2024高考数学一轮复习课后限时集训65两个计数原理排列与组合理北师大版

PAGEPAGE1课后限时集训65两个计数原理、排列与组合建议用时：45分钟一、选择题1．“中国梦”的英文翻译为“ChinaDream”，其中China又可以简写为CN，从“CNDream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(依次不变)的不同排列共有()A．360种 B．480种C．600种 D．720种C[从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(5,5)＝600种，故选C.]2．(2024·济南调研)有4位老师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位老师不能在本班监考，则不同的监考方法有()A．8种 B．9种C．10种 D．11种B[设四位监考老师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3＋3＋3＝9(种)不同的监考方法．]3．(2024·全国卷Ⅱ)支配3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的支配方式共有()A．12种 B．18种C．24种 D．36种D[由题意可得其中1人必需完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得支配方式为Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36(种)，或列式为Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)＝3×eq\f(4×3,2)×2＝36(种)．故选D.]4.现有小麦、大豆、玉米、高粱4种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上进行种植，要求有公共边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有()A．36种 B．48种C．24种 D．30种B[先给B地种植，有4种选择，再给C块地种植，有3种选择，再给A地种植，有2种选择，最终给D地种植，有2种选择．依据分步乘法计数原理可知共有4×3×2×2＝48(种)不同的种植方法．]5．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必需站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有()A．240种 B．192种C．96种 D．48种B[当丙和乙在甲的左侧时，共有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝96种排列方法，同理，当丙和乙在甲的右侧时也有96种排列方法，所以共有192种排列方法．]6．(2024·北京101中学模拟)某中学语文老师从《红楼梦》《平凡的世界》《红岩》《老人与海》4本不同的名著中选出3本，分给三个同学去读，其中《红楼梦》为必读，则不同的安排方法共有()A．6种 B．12种C．18种 D．24种C[(1)先从《平凡的世界》《红岩》《老人与海》三本书中选择2本，共有Ceq\o\al(2,3)＝3(种)选法；(2)将选出的2本书与《红楼梦》共计3本书进行全排列，对应分给三名学生，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)排法，依据分步乘法计数原理，不同的安排方法有3×6＝18(种)．故选C.]7．福州西湖公园花展期间，支配6位志愿者到4个展区供应服务，要求甲、乙两个展区各支配一个人，剩下两个展区各支配两个人，不同的支配方案共有()A．90种 B．180种C．270种 D．360种B[依据题意，分3步进行分析：①在6位志愿者中任选1个，支配到甲展区，有Ceq\o\al(1,6)＝6种状况；②在剩下的5个志愿者中任选1个，支配到乙展区，有Ceq\o\al(1,5)＝5种状况；③将剩下的4个志愿者平均分成2组，然后支配到剩下的2个展区，有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))×Aeq\o\al(2,2)＝6种状况，则一共有6×5×6＝180种不同的支配方案．]二、填空题8．由数字2,0,1,9组成没有重复数字的四位偶数的个数为________．10[依据所组成的没有重复数字的四位偶数的个位是否为0进行分类计数：第一类，个位是0时，满意题意的四位偶数的个数为Aeq\o\al(3,3)＝6；其次类，个位是2时，满意题意的四位偶数的个数为Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝4.由分类加法计数原理得，满意题意的四位偶数的个数为6＋4＝10.]9．已知eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，则m＝________.2[由组合数公式化简整理得m2－23m＋42＝0解得m＝2或m10．(2024·上海高考)首届中国国际进口博览会在上海实行，某高校拟派4人参与连续5天的志愿者活动，其中甲连续参与2天，其他人各参与1天，则不同的支配方法有种________(结果用数值表示)．24[在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有4Aeq\o\al(3,3)＝24种．]1．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40 B．16C．13 D．10C[分两类状况探讨：第1类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第2类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．依据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．]2．(2024·濮阳5月模拟)支配A，B，C，D，E，F，共6名义工照看甲，乙，丙三位老人，每两位义工照看一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A担心排照看老人甲，义工B担心排照看老人乙，则支配方法共有()A．30种 B．40种C．42种 D．48种C[6名义工照看三位老人，每两位义工照看一位老人共有：Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)＝90种支配方法，其中A照看老人甲的状况有：Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝30种，B照看老人乙的状况有：Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)＝30种，A照看老人甲，同时B照看老人乙的状况有：Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)＝12种，∴符合题意的支配方法有：90－30－30＋12＝42种，故选C.]3．(2024·衡水模拟)把20个不加区分的小球放入1号，2号，3号的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为________．120[先在编号为2,3的盒内分别放入1个，2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共有Ceq\o\al(2,16)＝120种方法．]4．(2024·湖南省师范高校附中考前演练五)习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为协作国家精准扶贫战略，某省示范性中学支配6名高级老师(不同姓)到基础教化薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作须要，其中李老师不去甲校，则安排方案种数为________．360[法一：依据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种状况：(1)甲校支配1名老师，安排方案种数有Ceq\o\al(1,5)(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2))＝150；(2)甲校支配2名老师，安排方案种数有Ceq\o\al(2,5)(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2))＝140；(3)甲校支配3名老师，安排方案种数有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝60；(4)甲校支配4名老师，安排方案种数有Ceq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)＝10；由分类计数原理，可得共有150＋140＋60＋10＝360(种)安排方案．法二：由6名老师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组状况为4,1,1；3,2,1；2,2,2，(1)对于第一种状况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有Ceq\o\al(1,2)种，其余5名分成一人组和四人组有Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(2,2)种，共Ceq\o\al(4,5)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝20(种)；李老师安排到四人组且该组不去甲校有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝40(种)，则第一种状况共有20＋40＝60(种)．(2)对于其次种状况，李老师安排到一人组有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)＝40(种)，李老师安排到三人组有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝120(种)，李老师安排到两人组有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,2)＝80(种)，所以其次种状况共有40＋80＋120＝240(种)．(3)对于第三种状况，共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝60(种)；综上所述，共有60＋240＋60＝360(种)安排方案．]1．把7个字符1,1,1，A，A，α，β排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有()A．12种 B．30种C．96种 D．144种C[先排列A，A，α，β，若A，A不相邻，不同的排法有Aeq\o\al(2,2)Ceq\o\al(2,3)＝6(种)；若A，A相邻，有Aeq\o\al(3,3)＝6(种)，共有不同的排法6＋6＝12(种)．从所形成的5个空中选3个插入1,1,1，排法共有12Ceq\o\al(3,5)＝120(种)．当A，A相邻时，从所形成的4个空中选3个插入1,1,1，共有6Ceq\o\al(3,4)＝24(种)．故若三个“1”两两不相邻，且两个“A”也不相邻，则这样的排法共有120－24＝96(种)．故选C.]2．将甲、乙等5位同学分别保送到北京高校、上海交通高校、浙江高校三所高校就读，每所高校至少保送一人．(1)有________种不同的保送方法；(2)若甲不能被保送到北大，有________种不同的保送方法．(1)150(2)100[(1)5名学生可分成2,2,1和3,1,1两种形式，当5名学生分成2,2,1时，共有eq\f(1,2)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＝60种方法．依据分类加法计数原理知共有