2024秋高中数学第三章函数的应用3.2.2函数模型的应用实例课时作业含解析新人教A版必修1

PAGEPAGE13.2.2函数模型的应用实例A级基础巩固一、选择题1．一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t＝2时，汽车已行驶的路程为(C)A．100km B．125kmC．150km D．225km[解析]t＝2时，汽车行驶的路程为：s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150km，故选C．2．某公司聘请员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x1≤x＜10，x∈N*,2x＋1010≤x＜100，x∈N*,1.5xx≥100，x∈N*))，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为(C)A．15 B．40C．25 D．130[解析]令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满意题意：若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意，故拟录用人数为25，故选C．3．设某产品2024年12月底价格为a元(a>0)，在2024年的前6个月，价格平均每月比上个月上涨10%，后6个月，价格平均每月比上个月下降10%，经过这12个月，2024年12月底该产品的价格为b元，则a，b的大小关系是(A)A．a>b B．a<bC．a＝b D．不能确定[解析]由题意，得b＝a·(1＋10%)6·(1－10%)6＝a·(1.1×0.9)6＝0.996a<a，故选A．4．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又起先上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的改变状况的是(C)[解析]从0时到6时，体温上升，图象是上升的，解除选项A；从6时到12时，体温下降，图象是下降的，解除选项B；从12时到18时，体温上升，图象是上升的，解除选项D．5．(2024·济南济钢中学高一期中测试)某种新药服用xh后血液中残留量为ymg，如图所示为函数y＝f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240mg时，治疗有效．设某人上午800第一次服药，为保证疗效，则其次次服药最迟的时间应为(C)A．上午1000 B．中午1200C．下午400 D．下午600[解析]由图象可知，当x∈[0,4]时，设y＝kx，代入点(4,320)，得320＝4k，∴k＝80，∴y＝80x.当x∈[4,20]时，设y＝kx＋b，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝320,20k＋b＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－20,b＝400)).∴y＝400－20x.当x∈[0,4]时，由80x≥240，得3≤x≤4，当x∈[4,20]时，由400－20x≥240，得4≤x≤8，∴3≤x≤8.∴其次次服药应在第一次服药8小时后，即当日1600时．6．某企业生产总值的月平均增长率为P，则年平均增长率为(C)A．(1＋P)11 B．(1＋P)12C．(1＋P)12－1 D．(1＋P)11－1[解析]设年平均增长率为x，∴1·(1＋x)＝1·(1＋P)12，∴x＝(1＋P)12－1，故选C．二、填空题7．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特别动物．已知该动物繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100，则到第7年它们的数量为__300__.[解析]将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)中，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，则y＝100log2(x＋1)，所以当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.8．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价b，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是__y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)__.[解析]依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，化简得b＝eq\f(5,4)a，∴y＝b·20%·x＝eq\f(5,4)a·20%·x，即y＝eq\f(a,4)x(x∈N＋)．三、解答题9．某企业生产A，B两种产品，依据市场调查与预料，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2(注：利润和投资单位：万元)．(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A，B两种产品的生产．①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：假如你是厂长，怎样安排这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解析](1)设A，B两种产品分别投资x万元，x≥0，所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元．由题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2eq\r(x).依据图象可解得f(x)＝0.25x(x≥0)．g(x)＝2eq\r(x)(x≥0)．(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2eq\r(9)＝6.∴总利润y＝8.25万元．②设B产品投入x万元，A产品投入(18－x)万元，该企业可获总利润为y万元．则y＝eq\f(1,4)(18－x)＋2eq\r(x)，0≤x≤18.令eq\r(x)＝t，t∈[0,3eq\r(2)]，则y＝eq\f(1,4)(－t2＋8t＋18)＝－eq\f(1,4)(t－4)2＋eq\f(17,2).∴当t＝4时，ymax＝eq\f(17,2)＝8.5，此时x＝16,18－x＝2.∴当A，B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．B级素养提升一、选择题1．一个人以6m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25m时，交通灯由红变绿，汽车以1m/s2的加速度均加速开走，那么(D)A．人可在7s内追上汽车B．人可在10s内追上汽车C．人追不上汽车，其间距最少为5mD．