2024年高考数学一轮复习考点29等差数列及其前n项和必刷题理含解析

PAGEPAGE1考点29等差数列及其前n项和1、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若eq\f(S3,3)－eq\f(S2,2)＝1，则其公差d＝()A.eq\f(1,2) B．2C．3 D．4【答案】B【解析】由eq\f(S3,3)－eq\f(S2,2)＝1，得eq\f(a1＋a2＋a3,3)－eq\f(a1＋a2,2)＝1，即a1＋d－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(d,2)))＝1，∴d＝2.2、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，a5＝5，则S7的值是()A．30 B．29C．28 D．27【答案】C【解析】由题意，设等差数列的公差为d，则d＝eq\f(a5－a3,5－3)＝1，故a4＝a3＋d＝4，所以S7＝eq\f(7a1＋a7,2)＝eq\f(7×2a4,2)＝7×4＝28.故选C.3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝8，S6＝54，则数列{an}的公差为()A．2 B．3C．4 D．eq\f(9,2)【答案】A【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a3＝a1＋2d＝8，S6＝6a1＋15d＝54，解得a1＝4，d＝2.故选A.4、等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8等于()A．18 B．12C．9 D．6【答案】D【解析】.由题意得S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝eq\f(112a1＋10d,2)＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6，故选D.5、已知等差数列{an}，且3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝48，则数列{an}的前13项之和为()A．24 B．39C．104 D．52【答案】D【解析】因为{an}是等差数列，所以3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝6a4＋6a10＝48.所以a4＋a10＝8.其前13项的和为eq\f(13a1＋a13,2)＝eq\f(13a4＋a10,2)＝eq\f(13×8,2)＝52，故选D.6、在等差数列{an}中，a1＝－2017，其前n项和为Sn，若eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，则S2020＝()A．2020 B．－2020C．4040 D．－4040【答案】C【解析】设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则eq\f(Sn,n)＝An＋B，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等差数列．∵eq\f(S12,12)－eq\f(S10,10)＝2，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的公差为1，又eq\f(S1,1)＝eq\f(a1,1)＝－2017，∴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以－2017为首项，1为公差的等差数列，∴eq\f(S2020,2020)＝－2017＋2019×1＝2，∴S2020＝4040.故选C.7、设Sn是等差数列{an}的前n项和，公差d≠0，若S11＝132，a3＋ak＝24，则正整数k的值为()A．9 B．10C．11 D．12【答案】A【解析】依题意，得S11＝eq\f(11a1＋a11,2)＝11a6＝132，a6＝12，于是有a3＋ak＝24＝2a6，因此3＋k＝2×6＝12，k＝9，故选A.8、已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，等差数列{bn}满意bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是()A．Sn＜2Tn B．b4＝0C．T7＞b7 D．T5＝T6【答案】D【解析】因为点(n，Sn)(n∈N*)在函数y＝x2－10x的图象上，所以Sn＝n2－10n，所以an＝2n－11，又bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，数列{bn}为等差数列，设公差为d，所以2b1＋d＝－9,2b1＋3d＝－7，解得b1＝－5，d＝1，所以bn＝n－6，所以b6＝0，所以T5＝T6，故选D.9、已知数列{an}满意an＋1＝an－eq\f(5,7)，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为()A．7 B．8C．7或8 D．8或9【答案】C【解析】由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－eq\f(5,7)的等差数列，所以an＝5－eq\f(5,7)(n－1)＝eq\f(40－5n,7).该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项起先是负数项，所以Sn取得最大值时，n＝7或8.故选C.10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为()A．1升 B．eq\f(67,66)升C.eq\f(47,44)升 D．eq\f(37,33)升【答案】B【解析】设该等差数列为{an}，公差为d，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66).))∴a5＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).故选B.11、已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若eq\f(S3,S5)＝eq\f(2,5)，则eq\f(a6,a12)＝()A．4 B．2C.eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)【答案】D【解析】设等差数列{an}的公差为d，则eq\f(3a1＋3d,5a1＋10d)＝eq\f(2,5)，可得a1＝d，故eq\f(a6,a12)＝eq\f(a1＋5d,a1＋11d)＝eq\f(6d,12d)＝eq\f(1,2).