高等数学基础形成性考核册答案

高等数学基础形成性考核册答案一、函数

（一）填空题1.函数\(y=\frac{1}{\sqrt{x1}}\)的定义域是\((1,+\infty)\)。解题思路：要使根式有意义，则根号下的数大于零，即\(x1>0\)，解得\(x>1\)。2.已知函数\(f(x)=x^21\)，则\(f(f(2))=8\)。解题思路：先求\(f(2)\)，\(f(2)=2^21=3\)；再求\(f(f(2))\)，即\(f(3)=3^21=8\)。3.函数\(y=\sinx\)的最小正周期是\(2\pi\)。这是正弦函数的基本性质。

（二）单项选择题1.函数\(y=\frac{x+1}{x^21}\)的定义域是（）A.\(x\neq1\)B.\(x\neq1\)C.\(x\neq\pm1\)D.\(x\neq0\)答案：C解题思路：要使分式有意义，则分母不为零，即\(x^21\neq0\)，\((x+1)(x1)\neq0\)，解得\(x\neq\pm1\)。2.下列函数中为奇函数的是（）A.\(y=x^2+1\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x^3+1\)答案：B解题思路：奇函数满足\(f(x)=f(x)\)。\(y=\sinx\)，\(\sin(x)=\sinx\)，所以是奇函数；\(y=x^2+1\)，\((x)^2+1=x^2+1\)，是偶函数；\(y=\cosx\)，\(\cos(x)=\cosx\)，是偶函数；\(y=x^3+1\)，\((x)^3+1=x^3+1\neq(x^3+1)\)，非奇非偶。3.函数\(y=2^x+1\)是（）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数答案：C解题思路：\(f(x)=2^{x}+1\neqf(x)\)且\(f(x)\neqf(x)\)，所以是非奇非偶函数。

（三）解答题1.设函数\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x\leq0\\x^2,&x>0\end{cases}\)，求\(f(2)\)，\(f(0)\)，\(f(2)\)。解题思路：当\(x=2\)时，\(2\leq0\)，代入\(f(x)=x+1\)，得\(f(2)=2+1=1\)。当\(x=0\)时，\(0\leq0\)，代入\(f(x)=x+1\)，得\(f(0)=0+1=1\)。当\(x=2\)时，\(2>0\)，代入\(f(x)=x^2\)，得\(f(2)=2^2=4\)。2.判断函数\(y=\frac{x}{1+x^2}\)的奇偶性。解题思路：首先求\(f(x)\)，\(f(x)=\frac{x}{1+(x)^2}=\frac{x}{1+x^2}=f(x)\)。所以函数\(y=\frac{x}{1+x^2}\)是奇函数。

二、极限与连续

（一）填空题1.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\)。解题思路：根据重要极限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=2\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}=2\times1=2\)。2.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{3x}=e^6\)。解题思路：根据重要极限\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)，\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{3x}=\lim\limits_{x\to\infty}[(1+\frac{2}{x})^{\frac{x}{2}}]^6=e^6\)。3.函数\(f(x)=\begin{cases}\frac{x^24}{x2},&x\neq2\\a,&x=2\end{cases}\)在\(x=2\)处连续，则\(a=4\)。解题思路：\(\lim\limits_{x\to2}\frac{x^24}{x2}=\lim\limits_{x\to2}\frac{(x+2)(x2)}{x2}=\lim\limits_{x\to2}(x+2)=4\)，因为函数在\(x=2\)处连续，所以\(a=4\)。

（二）单项选择题1.下列极限计算正确的是（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=1\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1\frac{1}{x})^x=e\)C.\(\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)D.\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}=1\)答案：C解题思路：A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3\)，A错误。B.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1\frac{1}{x})^x=\lim\limits_{x\to\infty}[(1+\frac{1}{x})^{\frac{x}{1}}]^{1}=e^{1}\)，B错误。C.正确。D.\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{x1}=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x1)}{x1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\)，D错误。2.当\(x\to0\)时，与\(x\)等价的无穷小是（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\sinx\)D.\(1\cosx\)答案：C解题思路：当\(x\to0\)时，\(\sinx\)与\(x\)是等价无穷小。3.函数\(f(x)=\begin{cases}x+1,&x<0\\0,&x=0\\x1,&x>0\end{cases}\)在\(x=0\)处（）A.连续B.左连续C.右连续D.不连续答案：D解题思路：\(\lim\limits_{x\to0^}f(x)=\lim\limits_{x\to0^}(x+1)=1\)，\(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(x1)=1\)，左右极限不相等，所以在\(x=0\)处不连续。

