章一次函数复习教案

章一次函数复习教案一、教学目标1.知识与技能目标系统梳理一次函数的相关概念，包括函数定义、表达式、图象及性质等，使学生能准确理解和掌握。熟练运用一次函数的知识解决各类实际问题，如根据条件求函数表达式、利用图象分析问题、建立函数模型解决实际应用等，提升学生的解题能力。2.过程与方法目标通过回顾知识点、典型例题讲解与练习巩固，培养学生的归纳总结能力，使其学会构建知识体系。经历从具体问题中抽象出函数模型并解决问题的过程，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，体会函数思想和方程思想。3.情感态度与价值观目标激发学生对数学复习的兴趣，培养学生严谨的治学态度。通过解决实际问题，增强学生应用数学知识的意识，体会数学与生活的紧密联系，提升学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点一次函数的概念、表达式、图象和性质。一次函数的应用，特别是根据实际问题建立函数模型并求解。2.教学难点灵活运用一次函数的性质解决综合问题，如函数图象的平移、与其他函数图象的交点问题等。如何引导学生从实际问题中准确提取信息，建立合理的函数模型，并进行有效的分析和解答。三、教学方法1.讲授法：系统讲解一次函数的重点知识，确保学生理解基本概念和原理。2.讨论法：组织学生讨论典型例题和实际问题，激发学生思维，促进学生之间的交流与合作，培养学生的团队协作能力和独立思考能力。3.练习法：通过适量的课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力，及时反馈学生对知识的掌握情况。四、教学过程（一）知识回顾1.一次函数的定义一般地，形如$y=kx+b$（$k$，$b$是常数，$k≠0$）的函数，叫做一次函数。当$b=0$时，$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），这时$y$叫做$x$的正比例函数。引导学生思考一次函数定义中需要注意的要点，如$k$的取值限制等，通过提问的方式让学生举例说明哪些函数是一次函数，哪些是正比例函数。2.一次函数的表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法。讲解利用待定系数法求一次函数表达式的步骤：设函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。根据已知条件列出关于$k$，$b$的方程（组）。解方程（组），求出$k$，$b$的值。将$k$，$b$的值代入所设表达式，得到函数表达式。例如，已知一次函数图象经过点$(1,3)$和$(2,5)$，求该一次函数的表达式。设函数表达式为$y=kx+b$。把点$(1,3)$和$(2,5)$代入表达式得：$\begin{cases}k+b=3\\2k+b=5\end{cases}$用第二个方程减去第一个方程消去$b$可得：$2k+b(k+b)=53$，即$k=2$。把$k=2$代入$k+b=3$，得$2+b=3$，解得$b=1$。所以该一次函数表达式为$y=2x+1$。3.一次函数的图象及性质图象：一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图象是一条直线，通常称为直线$y=kx+b$。性质：当$k＞0$时，直线$y=kx+b$从左向右上升，$y$随$x$的增大而增大。当$k＜0$时，直线$y=kx+b$从左向右下降，$y$随$x$的增大而减小。直线$y=kx+b$与$y$轴的交点坐标为$(0,b)$，$b$叫做直线在$y$轴上的截距。通过画出不同$k$值和$b$值的一次函数图象，如$y=2x+1$，$y=3x2$等，让学生直观感受一次函数图象的特点和性质，引导学生观察图象的变化趋势与$k$、$b$的关系，并进行小组讨论总结。（二）典型例题讲解1.一次函数概念的应用例1：下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？$y=5x1$$y=\frac{1}{x}$$y=x$$y=2x^2+1$$y=3(x2)3x$解：对于$y=5x1$，符合一次函数$y=kx+b$（$k=5$，$b=1$）的形式，是一次函数。$y=\frac{1}{x}$是反比例函数，不是一次函数。$y=x$可写成$y=1x+0$，是一次函数也是正比例函数。$y=2x^2+1$中$x$的最高次数是2，是二次函数，不是一次函数。对$y=3(x2)3x$进行化简：$y=3x63x=6$，不是一次函数。总结：判断一个函数是否为一次函数，关键看其是否能化为$y=kx+b$（$k≠0$）的形式；正比例函数是特殊的一次函数，当$b=0$时即为正比例函数。通过这道例题，加深学生对一次函数概念的理解，强调概念中的关键要素。2.根据条件求一次函数表达式例2：已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(0,2)$和点$B(1,3)$，求这个一次函数的表达式。解：把点$A(0,2)$代入$y=kx+b$，得$b=2$。再把点$B(1,3)$和$b=2$代入$y=kx+b$，得$k+2=3$，解得$k=1$。所以这个一次函数的表达式为$y=x+2$。例3：已知一次函数的图象平行于直线$y=2x$，且经过点$(1,1)$，求该一次函数的表达式。解：因为一次函数图象平行于直线$y=2x$，所以设该一次函数表达式为$y=2x+b$。把点$(1,1)$代入$y=2x+b$，得$2+b=1$，解得$b=1$。