人教版19章函数课件

演讲人：日期：人教版19章函数课件目录CONTENTS函数概念与性质基本初等函数与初等函数函数的极限与连续导数与微分微分中值定理与导数应用不定积分与定积分微分方程与数学建模01函数概念与性质从集合、映射的观点出发，揭示对应法则的本质特征。函数的近代定义解析法、列表法、图像法等，其中解析法最为常用。函数的表示方法01020304从运动变化的观点出发，描述变量之间的依赖关系。函数的传统定义定义域、值域和对应法则，三者缺一不可。函数的构成要素函数定义及表示方法函数的单调性和奇偶性描述函数值随自变量增减的变化趋势，分为单调增和单调减。函数的单调性根据函数图像关于原点的对称性，分为奇函数和偶函数。通过观察函数图像、利用导数等方法进行判断。函数的奇偶性在比较函数值大小、求解函数值域等方面具有重要作用。单调性和奇偶性的应用01020403判断单调性和奇偶性的方法反函数概念及性质反函数的定义将原函数的对应法则进行反转，得到的新函数称为反函数。反函数的性质反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，且反函数的对应法则与原函数相反。反函数的求解方法通过交换原函数的x和y，然后解出y得到反函数。反函数的应用在求解某些方程、研究函数的性质等方面具有重要作用。将一个函数的输出作为另一个函数的输入，构成的函数称为复合函数。复合函数的定义域、值域和对应法则分别由内外函数的定义域、值域和对应法则决定。在其定义域的不同区间上由不同的函数表示的函数称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，对应法则由各段函数对应法则组合而成。复合函数与分段函数复合函数的定义复合函数的性质分段函数的定义分段函数的性质02基本初等函数与初等函数常值函数值域为一元集的函数，当它为数值函数时常以f(x)=const或f(x)=c表示。常值函数、幂函数、指数函数和对数函数01幂函数基本初等函数之一。一般地，y=x^a（a为常数）等都是幂函数，如y=x、y=x²等。02指数函数重要的基本初等函数之一。一般地，y=a^x函数（a为常数且a>0，a≠1）叫做指数函数，函数的定义域是R。03对数函数以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数。对数函数是6类基本初等函数之一。04三角函数基本初等函数之一，是以角度为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。反三角函数反三角函数是一种基本初等函数。包括反正弦arcsinx，反余弦arccosx，反正切arctanx等。三角函数与反三角函数简介通过描点法或利用函数性质画出初等函数的图像，如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。初等函数图像分析初等函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性等基本性质，以及这些性质在图像上的体现。性质分析初等函数的图像与性质分析根据实际问题建立数学模型，将问题转化为初等函数问题。建模利用初等函数的性质和图像求解实际问题，如最大值、最小值、零点等。求解根据求解结果对实际问题进行解释和说明，验证结果的合理性。解释应用题解析：如何运用初等函数解决实际问题01020303函数的极限与连续描述函数在某一点或无穷远处的行为，是函数值趋近于某个确定值的过程。极限定义极限的性质极限的运算法则包括唯一性、局部保号性、不等式性质、夹逼定理（或称为三明治定理）等。线性运算、乘积与商的极限、复合函数的极限等。极限概念及性质回顾函数在某点处连续，当且仅当该点处的左右极限值等于函数值。连续函数的定义图形判断、代数判断（如多项式、初等函数在其定义域内连续）、极限值判断等。连续函数的判定方法介值定理、最值定理等。连续函数的性质连续函数定义及其判定方法间断点的分类无穷间断点、可去间断点、跳跃间断点等。间断点类型与处理方法间断点的判断方法检查函数在可能间断的点处的左右极限值是否相等或是否存在。间断点的处理方法对于可去间断点，可以通过重新定义函数值或利用极限的运算法则进行修补；对于跳跃间断点和无穷间断点，则需根据具体情况进行分析和处理。在闭区间上连续的函数必定能取到该区间内任意两点间的所有函数值。介值定理闭区间上的连续函数必定能在该区间内取得最大值和最小值。最值定理如果函数在闭区间的两端取值异号，则函数在该区间内至少有一个零点。零点定理闭区间上连续函数的性质04导数与微分导数的定义导数描述了函数值随自变量变化的瞬时变化率，是微积分中的基础概念。导数的几何意义在几何上，函数在某一点的导数即为该点处切线的斜率。导数的计算通过极限定义、导数公式和运算法则，可以求出各种函数的导数。导数的应用导数在求函数单调性、极值、拐点等方面具有重要作用。导数概念引入与计算微分概念及运算规则微分的定义微分是函数增量的线性主要部分，描述了函数在某一点的变化率。微分的几何意义微分可以近似地表示函数在一点的切线。微分的运算规则包括微分的加法、乘法、链式法则等，这些规则是进行微分计算的基础。微分的应用微分在近似计算、误差估计等方面具有广泛应用。利用导数求曲线的切线、法线、弧长、曲率等几何量。导数在物理学中广泛应用于速度、加速度、动量、功等物理量的求解。在经济学中，导数可以用来分析边际成本、边际收益、弹性等经济指标。导数还在医学、工程学、天文学等领域有着广泛的应用。