人追不上汽车，其间距最少为7m[解析]设汽车经过ts行驶的路程为sm，则s＝eq\f(1,2)t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝eq\f(1,2)t2－6t＋25＝eq\f(1,2)(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值为7，故选D．2．依据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,\r(x))x＜A,\f(c,\r(A))x≥A))(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30min，组装第A件产品用时15min，那么c和A的值分别是(D)A．75,25 B．75,16C．60,25 D．60,16[解析]由题意知，组装第A件产品所需时间为eq\f(c,\r(A))＝15，故组装第4件产品所需时间为eq\f(c,\r(4))＝30，解得c＝60.将c＝60代入eq\f(c,\r(A))＝15，得A＝16.3．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率(eq\f(销售价－进价,进价)×100%)由原来的r%增加到(r＋10)%，则r的值等于(B)A．12 B．15C．25 D．50[解析]设原来的进货价为m元，则由题意得m(1＋r%)＝m(1－8%)[1＋(r＋10)%]，解得r＝15，故选B．4．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以匀称速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，假如水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是(D)[解析]水深h越大，水的体积V就越大，故函数V＝f(h)是递增函数，一起先增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的，曲线斜率是先增大后变小的，故选D．二、填空题5．一种特地侵占内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3min自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后经过__45__min，该病毒占据64MB内存(1MB＝210KB)．[解析]设过n个3min后，该病毒占据64MB内存，则2×2n＝64×210＝216⇒n＝15.故时间为15×3＝45(min)．6．(2024·济南济钢中学高一期中测试)生物机体内碳14的半衰期(剩留量为原来的一半所须要的时间)为5730年，某古墓一文物出土时碳14的残余量约占原始含量的77%，试推算该古墓距出土时约有__2_161__年．(参考数据：lg0.77＝－0.1135，lg0.5＝－0.3010，结果精确到年)[解析]设生物死亡的年数为x年，由题意得(eq\f(1,2))eq\f(x,5730)＝77%，∴eq\f(x,5730)＝logeq\f(1,2)0.77＝eq\f(lg77,lg\f(1,2))＝eq\f(－0.1135,－0.3010)＝eq\f(1135,3010)，∴x＝5730×eq\f(1135,3010)≈2161.∴该古墓距出土时约有2161年．三、解答题7．某商品在近30天内每件的销售价格p(元)和时间t(天)的函数关系为：p＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t＋200<t<25,－t＋10025≤t≤30))(t∈N*)．设商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天．[解析]设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，所以y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－t2＋20t＋8000<t<25,t2－140t＋400025≤t≤30)).(1)当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，所以当t＝10时，ymax＝900元．(2)当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，所以当t＝25时，ymax＝1125元．综合(1)，(2)得ymax＝1125元．因此这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天达到日销售金额最大．8．2024年，某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经验了从亏损到盈利的过程，如图所示的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系)．依据图象供应的信息解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第八个月公司所获利润是多少万元？[解析](1)由二次函数图象可知，设S与t的函数关系式为S＝at2＋bt＋c(a≠0)．由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝－1.5,4a＋2b＋c＝－2,25a＋5b＋c＝2.5))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝－1.5,4a＋2b＋c＝－2,c＝0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝－1.5,16a＋4b＋c＝0,c＝0)).无论哪个均可解得a＝eq\f(1,2)，b＝－2，c＝0；∴所求函数关系式为S＝eq\f(1,2)t2－2t.(2)把S＝30代入，得30＝eq\f(1,2)t2－2t，解得t1＝10，t2＝－6(舍去)，∴截止到第十个月末公司累积利润可达到30万元．(3)第八个月公司所获利润为eq\f(1,2)×82－2×8－eq\f(1,2)×72＋2×7＝5.5，∴第八个月公司所获利润为5.5万元．9．诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成6份，嘉奖给分别在6项(物理化学、文学、经济学、生理学或医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示：2015年诺贝尔发放后基金总额为19800万美元．设f(x)表示第x(x∈N＋)年诺贝尔奖发放后的基金总额．(2015年记为f(1)，2024年记为f(2)，…，依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3)，并依据所求结果归纳出函数f(x)的表达式；(2)试依据f(x)的表达式推断网上一则新闻“2025年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.03129≈1.32)[解析](1)由题意知f(2)＝f(