高中数学分层练习(基础题)08：空间向量与立体几何(50题)

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page1010页，共=sectionpages1010页空间向量与立体几何一、单选题1．已知长方体中，，，则该长方体的外接球球心到平面的距离为（

）A． B． C． D．12．某厂生产一批圆台形台灯灯罩，灯罩的上下底面都是空的，圆台两个底面半径之比为，高为16cm，母线长为20cm，如果要对100个这样的台灯灯罩外表面涂一层防潮涂料，每平方米需要100克涂料，则共需涂料（

）A．克 B．克 C．克 D．克3．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（

）A． B． C． D．4．如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．5．如图，在正方体中，直线与的位置关系是（

）

A．平行 B．相交C．直线与异面不垂直 D．直线与异面且垂直6．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（

）A． B．C． D．7．已知平行六面体的体积为1，若将其截去三棱锥，则剩余部分几何体的体积为（

）A． B． C． D．8．若圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．9．某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．10．某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为，则该正四棱锥的体积为（

）A． B． C． D．11．圆台的上下底面半径分别为1和3，圆台的母线与下底面所成角为，则圆台的体积为（

）A． B． C． D．12．直三棱柱的各条棱长均为2，为棱中点，则点到直三棱柱的外接球球心的距离是（

）A． B． C． D．13．若球被一个平面所截，所得截面的面积为，且球心到该截面的距离为2，则球的表面积是（

）A． B． C． D．14．在正四棱锥中，已知，，则该正四棱锥的体积为（

）A．96 B．80 C．64 D．3215．正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，侧棱长是，则该棱台的外接球半径为（

）A．3 B．5 C． D．616．已知圆锥的高为4，侧面积是底面积的3倍，则圆锥的体积为（

）A． B． C． D．17．在棱长为的正方体中，点在正方体内（包含边界）运动．若直线与所成角为，则动点所围成的图形的面积是（

）A． B． C． D．18．已知圆台的上底面半径为2，母线长为4，母线与底面所成的角为，则圆台的体积为（

）A． B． C． D．19．在空间中，a，b，c是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．如果，，那么B．如果，，，，那么C．如果，，，，那么D．如果，，，则20．已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，，则21．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（

）A． B． C． D．22．已知是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，是圆柱的母线，是线的中点，．则点到平面的距离为（

）A．1 B． C．2 D．23．在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体为“刍（chu）甍（meng）”.若底面是边长为的正方形，，且，和是等腰三角形，，则该刍甍的高（即点到底面的距离）为（

）A． B．C． D．24．在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线与的距离是（

）A．1 B． C． D．25．在正方体中，直线与平面所成角的正切值为（

）A． B． C． D．26．在正三棱锥中，，，则直线与平面所成角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．75°27．在正四棱锥中，是中点，则异面直线与所成的角为（

）A． B． C． D．28．在四棱锥中，底面为平行四边形，，分别为，的中点，为的中点，记，，，则（

）A． B．C． D．29．已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（

）A． B． C． D．30．已知正四棱锥的所有棱长均为1，为底面内一点，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题31．已知在三棱台中，平面，，，．以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则（

）A．B．C．异面直线与所成角的余弦值为D．点到直线的距离为32．如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（

）A．三棱锥 B．三棱锥C．三棱锥 D．三棱锥33．如图所示的圆台，在轴截面中，，则（

）A．该圆台的高为1B．该圆台轴截面面积为C．该圆台的体积为D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为534．已知圆台的上，下底面半径分别为1，3，母线长为4，则下列正确的有（

）A．圆台的侧面积为 B．圆台的体积为C．母线与底面所成角为 D．存在相互垂直的母线35．等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为（

）A． B． C． D．36．如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（

）A． B．C． D．37．如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则（

）

A．平面 B．平面C．在上的投影向量为 D．二面角的余弦值为38．如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（

）A． B．C． D．39．如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为BD，的中点，若点G满足（，），则（

）A．平面B．当时，平面C．当时，平面D．当时，点G到平面的距离为40．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（