所以该一次函数表达式为$y=2x1$。总结：在求一次函数表达式时，要根据已知条件合理设出表达式，再代入已知点的坐标求解未知系数。例2是直接代入两点坐标求解，例3则利用两直线平行$k$值相等的性质先设出表达式，再求解$b$值。通过这两道例题，让学生熟练掌握利用待定系数法求一次函数表达式的方法和技巧。3.一次函数图象与性质的应用例4：已知一次函数$y=2x+4$，求当$x=1$时$y$的值。求当$y=0$时$x$的值。画出该函数的图象，并根据图象回答：当$x$为何值时，$y＞0$；当$x$为何值时，$y＜0$。解：当$x=1$时，$y=2×1+4=2$。当$y=0$时，$0=2x+4$，解得$x=2$。对于$y=2x+4$，当$x=0$时，$y=4$；当$y=0$时，$x=2$。过点$(0,4)$和$(2,0)$画直线，即得到函数$y=2x+4$的图象。由图象可知，当$x＜2$时，$y＞0$；当$x＞2$时，$y＜0$。例5：已知一次函数$y=kx+b$（$k≠0$），当$x$的值增大时，$y$的值也增大，则$k$的取值范围是______。解：因为当$x$的值增大时，$y$的值也增大，所以$k＞0$。总结：例4考查了一次函数表达式与函数值的关系以及通过图象分析函数值的正负情况，让学生学会根据表达式求函数值和根据函数值求自变量的值，并能借助图象直观地解决问题。例5则重点考查一次函数的性质，根据函数的增减性确定$k$的取值范围。通过这两道例题，加深学生对一次函数图象与性质的理解和运用，培养学生数形结合的思想。4.一次函数的综合应用例6：某单位有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：|客车类型|载客量（人/辆）|租金（元/辆）||||||甲种客车|45|400||乙种客车|30|280|该单位计划组织300名员工到某地旅游，怎样租车才能使总费用最少？最少费用是多少？解：设租甲种客车$x$辆，总费用为$y$元。因为总共要载300人，所以租乙种客车的数量为$\frac{30045x}{30}$辆。则总费用$y=400x+280×\frac{30045x}{30}$，化简可得：$y=400x+2800420x=20x+2800$。因为$x$，$\frac{30045x}{30}$都应为非负整数，所以$0\leqx\leq\frac{300}{45}\approx6.67$，且$30045x$能被30整除。当$x=0$时，$\frac{30045×0}{30}=10$，$y=280×10=2800$。当$x=2$时，$\frac{30045×2}{30}=7$，$y=400×2+280×7=800+1960=2760$。当$x=4$时，$\frac{30045×4}{30}=4$，$y=400×4+280×4=1600+1120=2720$。当$x=6$时，$\frac{30045×6}{30}=1$，$y=400×6+280×1=2400+280=2680$。当$x=8$时，$45×8=360＞300$，不符合题意。比较可得，当$x=6$时，$y$有最小值2680元。总结：这是一道一次函数在实际生活中的应用问题，关键是根据实际情况建立函数模型，然后通过分析函数的性质和自变量的取值范围来求解最优方案。通过这道例题，培养学生运用一次函数知识解决实际问题的能力，让学生体会数学在生活中的实用性。（三）课堂练习1.下列函数中，是一次函数的是（）A.$y=x^22x$B.$y=\frac{1}{x+1}$C.$y=\frac{1}{2}x3$D.$y=\sqrt{x+2}$2.已知一次函数$y=kx+3$的图象经过点$(1,5)$，则$k$的值为（）A.$2$B.$2$C.$1$D.$1$3.一次函数$y=3x+2$的图象不经过第______象限。4.已知一次函数$y=2x4$，当$x=$______时，$y=0$；当$x$______时，$y＞0$。5.某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠。甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%。设该学校计划购买$x$台电脑，分别写出到甲、乙两商场购买电脑所需费用$y_1$，$y_2$与$x$之间的函数关系式，并比较到哪家商场购买更优惠。（四）课堂小结1.引导学生回顾本节课复习的主要内容：一次函数的定义、表达式、图象及性质，以及利用这些知识解决的各类典型例题。2.让学生分享在本节课复习过程中的收获和体会，如对一次函数概念的理解更深入了，学会了用待定系数法求函数表达式，能熟练运用一次函数的性质解决问题等。3.强调在复习过程中需要注意的问题：一次函数定义中$k$的取值限制不能忽视。利用待定系数法求表达式时要准确列出方程（组）并求解。运用一次函数图象与性质解题时，要注意数形结合思想的运用。解决实际问题时，要正确分析题意，建立合理的函数模型。（五）课后作业1.已知一次函数$y=(m3)x+2m1$，当$m$为何值时：它是一次函数？它是正比例函数？2.已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,5)$，且与正比例函数$y=\frac{1}{2}x$的图象相交于点$(2,a)$。求$a$的值。求一次函数的表达式。3.已知一次函数$y=2x+4$，当$1\leqx\leq3$时，求$y$的取值范围。当$y＜2$时，求$x$的取值范围。4.某公司要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费