《线性代数试卷》期末考试试卷

《线性代数试卷》（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（10小题，每题3分，共30分）1.设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，则AB的行列式（）A.一定存在B.不一定存在C.一定不存在D.与m、n的大小关系有关2.设A为n阶可逆矩阵，则A的伴随矩阵的行列式等于（）A.|A|B.|A|^2C.|A|的倒数D.|A|的相反数3.设A为n阶矩阵，若A^2=A，则A（）A.一定可逆B.一定不可逆C.可逆当且仅当n为奇数D.可逆当且仅当n为偶数4.设A为n阶矩阵，若A的特征值全为0，则A（）A.一定可逆B.一定不可逆C.可逆当且仅当n为奇数D.可逆当且仅当n为偶数5.设A为n阶矩阵，λ为A的特征值，则λ^2为A^2的特征值（）A.一定成立B.一定不成立C.当且仅当λ≠0时成立D.当且仅当λ=0时成立6.设A为n阶矩阵，若A的秩为r，则A的行列式（）A.一定等于0B.一定不等于0C.当且仅当r=n时等于0D.当且仅当r<n时等于07.设A为n阶矩阵，若A的特征多项式为f(λ)，则f(0)等于（）A.|A|B.|A|C.A的迹D.A的迹8.设A为n阶矩阵，若A可对角化，则A的Jordan标准形（）A.唯一B.不唯一C.当且仅当A的特征值全不相同时唯一D.当且仅当A的特征值全相同时唯一9.设A为n阶矩阵，若A的特征值全为正数，则A的行列式（）A.一定为正数B.一定为负数C.一定为0D.不能确定符号10.设A为n阶矩阵，若A^2=I（I为单位矩阵），则A（）A.一定可对角化B.一定不可对角化C.可对角化当且仅当n为偶数D.可对角化当且仅当n为奇数二、填空题（5小题，每题4分，共20分）11.设A为3阶矩阵，且A^2=0，则A的秩为______。12.设A为n阶矩阵，且A^2=A，则A的特征值只能为______或______。13.设A为n阶矩阵，且A+A^T=0，则A的秩为______。14.设A为n阶矩阵，且A^3=I（I为单位矩阵），则A的特征值只能为______。15.设A为n阶矩阵，且A可对角化，则A的Jordan标准形的对角线元素为______。三、计算题（3小题，每题10分，共30分）16.设A为3阶矩阵，且A=PBP^(1)，其中B=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&3&1\\0&0&3\end{pmatrix}，P=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}，求A。17.设A为4阶矩阵，且A^2=0，求A的秩。18.设A为n阶矩阵，且A^2=A，证明：A的特征值只能为0或1。四、证明题（2小题，每题10分，共20分）19.设A为n阶矩阵，证明：若A的特征值全为正数，则A的行列式为正数。20.设A为n8.设A为n阶矩阵，若A的特征值全为0，则A的行列式等于（）A.一定等于0B.一定不等于0C.当且仅当n为奇数时等于0D.当且仅当n为偶数时等于09.设A为n阶矩阵，若A的秩为r，则A的行列式等于（）A.一定等于0B.一定不等于0C.当且仅当r=n时等于0D.当且仅当r<n时等于010.设A为n阶矩阵，若A的特征多项式为f()，则f(0)等于（）A.AB.AC.A的迹D.A的迹11.设A为n阶矩阵，若A可对角化，则A的Jordan标准形的对角线元素为（）A.A的特征值B.A的迹C.A的行列式D.A的秩12.设A为n阶矩阵，若A20，则A的秩为（）A.一定等于0B.一定等于nC.当且仅当n为奇数时等于0D.当且仅当n为偶数时等于013.设A为n阶矩阵，若A2A，则A的特征值只能为（）A.0或1B.0或1C.1或1D.0或n14.设A为n阶矩阵，若A的特征值全为正数，则A的行列式为（）A.一定为正数B.一定为负数C.当且仅当n为奇数时为正数D.当且仅当n为偶数时为正数15.设A为n阶矩阵，若A可对角化，则A的Jordan标准形的对角线元素为（）A.A的特征值B.A的迹C.A的行列式D.A的秩16.设A为3阶矩阵，且APBP(1)，其中Bbeginpmatrix2&0&00&3&10&0&3endpmatrix，Pbeginpmatrix1&2&30&1&40&0&1endpmatrix，求A。17.设A为4阶矩阵，且A20，求A的秩。18.设A为n阶矩阵，且A2A，证明：A的特征值只能为0或1。19.设A为n阶矩阵，证明：若A的特征值全为正数，则A的行列式为正数。20.设A为n阶矩阵，证明：若A可对角化，则A的Jordan标准形的对角线元素为A的特征值。一、选择题答案：1.B2.C3.A8.A9.C10.D11.A12.A13.A14.A15.A二、填空题答案：16.A=PBP(1)=beginpmatrix2&0&00&3&10&0&3endpmatrixbeginpmatrix1&2&30&1&40&0&1endpmatrixbeginpmatrix1&0&02&1&03&4&1endpmatrix=beginpmatrix2&2&60&3&70&0&3endpmatrix三、计算题答案：17.由A20，得r(A2)0，又因为r(A2)r(A)，所以r(A)0，即A的秩为0，所以A为0矩阵。18.设A的特征值为λ，则由A2A，得λ2λ，即λ(λ1)0，解得λ0或1，即A的特征值只能为0或1。四、证明题答案：19.证明：设A的特征值为λ1,λ2,,λn，则由已知，λ1,λ2,,λn均大于0，所以A的行列式det(A)=λ1λ2λn大于0，即A的行列式为正数。20.证明：设A的Jordan标准形为J，则由已知，A可对角化，所以J为对角矩阵，其对角线元素为A的特征值。1.矩阵的行列式：行列式是矩阵的一个重要属性，用于判断矩阵是否可逆。当行列式为0时，矩阵不可逆；当行列式不为0时，矩阵可逆。2.矩阵的特征值和特征向量：特征值和特征向量是矩阵的两个重要概念，用于描述矩阵的性质。特征值反映了矩阵的缩放因子，特征向量反映了矩阵的缩放方向。3.矩阵的对角化：对角化是指将矩阵转化为对角矩阵的过程。一个矩阵可对角化的充分必要条件是它有n个线性无关的特征向量。4.矩阵的Jordan标准形：Jordan标准形是矩阵的一种特殊形式，用于描述矩阵的Jordan结构。每个Jordan块对应一个特征值，Jordan块的大小反映了该特征值的代数重数。5.矩阵的秩：矩阵的秩是矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的大小，用于描述矩阵的秩亏情况。矩阵的秩越大，其信息量越丰富。6.矩阵的特征多项式：特征多项式是矩阵的一个多项式，其根为矩阵的特征值。特征多项式用于求解矩阵的特征值和特征向量。7.矩阵的迹：矩阵的迹是矩阵对角线元素之和，用于描述矩阵