矩阵分析试卷

矩阵分析试卷一、选择题（每题5分，共20分）1.设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，则下列哪个选项一定正确？A.A+B一定有意义B.AB一定有意义C.BA一定有意义D.AB一定有意义2.设A为n阶可逆矩阵，则下列哪个选项一定正确？A.A的逆矩阵唯一B.A的转置矩阵可逆C.A的行列式等于0D.A的秩等于n3.设A为n阶矩阵，则下列哪个选项一定正确？A.若A的行列式等于0，则A不可逆B.若A的秩等于n，则A可逆C.若A的特征值全为0，则A不可逆D.若A的迹等于0，则A不可逆4.设A为n阶矩阵，λ为A的特征值，则下列哪个选项一定正确？A.λ的个数最多为nB.λ的个数至少为1C.λ的和不等于A的迹D.λ的乘积等于A的行列式二、填空题（每题5分，共20分）1.设A为m×n矩阵，则A的秩不超过_________。2.设A为n阶矩阵，则A的特征多项式为_________。3.设A为n阶矩阵，λ1,λ2,,λn为A的特征值，则A的迹等于_________。4.设A为n阶矩阵，若A可对角化，则A一定有_________个线性无关的特征向量。三、计算题（每题15分，共60分）1.设A为3阶矩阵，且A^2=2A+I，其中I为3阶单位矩阵。求A的特征值和特征向量。2.设A为4阶矩阵，且A^3=2A^2+A，求A的秩。3.设A为n阶矩阵，且A^2=0。证明：A不可逆。4.设A为n阶矩阵，且A可对角化。证明：A的迹等于其特征值的和。四、证明题（每题20分，共40分）1.设A为n阶矩阵，证明：若A可逆，则A的转置矩阵也可逆，且(A^T)^1=(A^1)^T。2.设A为n阶矩阵，证明：若A的特征值全为正数，则A的行列式也为正数。五、应用题（每题20分，共40分）1.在实际应用中，矩阵常用于表示线性变换。设A为n阶矩阵，表示一个线性变换，证明：若A可对角化，则存在一组基，使得在该基下，A对应的线性变换为伸缩变换。2.在机器学习中，矩阵分析有着广泛的应用。设A为n阶矩阵，表示一个数据集的协方差矩阵。证明：协方差矩阵的特征值越大，对应的特征向量在数据集的方差中贡献越大。一、选择题1.B2.A3.A4.A二、填空题1.m,n2.n3.1+2++n4.n三、计算题1.特征值：1,1,0；特征向量：(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)2.秩：23.证明：由A20，得A(A)0，即A的特征值全为0，故A不可逆。4.证明：由A可对角化，得APDP1，其中D为对角矩阵，其对角线元素为A的特征值。则tr(A)tr(PDP1)tr(D)，即A的迹等于其特征值的和。四、证明题1.证明：由A可逆，得AA1I。两边取转置，得(A1)TATIT，即(AT)(A1)TIT。故AT也可逆，且(AT)1(A1)T。2.证明：由A的特征值全为正数，得A可对角化，即APDP1，其中D为对角矩阵，其对角线元素为A的特征值。则det(A)det(PDP1)det(D)，即A的行列式为A的特征值的乘积，故也为正数。五、应用题1.证明：由A可对角化，得APDP1，其中D为对角矩阵，其对角线元素为A的特征值。则存在一组基，使得在该基下，A对应的线性变换为伸缩变换。2.证明：协方差矩阵的特征值越大，对应的特征向量在数据集的方差中贡献越大。1.矩阵的秩：矩阵的秩表示矩阵的列向量（或行向量）组中线性无关的最大个数。2.矩阵的特征值与特征向量：矩阵的特征值表示矩阵在某一方向上的伸缩因子，特征向量表示矩阵在该方向上的方向向量。3.矩阵的对角化：矩阵对角化是指将矩阵表示为对角矩阵的形式，对角矩阵的对角线元素为矩阵的特征值。