）A． B．A，B，C三点共线C． D．在上的投影向量为三、填空题41．已知某圆台的体积为，其上、下底面圆的面积之比为4∶9，周长之和为，则该圆台的高为42．如图，在四棱锥中，平面，则点到直线的距离为.43．正四棱锥的所有棱长均相等，是的中点，那么异面直线与所成角的正切值为.44．在正方体中，是上靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为．45．如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为．46．已知正方体，则异面直线与所成角的余弦值为．47．在三棱柱，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则的值为.48．已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，点P在正方体表面上运动，且平面，则动点P的轨迹（包含M，N）所围成图形面积为.49．在如图所示的圆柱中，是底面圆的直径，是圆柱的母线，且，点是底面圆周上的一点，且，则直线与平面所成的角的正切值为．50．如图，空间四边形OABC中，6条棱长都为，且，则（用，表示）.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page2828页，共=sectionpages2828页《空间向量与立体几何》参考答案题号12345678910答案BCCDDCDAAA题号11121314151617181920答案DBCDBDBADB题号21222324252627282930答案DBBBDCCDDB题号31323334353637383940答案ABDACDBCDACABBDADBCDACAD1．B【分析】根据长方体的外接球直径是其体对角线，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【解析】长方体的外接球直径是其体对角线，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，设平面的法向量为，则，即，令，可得，又，所以该长方体的外接球球心到平面的距离.故选：B.2．C【分析】先求圆台的底面半径，计算圆台的侧面积，即可得到答案.【解析】作圆台的轴截面如图：梯形为等腰梯形，取上、下底面的中心分别为、，再取中点，连接，则中，因为，所以，，所以.所以.所以灯罩的侧面积为：.所以100个灯罩的外表面面积为：.又每平方米需要100克涂料，所以共需涂料克.故选：C3．C【分析】根据投影向量的定义可得结果.【解析】根根据空间中点的坐标确定方法知，在空间中，点在坐标平面上的投影坐标，竖坐标为0，横坐标与纵坐标不变.所以空间向量在坐标平面上的投影向量是：.故选：C.4．D【分析】设正方体的棱长为，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值即可.【解析】设正方体的棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，所以，令，所以，设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.故选：.5．D【分析】由正方体的性质得到异面和，结合平行四边形性质得到，最终证明结论即可.【解析】因为正方体的对面平行，所以直线与异面，如图，连接，由正方体性质得四边形是平行四边形，，