（三）解答题1.计算\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{2x^2x1}\)。解题思路：\[\begin{align*}\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{2x^2x1}&=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x1)}{(2x+1)(x1)}\\&=\lim\limits_{x\to1}\frac{x+1}{2x+1}\\&=\frac{1+1}{2\times1+1}\\&=\frac{2}{3}\end{align*}\]2.计算\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x}{x^2+1}\)。解题思路：\[\begin{align*}\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x}{x^2+1}&=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}\\&=\frac{3+0}{1+0}\\&=3\end{align*}\]

三、导数与微分

（一）填空题1.曲线\(y=x^3\)在点\((1,1)\)处的切线斜率是\(3\)。解题思路：对\(y=x^3\)求导，\(y^\prime=3x^2\)，把\(x=1\)代入得\(y^\prime|_{x=1}=3\times1^2=3\)。2.函数\(y=\lnx\)的导数\(y^\prime=\frac{1}{x}\)。这是对数函数求导公式。3.函数\(y=e^{x}\)的微分\(dy=e^{x}dx\)。解题思路：对\(y=e^{x}\)求导得\(y^\prime=e^{x}\)，所以\(dy=e^{x}dx\)。

（二）单项选择题1.设\(y=x^2\)，则\(dy\)等于（）A.\(2xdx\)B.\(xdx\)C.\(2dx\)D.\(dx\)答案：A解题思路：\(y^\prime=2x\)，所以\(dy=2xdx\)。2.函数\(y=\sinx\)的导数是（）A.\(\cosx\)B.\(\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(\sinx\)答案：A这是正弦函数求导公式。3.下列函数中，导数为\(2x\)的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=2x\)C.\(y=x+1\)D.\(y=x^3\)答案：A解题思路：对选项逐一求导，\((x^2)^\prime=2x\)，\((2x)^\prime=2\)，\((x+1)^\prime=1\)，\((x^3)^\prime=3x^2\)。

（三）解答题1.求函数\(y=x^33x^2+5\)的导数。解题思路：根据求导公式\((x^n)^\prime=nx^{n1}\)，\(y^\prime=(x^33x^2+5)^\prime=3x^26x\)。2.求函数\(y=\frac{1}{x^2}\)在点\((1,1)\)处的切线方程。解题思路：先对\(y=\frac{1}{x^2}=x^{2}\)求导，\(y^\prime=2x^{3}=\frac{2}{x^3}\)。把\(x=1\)代入导数得\(y^\prime|_{x=1}=2\)，即切线斜率为\(2\)。根据点斜式方程\(yy_1=k(xx_1)\)（其中\((x_1,y_1)=(1,1)\)，\(k=2\)），可得切线方程为\(y1=2(x1)\)，整理得\(2x+y3=0\)。

四、导数的应用

（一）填空题1.函数\(y=x^22x+3\)在区间\([0,3]\)上的最小值是\(2\)。解题思路：对\(y=x^22x+3\)求导得\(y^\prime=2x2\)，令\(y^\prime=0\)，解得\(x=1\)。比较\(y(0)=3\)，\(y(1)=2\)，\(y(3)=6\)，可得最小值为\(2\)。2.函数\(y=x^3\)的单调递增区间是\((\infty,+\infty)\)。解题思路：对\(y=x^3\)求导得\(y^\prime=3x^2\geq0\)恒成立，所以单调递增区间是\((\infty,+\infty)\)。3.函数\(y=x^24x+5\)的驻点是\(x=2\)。解题思路：令\(y^\prime=2x4=0\)，解得\(x=2\)。

（二）单项选择题1.函数\(y=x^2+4x5\)在区间\((6,6)\)内满足（）A.先单调下降再单调上升B.单调下降C.先单调上升再单调下降D.单调上升答案：A解题思路：\(y^\prime=2x+4\)，令\(y^\prime=0\)，得\(x=2\)。当\(x<2\)时，\(y^\prime<0\)，函数单调下降；当\(x>2\)时，\(y^\prime>0\)，函数单调上升。2.函数\(y=\frac{1}{3}x^3x\)在区间\([1,1]\)上的最大值是（）A.\(\frac{2}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(0\)D.\(\frac{1}{3}\)答案：A解题思路：\