2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念练习含解析新人教A版选修1-1

PAGE1-3.1.1改变率问题3.1.2导数的概念[学生用书P121(单独成册)])[A基础达标]1．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均改变率为eq\r(3)，则下面叙述正确的是()A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为eq\f(π,6)B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为eq\f(π,3)C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－eq\r(3)D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－eq\f(\r(3),3)解析：选B.函数f(x)从x1到x2的平均改变率就是割线AB的斜率，所以kAB＝eq\r(3)，割线AB的倾斜角为eq\f(π,3)，选B.2．已知函数y＝eq\f(2,x)，当x由2变为1.5时，函数值y的增量为()A．1 B．2C.eq\f(1,3) D．eq\f(3,2)解析：选C.Δy＝eq\f(2,1.5)－eq\f(2,2)＝eq\f(4,3)－1＝eq\f(1,3).3．若函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均改变率为3，则a＝()A．－3 B．2C．3 D．－2解析：选C.依据平均改变率的定义及题设可知eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（2a＋b）－（a＋b）,2－1)＝a＝3.故选C.4．一质点位移随时间改变的函数为s(t)＝5－3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点从t＝1到t＝1＋Δt这段时间内的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是()A．－3m/s B．3m/sC．6m/s D．－6m/s解析：选D.当Δt趋近于0时，－3Δt－6趋近于－6，即t＝1时该质点的瞬时速度为－6m/s.5．若函数f(x)＝－x2＋10的图象上一点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(31,4)))及邻近一点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋Δx，\f(31,4)＋Δy))，则eq\f(Δy,Δx)＝()A．3 B．－3C．－3－(Δx)2 D．－Δx－3解析：选D.因为Δy＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋Δx))－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝－3Δx－(Δx)2，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－3Δx－（Δx）2,Δx)＝－3－Δx.6．球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为________．解析：因为Δy＝eq\f(4,3)π×23－eq\f(4,3)π×13＝eq\f(28π,3)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\f(28π,3),2－1)＝eq\f(28π,3).答案：eq\f(28π,3)7．函数y＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数为________．解析：因为Δy＝(1＋Δx)－eq\f(1,1＋Δx)－(1－1)＝Δx＋eq\f(Δx,1＋Δx)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(Δx＋\f(Δx,1＋Δx),Δx)＝1＋eq\f(1,1＋Δx).当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→2，所以函数y＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数为2.答案：28．设函数y＝x2＋2x在某点处的导数等于3，则该点的坐标是________．解析：y′|x＝x0＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(（x0＋Δx）2＋2（x0＋Δx）－xeq\o\al(2,0)－2x0,Δx)＝2x0＋2，又2x0＋2＝3，所以x0＝eq\f(1,2).所以该点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,4)))9．某婴儿从诞生到第12个月的体重改变如图所示，试分别计算该婴儿从诞生到第3个月以及第6个月到第12个月体重的平均改变率．解：从诞生到第3个月的时间改变量为Δt＝3－0＝3(月)，从诞生到第3个月的体重改变量为ΔW＝6.5－3.5＝3(kg)，则该婴儿从诞生到第3个月的体重的平均改变率为eq\f(ΔW,Δt)＝eq\f(3,3)＝1(kg/月)．从第6个月到第12个月的时间改变量为Δt＝12－6＝6(月)，从第6个月到第12个月的体重改变量为ΔW＝11－8.6＝2.4(kg)，则该婴儿从第6个月到第12个月的体重的平均改变率为eq\f(ΔW,Δt)＝eq\f(2.4,6)＝0.4(kg/月)．10．若函数f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx>0)上的平均改变率不大于－1，求Δx的取值范围．解：因为函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均改变率为：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝eq\f(－（2＋Δx）2＋（2＋Δx）－（－4＋2）,Δx)＝eq\f(－4Δx＋Δx－（Δx）2,Δx)＝－3－Δx，所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.又因为Δx>0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．[B实力提升]11．设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（2）－f（2＋Δx）,2Δx)＝()A．－2f′(2) B．2f′(2)C．－eq\f(1,2)f′(2) D．eq\f(1,2)f′(2)解析：选C.因为函数f(x)在x＝2处的导数存在，所以eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（2）－f（2＋Δx）,2Δx)＝－eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(f（2＋Δx）－f（2）,Δx)＝－eq\f(1,2)f′(2)．12．若函数y＝f(x)＝eq\r(x)在点x＝x0处的瞬时改变率是eq\f(\r(3),3)，则x0的值是()A.eq\f(3,4) B．eq\f(1,2)C．1 D．3解析：选A.eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(x0＋Δx)－\r(x0),Δx)＝eq\f(（\r(x0＋Δx)－\r(x0)）（\r(x0＋Δx)＋\r(x0)）,Δx（\r(x0＋Δx)＋\r(x0)）)＝eq\f(1,\r(x0＋Δx)＋\r(x0))，当Δx→0时，eq\f(Δy,Δx)→eq\f(1,2\r(x0))，所以eq\f(1,2\r(x0))＝eq\f(\r(3),3)，所以x0＝eq\f(3,4).13．求y＝x2＋eq\f(1,x)＋5在x＝2处的导数．解：因为Δy＝(2＋Δx)2＋eq\f(1,2＋Δx)＋5－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(22＋\f(1,2)＋5))＝4Δx＋(Δx)2＋eq\f(－Δx,2（2＋Δx）)，所以eq\f(Δy,Δx)＝4＋Δx－eq\f(1,4＋2Δx)，所以y′|x＝2＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do10(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋Δx－\f(1,4＋2Δx)))＝4＋0－eq\f(1,4＋2×0)＝eq\f(15,4).14．(选做题)若一物体的运动方程如下(s单位：m，t单位：s)：s＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3t2＋2，t≥3，,29＋3（t－3）2，0≤t＜3.))求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．解：(1)t∈[3，5]时，Δt＝5－3＝2，Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，所以eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(48,2)＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．因为物体在t＝0旁边的平均速度为eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s（0＋Δt）－s（0）,Δt)＝eq\f(29＋3[（0＋Δt）－3]2－29－3（0－3）2,Δt)＝3Δt－18，所以当Δt趋于0时，eq\o(v,\