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PAGE1-其次节充分条件、必要条件[最新考纲]1.理解必要条件的含义,理解性质定理与必要条件的关系.2.理解充分条件的含义,理解判定定理与充分条件的关系.3.理解充要条件的含义,理解数学定义与充要条件的关系.1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qeq\o(⇒,/)pp是q的必要不充分条件peq\o(⇒,/)q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件peq\o(⇒,/)q且qeq\o(⇒,/)p2.数学中的定义、判定定理、性质定理与必要条件、充分条件的联系①判定定理中前提是结论的充分条件;②性质定理中结论是前提的必要条件;③数学定义中条件是结论的充要条件.即定义可以用于判定也可以作为性质.3.充分条件与必要条件的两个特征①对称性:若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”则“q⇐p”.②传递性:若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件,即“p⇒q且q⇒r”,则“p⇒r”(“p⇐q且q⇐r”,则“p⇐r”).eq\O([常用结论])1.p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.其他状况依次类推.2.集合与充要条件:设p,q成立的对象构成的集合分别为A,B,p是q的充分不必要条件⇔AB;p是q的必要不充分条件⇔AB;p是q的充要条件⇔A=B.一、思索辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“a>-1”是“a≥-1”的必要条件. ()(2)“x∈A∪B”是“x∈A∩B”的充分条件. ()(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件. ()(4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”. ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1.已知m,n为两个非零向量,则“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B[设m,n的夹角为θ,若m,n的夹角为钝角,则eq\f(π,2)<θ<π,则cosθ<0,则m·n<0成立;当θ=π时,m·n=-|m|·|n|<0成立,但m,n的夹角不为钝角.故“m·n<0”是“m与n的夹角为钝角”的必要不充分条件,故选B.]2.设x∈R,则“x3>1”是“|x|>1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A[由x3>1可得x>1,由|x|>1可得x>1或x<-1,故“x3>1”是“|x|>1”的充分而不必要条件.故选A.]3.“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件B[若x=1,则(x-1)(x+2)=0明显成立,但反之不成立,即若(x-1)(x+2)=0,则x的值也可能为-2.故选B.]4.△ABC中,“sinA=eq\f(4,5)”是“cosA=-eq\f(3,5)”的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)必要不充分[△ABC中,sinA=eq\f(4,5),所以cosA=±eq\f(3,5),所以“sinA=eq\f(4,5)”是“cosA=-eq\f(3,5)”的必要不充分条件.]考点1充分、必要条件的判定充分条件和必要条件的3种推断方法(1)定义法:可依据以下三个步骤进行①确定条件p是什么,结论q是什么;②尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p;③确定条件p和结论q的关系.(2)等价转化法:对于含否定形式的命题,如p是q的什么条件,利用原命题与逆否命题的等价性,可转化为求q是p的什么条件.(3)集合法:依据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行推断.(1)(2024·浙江高考)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2024·天津高考)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(3)(2024·北京高考)设点A,B,C不共线,则“eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为锐角”是“|eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))|>|eq\o(BC,\s\up6(→))|”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(1)A(2)B(3)C[(1)由a>0,b>0,若a+b≤4,得4≥a+b≥2eq\r(ab),即ab≤4,充分性成立;当a=4,b=1时,满意ab≤4,但a+b=5>4,不满意a+b≤4,必要性不成立.故“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件,选A.(2)由x2-5x<0得0<x<5,记A={x|0<x<5},由|x-1|<1得0<x<2,记B={x|0<x<2},明显BA,∴“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要而不充分条件,故选B.(3)|eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))|>|eq\o(BC,\s\up6(→))|⇔|eq\o(AB,\s\up6(→))+eq\o(AC,\s\up6(→))|>|eq\o(AC,\s\up6(→))-eq\o(AB,\s\up6(→))|⇔eq\o(AB,\s\up6(→))2+eq\o(AC,\s\up6(→))2+2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))>eq\o(AB,\s\up6(→))2+eq\o(AC,\s\up6(→))2-2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))⇔eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))>0,由点A,B,C不共线,得〈eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))>0⇔eq\o(AB,\s\up6(→)),eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为锐角.故选C.][逆向问题](2024·湘东五校联考)“不等式x2-x+m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A.m>eq\f(1,4) B.0<m<1C.m>0 D.m>1C[若不等式x2-x+m>0在R上恒成立,则Δ=(-1)2-4m<0,解得m>eq\f(1,4),因此当不等式x2-x+m>0在R上恒成立时,必有m>0,但当m>0时,不肯定推出不等式在R上恒成立,故所求的必要不充分条件可以是m>0.]推断充要条件需留意3点(1)要分清条件与结论分别是什么.(2)要从充分性、必要性两个方面进行推断.(3)干脆推断比较困难时,可举出反例说明.1.已知x∈R,则“x=-1”是“x2-5x-6=0”的()A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件B[x2-5x-6=0⇔x=-1或x=6,∵x=-1⇒x=-1或x=6,而x=-1或x=6推不出x=-1,∴“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分而不必要条件,故选B.]2.给定两个命题p,q,若p是q的必要不充分条件,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件A[因为p是q的必要不充分条件,所以q⇒p,但peq\o(⇒,/)q,其等价于p⇒q,但qeq\o(⇒,/)p,故选A.]3.王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪,特别之观,常在于险远,而人之所罕至焉,故非有志者不能至也”,请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪,特别之观”的()A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件D[非有志者不能至,是必要条件;但“有志”也不肯定“能至”,不是充分条件.]考点2充分条件、必要条件的应用依据充要条件求参数值(或范围)的方法是先把充要条件转化为集合之间的关系,再依据集合的关系列出关于参数的不等式(组)求解.已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围为________.[0,3][由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,∴P={x|-2≤x≤10},由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.又S为非空集合,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1-m≤1+m,,1-m≥-2,,1+m≤10,))∴0≤m≤3.即所求m的取值范围是[0,3].][母题探究]把本例中的“必要条件”改为“充分条件”,求m的取值范围.[解]由x∈P是x∈S的充分条件,知P⊆S,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1-m≤1+m,,1-m≤-2,,1+m≥10,))解得m≥9,即所求m的取值范围是[9,+∞).利用充要条件求参数的2个关注点(1)巧用转化求参数:把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后依据集合之间的关系列出关于参数的不等
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