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文档简介

7.2矩阵的初等行变换7.2.1初等行变换的概念7.2.2矩阵的秩7.2.3逆矩阵（1）互换变换：交换矩阵中任意两行（列）的位置；（2）倍乘变换：用非零常数乘以矩阵某一行（列）的所有元素；

（3）倍加变换：将矩阵某一行（列）所有元素的倍加到另一行（列）的对应元素上。矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换矩阵的初等行（列）变换是指对矩阵进行下列三种变换：

定义7.7

7.2.1初等行变换的概念

定义7.8

如果矩阵满足下列条件

（1）矩阵的零行（如果存在的话）在矩阵最下方；（2）非零行的首非零元素其列标随着行标递增而严格增大。则称该矩阵为阶梯形矩阵，简称阶梯矩阵。

定义7.9

首非零元素等于1，而且首非零元素1所在列的其他元素全为零的阶梯形矩阵称为行简化阶梯形矩阵，简称行简化阶梯矩阵。例如为非阶梯矩阵，为阶梯矩阵而非行简化阶梯矩阵，为行简化阶梯矩阵。

定理7.1

任意一个矩阵，可以经过有限次的初

等行变换必可化为阶梯矩阵，并进一步可化为行简化阶梯矩阵。例7.2.1把矩阵化为行简化阶梯矩阵。解：式中为的阶梯矩阵，为的行简化阶梯矩阵。

经过有限次的初等行变换将矩阵化为阶梯矩阵后，定义7.10该阶梯形矩阵中非零行的行数称为矩阵的秩，记为秩或。

定义7.11对于阶方阵，如果，则称或非奇异矩阵。

为满秩矩阵，任何一个满秩矩阵都能通过初等行变换化为单位矩阵。定理7.2

7.2.2矩阵的秩

7.2.3逆矩阵1.逆矩阵的概念定义7.12设是阶方阵，如果存在阶方阵，使得则称矩阵可逆，并称是的逆矩阵。记为，即。

，例如：矩阵

，

，因为可以验

证

。所以矩阵

可逆，且矩阵

是矩阵

的逆矩阵。

定理7.3如果矩阵是可逆的，则的逆矩阵是唯一的。【问题】是否所有的矩阵都存在着逆矩阵？如：零矩阵就不存在逆矩阵，矩阵也不存在逆矩阵。定理7.4矩阵可逆的充要条件是矩阵为满秩矩阵。定理7.5阶可逆矩阵经过一系列的初等行变换，必可化成阶单位矩阵经过一系列的初等行变换，必可化成阶单位矩阵；同时对阶单位矩阵作同样的初等行变换，所得到的矩阵即为的逆矩阵。例7.2.2用初等变换法求＝

的逆矩阵。

解：＝所以

例7.2.3用初等行变换求

＝

的逆矩阵。

解：即矩阵不可逆。小结：（1）矩阵的初等变换

（2）矩阵

的秩

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