假如仅从执行训练前后统计的各10场竞赛得分数据分析，你认为训练安排对该运动员的投篮水平的提高是否有帮助？为什么？解：(1)训练后得分的中位数为eq\f(14＋15,2)＝14.5；平均得分为eq\f(8＋9＋12＋14＋14＋15＋16＋18＋21＋23,10)＝15；方差为eq\f(1,10)[(8－15)2＋(9－15)2＋(12－15)2＋(14－15)2＋(14－15)2＋(15－15)2＋(16－15)2＋(18－15)2＋(21－15)2＋(23－15)2]＝20.6.(2)尽管中位数训练后比训练前稍小，但平均得分一样，训练后方差20.6小于训练前方差46.3，说明训练后得分稳定性提高了(阐述观点合理即可)，这是投篮水平提高的表现．故此训练安排对该篮球运动员的投篮水平的提高有帮助．4．(2024·广州市调研测试)某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元．销售宗旨是当天进货当天销售．假如当天卖不出去，未售出的全部降价以每千克10元处理完．依据以往的销售状况，按[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)依据频率分布直方图计算该种蔬果日需求量的平均数eq\o(x,\s\up6(－))(同一组中的数据用该组区间中点值代表)；(2)该经销商某天购进了250千克该种蔬果，假设当天的需求量为x千克(0≤x≤500)，利润为y元．求y关于x的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润y不小于1750元的概率．解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝50×0.0010×100＋150×0.0020×100＋250×0.0030×100＋350×0.0025×100＋450×0.0015×100＝265.故该种蔬果日需求量的平均数为265千克．(2)当日需求量不低于250千克时，利润y＝(25－15)