故选D.12、下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列{eq\f(an,n)}是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A．p1，p2 B．p3，p4C．p2，p3 D．p1，p4【答案】D【解析】{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，因为d＞0，所以{an}是递增数列，故p1正确；对p2，举反例，令a1＝－3，a2＝－2，d＝1，则a1＞2a2，故{nan}不是递增数列，p2不正确；eq\f(an,n)＝d＋eq\f(a1－d,n)，当a1－d＞0时，{eq\f(an,n)}递减，p3不正确；an＋3nd＝4nd＋a1－d,4d＞0，{an＋3nd}是递增数列，p4正确．故p1，p4是正确的，选D.13、设Sn为等差数列{an}的前n项和，且(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若eq\f(a8,a7)＜－1，则()A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7【答案】D【解析】由条件，得eq\f(Sn,n)＜eq\f(Sn＋1,n＋1)，即eq\f(na1＋an,2n)＜eq\f(n＋1a1＋an＋1,2n＋1)，所以an＜an＋1.所以等差数列{an}为递增数列．又eq\f(a8,a7)＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零．所以Sn的最小值为S7.故选D.14、数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8等于()A．0 B．3C．8 D．11【答案】B【解析】∵{bn}为等差数列，设其公差为d，由b3＝－2，b10＝12，∴7d＝b10－b3＝12－(－2)＝14，∴d＝2，∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6，∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋eq\f(7×6,2)d＝7×(－6)＋21×2＝0，又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3，∴a8－3＝0，∴a8＝3.故选B.15、在等差数列{an}中，已知a3＝5，a7＝－7，则S10的值为()A．50 B．20C．－70 D．－25【答案】D【解析】设等差数列{an}的公差为d.∵a7－a3＝4d＝－12，∴d＝－3，∴a10＝a7＋3d＝－16，a1＝a3－2d＝11，∴S10＝eq\f(10a1＋a10,2)＝－25.故选D.16、如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则()A．{Sn}是等差数列 B．{Seq\o\al(2,n)}是等差数列C．{dn}是等差数列 D．{deq\o\al(2,n)}是等差数列【答案】A【解析】作A1C1，A2C2，A3C3，…，AnCn垂直于直线B1Bn，垂足分别为C1，C2，C3，…，Cn，则A1C1∥A2C2∥…∥∵|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，∴|CnCn＋1|＝|Cn＋1Cn＋2|.设|A1C1|＝a，|A2C2|＝b，|B1B2|＝则|A3C3|＝2b－a，…，|AnCn|＝(n－1)b－(n－2)a(n∴Sn＝eq\f(1,2)c[(n－1)b－(n－2)a]＝eq\f(1,2)c[(b－a)n＋(2a－b)]，∴Sn＋1－Sn＝eq\f(1,2)c[(b－a)(n＋1)＋(2a－b)－(b－a)n－(2a－b)]＝eq\f(1,2)c(b－a)，∴数列{Sn}是等差数列．17、已知数列{an}为等差数列，若eq\f(a11,a10)＜－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn＞0的n的最大值为________．【答案】19．【解析】∵eq\f(a11,a10)＜－1，且Sn有最大值，∴a10＞0，a11＜0，且a10＋a11＜0，∴S19＝eq\f(19a1＋a19,2)＝19·a10＞0，S20＝eq\f(20a1＋a20,2)＝10(a10＋a11)＜0，故使得Sn＞0的n的最大值为19.18、若数列{an}满意a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1＜0的k值为________．【答案】23．【解析】因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－eq\f(2,3)，所以数列{an}是首项为15，公差为－eq\f(2,3)的等差数列，所以an＝15－eq\f(2,3)·(n－1)＝－eq\f(2,3)n＋eq\f(47,3)，令an＝－eq\f(2,3)n＋eq\f(47,3)＞0，得n＜23.5，所以使ak·ak＋1＜0的k值为23.19、在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.【答案】99【解析】∵a25－a15＝10d＝66－33＝33，∴a35＝a25＋10d＝66＋33＝99.20、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．则月末日织几何？”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最终一天织________尺布．【答案】21【解析】由题意得，该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，其中a1＝5，前30项和为390，于是有eq\f(305＋a30,2)＝390，解得a30＝21，即该女最终一天织21尺布．21、已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1＝________.【答案】－1【解析】因为a5是a3与a11的等比中项，所以aeq\o\al(2,5)＝a3·a11，即(a1＋4d)2＝(a1＋2d)·(a1＋10d)，解得a1＝－1.22、设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对随意自然数n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，则eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)的值为________．【答案】eq\f(19,41)【解析】因为{an}，{bn}为等差数列，所以eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)＝eq\f(a9,2b6)＋eq\f(a3,2b6)＝eq\f(a9＋a3,2b6)＝eq\f(a6,b6).