则，故，则直线与异面且垂直，故D正确.故选：D．6．C【分析】首先求出，，再根据投影向量的定义计算可得.【解析】因为，，所以，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C7．D【分析】根据锥体和柱体的面积公式，结合平行六面体的性质进行求解即可.【解析】设点到平面的距离为，的面积为，显然有，所以，因此剩余部分几何体的体积为，故选：D8．A【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面周长，求得底面半径，进而求得圆锥的高，即可求解；【解析】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，则，由题意可得：，即，所以，故，故选：A9．A【分析】利用线面角求出正四棱锥的高，再利用其体积.【解析】在正四棱锥中，令，连接，平面，则，由，得，所以该正四棱锥的体积为.故选：A.10．A【分析】根据正四棱锥的结构特征求出棱锥的高，再应用棱锥的体积公式求体积.【解析】由题设，底面是边长为2的正方形，其对角线长为，又侧棱与底面的夹角为，所以正四棱锥的高为，故正四棱锥的体积为.故选：A11．D【分析】根据圆台上下底面半径以及夹角之间的关系求出圆台的高，再利用圆台的体积公式求解即可.【解析】由题意该圆台的轴截面如图所示，设上下底面半径分别为，圆台的高为，则由题意可得，，所以，所以圆台的体积，故选：D.12．B【分析】由题意作图，明确外接球球心的位置，根据正三角形的性质以及勾股定理，可得答案.【解析】由题意，分别取上下底面正三角形的中心为，取的中点，连接，如下图：易知点为三棱柱的外接球球心，且平面，因为平面，所以，在正中，，易知，在中，.故选：B.13．C【分析】先求出截面圆的半径，再利用勾股定理求得球的半径，再根据球的表面积公式即可得出答案.【解析】因为球的一截面的面积为，所以截面圆的半径为，又因为球心到该截面的距离为2，所以球的半径为，所以球的表面积为.故选：C.14．D【分析】根据正四棱锥的性质，利用勾股定理求得棱锥的高，结合体积公式，可得答案.【解析】连接AC，BD，设AC与BD交于点O，连接OP．易知，PO就是正四棱锥的高，且．又，所以，所以该正四棱锥的体积为．故选：D.15．B【分析】作出辅助线，得到棱台的高为1，设该棱台的外接球球心到下底面的距离为，当球心在棱台内时，列出方程，求出，不合要求，当球心在棱台外时，列出方程，求出，得到答案.【解析】因为正六棱台的上、下底面边长分别为3和4，如图，为等边三角形，边长分别为3和4，所以，过点分别作⊥于点，于点，故，故，侧棱长是，即，由勾股定理得，即棱台的高为1，设该棱台的外接球球心到下底面的距离为，当球心在棱台内时，即，则，由勾股定理得，则，解得（舍），当球心在棱台外时，同理可得，解得，故棱台的外接球半径为；故选：B．16．D【分析】根据圆锥的侧面积和底面积以及体积公式来求得正确答案.【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，由题意知，所以，又，所以，所以圆锥的体积．故选：D17．B【分析】根据直线与所成角为，得直线与直线所成角为，动点所围成的图形是圆锥侧面的四分之一，根据圆锥的表面积公式求出即可.【解析】解：如图，在正方体中，，直线与所成角为，即直线与直线所成角为，故动点所围成的图形是：高为，底面半径为1，母线长为2的圆锥侧面的四分之一．即动点所围成的图形的面积为，故选：B．18．A【分析】由圆台的体积公式求解即可；【解析】由题意，得圆台的高为，下底面半径为，所以圆台的体积为.故选：A.19．D【分析】利用空间中直线和平面的位置关系逐项判断即可.【解析】对于A，在如图所示的正方体中，设，，，则，，但a不平行于b，所以A选项错误；对于B，根据面面平行的判定定理知，缺少这个条件，所以B选项错误；对于C，如图，设为平面，为平面ABCD，，，易知，，，，但a不垂直于，所以C选项错误；对于D，因为，所以存在，使得，又，，所以，所以，故D选项正确．故选：D20．B【分析】根据空间中点线面的位置关系，即可结合选项逐一求解.【解析】若，，则直线m与n或平行或相交或异面，故A不正确；若，，则，又，则在平面内存在直线c使得，所以，则，故B正确；若，，则m可能与平行，可能垂直，也可能在平面内，故C不正确；若，，，则，或m，n相交或异面，故D不正确．故选:B．21．D【分析】利用空间向量法来求平行线与平行平面间的距离即可.【解析】以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，即平面平面平面直线到平面的距离为点到平面的距离.设平面的法向量为，则即令，则点到平面的距离为.故选：D.22．B【分析】如图建系，写出相关点的坐标，求出相关向量，平面的法向量坐标，利用点到平面的距离的向量公式计算即得.【解析】如图，分别取圆柱上下底面的圆心为因是圆柱下底面的直径，是下底面圆弧的中点，故，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则，于是，设平面的法向量为，则，故可取，故点到平面的距离为.故选：B.23．B【分析】如图，利用线面垂直的判定定理与性质确定为刍甍的高，求出即可.【解析】如图，取的中点，连接，则，过点分别作，垂足分别为，则四边形为矩形，且，由，平面，得平面，又平面，所以，又平面，所以平面，即为刍甍的高.又，所以，因为，为的中点，所以，所以，即该刍甍的高为.故选：B24．B【分析】连接，证明，，可得四边形为菱形，利用面积法求出菱形的高即可求出直线与的距离.【解析】在棱长为1的正方体中，取中点，连接，因为为线段的中点，则，四边形为平行四边形，于是，又为线段的中点，则，四边形为平行四边形，于是，从而，同理，四边形为平行四边形，而，因此四边形为菱形，显然，令直线到直线的距离为，由，得，所以直线到直线的距离为.故选：.25．D【分析】根据正方体的特征结合线面角的定义得出线面角为，再计算正切即可.【解析】在正方体中，设，又因为平面，所以直线与平面所成角为，所以正切值.故选：D.26．C【分析】由题意画出图形，取底面三角形的中心，可得直线PA与平面ABC所成角，利用解三角形即得.【解析】如图，取底面正三角形的中心O，连接，则底面ABC，连接并延长，交于D，则为直线与平面所成角，可得，则，在中，有，即.∴直线与平面所成角的大小为60°.故选：C.27．C【分析】根据线线平行可得即为异面直线与所成的角或其补角，即可利用三角形的边角关系求解.