导数在实际问题中的应用几何学应用物理学应用经济学应用其他领域应用01020304高阶导数可以通过逐阶求导得到，但需要注意运算的准确性和复杂性。高阶导数简介高阶导数的计算高阶导数反映了函数在不同阶次上的变化率，对于深入研究函数的性质具有重要意义。高阶导数的意义高阶导数在函数的形态分析、拐点判定、泰勒展开等方面具有重要作用。高阶导数的应用一阶导数的导数称为二阶导数，二阶以上的导数称为高阶导数。高阶导数的定义05微分中值定理与导数应用微分中值定理的涵义微分中值定理是一系列中值定理总称，是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理。它反映了导数的局部性与函数的整体性之间的关系。拉格朗日中值定理证明过程微分中值定理内容及其证明如果函数在某闭区间上连续，在开区间上可导，那么在开区间内至少存在一点，使得该点的导数等于函数在闭区间两端的函数值差与自变量增量的比值。拉格朗日中值定理的证明可以通过罗尔定理的推广得到。首先，构造函数，然后应用罗尔定理，最后通过推导得到拉格朗日中值定理的结论。如果一个函数在某个区间内的导数大于0，则该函数在这个区间内单调递增；如果导数小于0，则单调递减。单调性判定定理导数反映了函数值随自变量变化的趋势，因此可以通过导数的正负来判断函数的单调性。导数与函数单调性的关系通过求解函数的导数，判断函数在不同区间的单调性，从而确定函数的增减区间。应用举例利用导数判断函数单调性凹凸性定义如果函数在某点的两侧附近凹凸性发生变化，则该点就是函数的拐点。拐点可以通过求解二阶导数等于0的点来得到。拐点判定定理凹凸性与导数的关系一阶导数反映函数的单调性，而二阶导数则反映函数的凹凸性。如果一条曲线在某点附近总是位于其切线的上方，则称该曲线在该点附近是凹的；反之，如果曲线总是位于切线的下方，则称为凸的。曲线凹凸性与拐点判定方法极值定理闭区间上的连续函数在区间内至少取得一个最大值和一个最小值。最大值、最小值问题求解最值求解方法首先通过求解导数等于0的点（驻点）以及区间端点处的函数值，然后比较这些点处的函数值大小，从而确定函数的最大值和最小值。实际应用最大值、最小值问题在经济学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用，如求解成本最低、效率最高等问题。06不定积分与定积分不定积分与微分的关系不定积分是微分学的逆运算，通过不定积分可以找到一个函数的原函数，从而进一步研究函数的性质和特点。不定积分定义不定积分是微积分的一个基本概念，它是求一个函数的原函数或反导数的过程，其结果是一个函数表达式，而不是一个具体的数值。不定积分计算方法根据微积分基本定理，通过求导函数的原函数来计算不定积分。具体方法包括直接积分法、换元积分法、分部积分法等。不定积分概念及计算方法定积分概念引入与性质分析定积分定义定积分是积分的一种，是函数在某一区间上积分和的极限，其结果是一个具体的数值。定积分的性质定积分具有线性性、可加性、积分区间可变性等性质，这些性质在定积分的计算和证明中具有重要意义。定积分与不定积分的关系定积分和不定积分是微积分中的两个重要概念，它们之间有着密切的联系和区别。定积分可以通过不定积分来计算，但不定积分并不能直接转化为定积分。牛顿-莱布尼茨公式应用牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分基本定理的另一种表述形式，它揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系。牛顿-莱布尼茨公式的应用利用牛顿-莱布尼茨公式可以方便地计算定积分，特别是那些原函数比较复杂或难以直接求出的情况。牛顿-莱布尼茨公式的局限性虽然牛顿-莱布尼茨公式在计算定积分方面非常方便，但它只能用于连续函数的积分计算，对于分段函数或含有特殊函数的积分问题，需要采用其他方法进行处理。定积分在几何中可以用来求解平面图形的面积和体积等问题，例如求解曲线围成的面积、旋转体体积等。定积分在几何中的应用定积分在物理学中有广泛的应用，如计算物体的质量、质心、转动惯量等物理量，以及求解变力做功、引力势能等问题。定积分在物理中的应用除了几何和物理，定积分还在工程、经济、生物等其他学科中发挥着重要作用，成为解决实际问题的重要工具。定积分在其他学科中的应用定积分在几何、物理等方面应用07微分方程与数学建模微分方程基本概念及分类微分方程定义微分方程是含有未知函数及其导数的等式。微分方程分类按照未知函数的个数和方程的类型，微分方程可分为常微分方程和偏微分方程。解的概念微分方程的解是指满足方程及其初始条件的函数。初始条件初始条件是指微分方程解在某一特定点的值或其导数的值。一阶常微分方程求解方法将方程中的变量进行分离，使得两个变量分别出现在等式的两边，然后进行积分。分离变量法通过构造一个积分因子，使得乘上该因子后的方程变为可分离变量的形式，再进行积分。伯努利方程是一类特殊的一阶常微分方程，通过变量替换可化为一阶线性方程求解。积分因子法一阶线性方程是一类特殊的一阶常微分方程，其一般形式为y'+P(x)y=Q(x)，可通过常数变易法求解。一阶线性方程01020403伯努利方程高阶常微分方程定义高阶常微分方程是指未知函数的最高阶导数超过一阶的微分方程。解的结构高阶线性微分方程的解可以由其对应的齐次方程的通解和非齐次方程的特解构成。常系数线性微分方程常系数线性微分方程是指方程中各项系数均为常数的线性微分方程，其解法可通过特征方程求解。线性微分方程线性微分方程是指方程中未知函数及其各阶导数的次数都是一次的微分方程，