2025版高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨3.2平面与圆柱面的截线练习含解析新人教A版选修4-1

PAGEPAGE1二平面与圆柱面的截线课时过关·实力提升基础巩固1下列说法不正确的是()A.圆柱面的母线与轴线平行B.圆柱面的某一轴截面垂直于直截面C.圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关,只与母线和斜截面的夹角有关D.平面截圆柱面的截线椭圆中,短轴长即为圆柱面的半径解析明显A正确;由于任一轴截面过轴线,故轴截面与圆柱的直截面垂直,B正确;C明显正确;D中短轴长应为圆柱面的直径长,故不正确.答案D2已知平面β与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为32,则平面β与圆柱母线的夹角是()A.30° B.60° C.45° D.90°解析设β与母线夹角为φ,则cosφ=32,故φ=30°答案A3假如椭圆的两个焦点将长轴分成三等份,那么,这个椭圆的两条准线间的距离是焦距的()A.9倍 B.4倍 C.12倍 D.18倍解析设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,由已知,得2a3=2c,即a=3c,故两条准线间的距离为2a2答案A4一组底面为同心圆的圆柱被一平面所截,截口椭圆具有()A.相同的长轴 B.相同的焦点C.相同的准线 D.相同的离心率解析因为底面半径大小不等,所以长轴不同.嵌入的Dandelin球不同,则焦点不同,准线也不同,而平面与圆柱的母线夹角相同,故离心率相同.答案D5若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是()A.15 B.34 C.33解析设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,由已知a=2c,得ca=12答案D6两个圆柱的底面半径分别为R,r(R>r),平面π与它们的母线的夹角分别为α,β(α<β<90°),斜截口椭圆的离心率分别为e1,e2,则()A.e1>e2 B.e1<e2 C.e1=e2 D.无法确定解析∵e1=cosα,e2=cosβ,又α<β<90°时,cosα>cosβ,∴e1>e2.答案A7已知圆柱的底面半径为2,平面π与圆柱的斜截口椭圆的离心率为12,则椭圆的长半轴是()A.2 B.4 C.163 D.解析设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c.由题意,知b=2,ca则a2-4a答案D8已知平面π截圆柱体,截口是一条封闭曲线,且截面与底面所成的角为45°,此曲线是,它的离心率为.

答案椭圆29已知椭圆两条准线间的距离为8,离心率为12,则Dandelin球的半径是.

解析由题意知a解得a∴b=a2-c2=答案310如图,设两个焦点的距离F1F2=2c,两个端点的距离G1G2=2a,求证:l1与l2之间的距离为2a2证明如图,设椭圆上随意一点P,过点P作PQ1⊥l1于点Q1,过点P作PQ2⊥l2于点Q2.连接PF1,PF2.∵e=PF∴PF1=caPQ1,PF2=caPQ由椭圆定义,知PF1+PF2=2a,∴caPQ1+caPQ2=2∴PQ1+PQ2=2a即l1与l2之间的距离为2a实力提升1如图,过点F1作F1Q⊥G1G2,若△QF1F2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为()A.2B.2C.2-2D.2-1解析设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c.∵△QF1F2是等腰直角三角形,∴QF1=F1F2=2c,QF2=22c.由椭圆的定义,得QF1+QF2=2a,∴e=2c2a答案D2已知圆柱的底面半径为r,平面α与圆柱母线的夹角为30°,则它们截口椭圆的焦距是()A.23r B.43r C.3r D.3r解析如图,过点G2作G2H⊥AD,H为垂足,则G2H=2r.在Rt△G1G2H中,G1G2=G2Hcos60°=2r×2∴长轴2a=G1G2=4r,短轴2b=2r.∴焦距2c=2a2-b2=2×3r=答案A3一平面截圆柱(圆柱底面半径为1,高足够长)的侧面,得到一个离心率是32的二次曲线,该曲线两焦点之间的距离为()A.2 B.23 C.32 D.3解析∵e=32<1,∴曲线是椭圆,且e=cosθ=32,θ=30°,φ=60°(φ∴cos60°=22a,∴2a=212=4,又ca=32,∴c=3.∴2答案B★4如图,已知A为左顶点,F是左焦点,l交OA的延长线于点B,点P,Q在椭圆上,有PD⊥l于点D,QF⊥AO,则椭圆的离心率是①PFPD;②QFBF③AOBO;④AFAB;⑤FOAO.A.①② B.①③④ C.②③⑤ D.①②③④⑤解析①PFPD②过点Q作QC⊥l于C,∵QC=FB,∴QFBF③∵AO=a,BO=a2c,∴AOBO④∵AF=a-c,AB=a2c∴AFAB=a-⑤∵FO=c,AO=a,∴FOAO=∴①②③④⑤的表述均正确,故选D.答案D5已知圆柱底面半径为b,平面π与圆柱母线的夹角为30°,在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是3b,则点P到另一准线l2对应的焦点F2的距离是.

解析由题意知,椭圆短轴长为2b,长轴长2a=2bsin30°=4b,∴c=∴e=3b2b=32设点P到焦点F1的距离为d,则d3b=32,又PF1+PF2=2a=4b,∴PF2=4b-PF1=4b-32b=52答案526如图,已知PF1∶PF2=1∶3,AB=12,G1G2=20,求PQ的长.解设椭圆长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,由已知可得a=10,b=6,c=a2-b2=8,e=ca=45.由椭圆定义,知PF1又PF1∶PF2=1∶3,则PF1=5,PF2=15.由离心率定义,得PF∴PQ=254★7如图,在圆柱O1O2内嵌入双球,使它们与圆柱面相切,并且和圆柱的斜截面相切,切点分别为F1,F2.求证:斜截面与圆柱面的截线是以点F1,F2为焦点的椭圆.证明如图,设点P为曲线上任一点,连接PF1,PF2,则PF1,PF2分别是两个球面的切线,切点分别为F1,F2,过点P作母