【解析】连接相交于，连接,则是的中点，故，故即为异面直线与所成的角或其补角，由于，故，由于,故,故,结合,故，即异面直线与所成的角为，故选：C28．D【分析】由几何体结构特征结合向量的加减法法则逐步转化计算即可.【解析】由题意得,.故选：D29．D【分析】根据向量的线性运算，可得的表达式，两边平方即可求得.【解析】由已知：平行六面体所有棱长均为，，则，又因为：，同理可得：，则，则.故选：.30．B【分析】根据空间向量共面的推论求出，再根据数量积的定义及运算律计算可得.【解析】因为为底面内一点，且，所以，即又，所以.故选：B.31．ABD【分析】对于A，根据题意求出点和的坐标即可得的坐标；对于B，求出和的坐标，计算数量积即可判断；对于C,求出与的坐标，利用夹角公式即可求解；对于D，利用向量求距离的公式即可求出.【解析】根据题意可得，，，则，故A正确；，，，则，因为，所以，故B正确；，，则，，设异面直线与所成的角为，则，故C错误；，则点到直线的距离为，故D正确．故选：ABD.32．ACD【分析】根据线面平行的性质，将动点到面的距离转换成定点到面的距离，利用等体积法依次求解即可.【解析】记平行六面体的体积为，对于A，由平行六面体的性质，平面故点到平面的距离等于点到平面的距离，故,故A正确；对于B,因为，底面面积固定，点在线段上位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误；对于C，因为平面平面故平面点到平面的距离等于点到平面的距离，故，故C正确；对于D，因为平面平面故平面点到平面的距离等于点到平面的距离，故，故D正确；故选：ACD.33．BCD【分析】根据梯形性质利用勾股定理计算可得A错误，利用梯形面积公式计算可得B正确，代入圆台体积公式可知C正确，利用圆台侧面展开图以及勾股定理计算可得D正确.【解析】对于A，在梯形中，即代表圆台的高，利用勾股定理计算可得，所以A错误；对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确；对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为；所以该圆台的体积为，可得C正确；对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示：易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，；由弧长公式可知，解得；所以可得，设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短，易知，且，由勾股定理可知，可知D正确.故选：BCD34．AC【分析】利用圆台的侧面积公式即可得到选项A正确；利用圆台的体积公式得到选项B错误；用轴截面的即可得到选项C正确和选项D错误.【解析】设上下半径和母线长分别为：，对于选项A：利用圆台的侧面积公式，故选项A正确；对于选项B：圆台的高，再由圆台的体积公式，故B错误.对于选项C：设母线与底面所成角为，则，所以，故C正确.对于选项D：由选项C可知，母线与底面所成角为，因为圆台是绕着轴截面等腰梯形的对称轴旋转得到的，所以任意两条母线与底面所成角都相等，若两条母线垂直，则母线与底面所成角为，与前面所求的矛盾，所以不存在互相垂直的母线，故D错误.故选：AC35．AB【分析】分2种情况，一种是绕直角边，一种是绕斜边，分别求形成几何体的表面积.【解析】如果是绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，所以所形成的几何体的表面积是.如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边的高，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以写成的几何体的表面积.综上可知形成几何体的表面积是或.故选：AB.36．BD【分析】首先算出长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误.【解析】如图所示，在直观图中，过作于，.又，所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图：那么有，故选项B正确；又因为，故选项A､C错误；而，故选项D正确.故选：BD.37．AD【分析】建立空间直角坐标系，求出求出法向量和直线方向向量，根据向量关系即可判断AB；由投影向量公式可判断C；求出两个平面法向量，根据向量夹角公式可判断D.【解析】以为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图，则，所以.设平面的法向量为，则令，则，.因为，所以平面，A正确.，所以EO不与平面平行，B错误.在上的投影向量为，C错误．易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为，则，D正确.故选：AD

38．BCD【分析】根据线面平行的判定定理逐项进行判断即可.【解析】对A：如图：连接，交于点，连接，则，平面，且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A错误；对B：如图：因为，平面，平面，所以平面，故B正确；对C：如图：取中点，易证四点共面，且，平面，平面，所以平面，故C正确；对D：如图：连接，则，平面，平面，所以平面，故D正确.故选：BCD39．AC【分析】利用共面向量定理可判断A；以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量法计算可判断BCD.【解析】因为，所以共面，又均过点，所以共面，所以平面，故A正确；以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为，当时，，所以，所以，又，所以不平行于平面，故B错误；所以，所以，所以平面，故C正确；当时，，所以点G到平面的距离为，故D错误.故选：AC.40．AD【分析】根据空间向量得出A选项，根据空间向量的平行得出B选项，根据空间向量数量积判断C，应用投影向量公式计算判断D.【解析】对于A，由题意得，故A正确；对于B，，不存在实数，使得，所以三点不共线，故B错误；对于C，，，由，即与不垂直，故C错误；对于D，因，，则在上的投影向量为，故D正确.故选：AD.41．3【分析】根据圆的周长和面积公式求出圆台上、下