因为eq\f(S11,T11)＝eq\f(a1＋a11,b1＋b11)＝eq\f(2a6,2b6)＝eq\f(2×11－3,4×11－3)＝eq\f(19,41)，所以eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)＝eq\f(19,41).23、设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.【答案】130【解析】由an＝2n－10(n∈N*)，知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，an≤0；当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.24、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，满意a1＋a2＝10，S5＝40.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝|13－an|，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】(1)2n＋2(2)－n2＋10nTn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－n2＋10n，n≤5，,n2－10n＋50，n≥6.))【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意知，a1＋a2＝2a1＋dS5＝5a3＝40，即a3＝8，所以a1＋2d所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝4，,d＝2，))所以an＝4＋(n－1)·2＝2n＋2.(2)令cn＝13－an＝11－2n，bn＝|cn|＝|11－2n|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11－2n，n≤5，,2n－11，n≥6，))设数列{cn}的前n项和为Qn，则Qn＝－n2＋10n.当n≤5时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝Qn＝－n2＋10n.当n≥6时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝c1＋c2＋…＋c5－(c6＋c7＋…＋cn)＝－Qn＋2Q5＝n2－10n＋2(－52＋10×5)＝n2－10n＋50.∴Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－n2＋10n，n≤5，,n2－10n＋50，n≥6.))25、记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并推断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．【答案】(1)(－2)n.(2)Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列【解析】(1)设{an}的公比为q，由题设可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＝2，,a11＋q＋q2＝－6.))解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝－eq\f(2,3)＋(－1)n·eq\f(2n＋1,3).由于Sn＋2＋Sn＋1＝－eq\f(4,3)＋(－1)n·eq\f(2n＋3－2n＋2,3)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＋－1n·\f(2n＋1,3)))＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．26、在公差不为0的等差数列{an}中，a1，a4，a8成等比数列．(1)若数列{an}的前10项和为45，求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝eq\f(1,anan＋1)，且数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn＝eq\f(1,9)－eq\f(1,n＋9)，求数列{an}的公差．【答案】(1)eq\f(n＋8,3).(2)－1或1【解析】(1)设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a1，a4，a8成等比数列可得aeq\o\al(2,4)＝a1·a8，即(a1＋3d)2＝a1·(a1＋7d)，解得a1＝9d.由数列{an}的前10项和为45得10a1＋45d＝45，即90d＋45d＝45，所以d＝eq\f(1,3)，a1＝3.故数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)×eq\f(1,3)＝eq\f(n＋8,3).(2)因为bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))，所以数列{bn}的前n项和Tn＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)－\f(1,a2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(1,a3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an＋1)))＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)－\f(1,an＋1)))，即Tn＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a1)－\f(1,a1＋nd)))＝eq\f(1,d)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9d)－\f(1,9d＋nd)))＝eq\f(1,d2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)－\f(1,9＋n)))＝eq\f(1,9)－eq\f(1,9＋n)，因此eq\f(1,d2)＝1，解得d＝－1或d＝1.故数列{an}的公差为－1或1.27、已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)设数列{bn}的通项bn＝eq\f(Sn,n)，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.【答案】(1)a＝2，k＝10(2)