2025版高考数学二轮复习第1篇专题8函数与导数第2讲小题考法-基本初等函数函数与方程学案

PAGEPAGE1第2讲小题考法——基本初等函数、函数与方程一、主干学问要记牢1．指数函数与对数函数的对比表解析式y＝ax(a＞0与a≠1)y＝logax(a＞0与a≠1)图象定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R单调性0＜a＜1时，在R上是减函数；a＞1时，在R上是增函数0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数；a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数两图象的对称性关于直线y＝x对称2．方程的根与函数的零点(1)方程的根与函数零点的关系由函数零点的定义，可知函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2)函数零点的存在性定理假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连绵不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的实数根．二、易错易混要明白1．不能精确理解基本初等函数的定义和性质．如探讨函数y＝ax(a>0，a≠1)的单调性时忽视字母a的取值范围，忽视ax>0；探讨对数函数y＝logax(a>0，a≠1)时忽视真数与底数的限制条件．2．易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行精确互化．3．函数f(x)＝ax2＋bx＋c有且只有一个零点，要留意探讨a是否为零．考点一基本初等函数的图象与性质3招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同，指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较．(2)底数相同，真数不同的对数值用对数函数的单调性比较．(3)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，常引入中间量或结合图象比较大小．1．(2024·南充三模)在同一坐标系中，函数y＝2－x与y＝－log2x的图象都正确的是(A)ABCD解析因为y＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，所以函数单调递减，解除B，D．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与y＝－log2x＝eqlog\s\do8(\f(1,2))x的图象关于y＝x轴对称．解除C．故选A．2．已知函数f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，则f(x)(A)A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数解析因为f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，且定义域为R，所以f(－x)＝3－x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x－3x＝－3x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x＝－f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是减函数，所以f(x)＝3x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上是增函数．3．(2024·全国卷Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(D)A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z解析令t＝2x＝3y＝5z，∵x，y，z为正数，∴t>1．则x＝log2t＝eq\f(lgt,lg2)，同理，y＝eq\f(lgt,lg3)，z＝eq\f(lgt,lg5)．∴2x－3y＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(3lgt,lg3)＝eq\f(lgt2lg3－3lg2,lg2×lg3)＝eq\f(lgtlg9－lg8,lg2×lg3)>0，∴2x>3y．又∵2x－5z＝eq\f(2lgt,lg2)－eq\f(5lgt,lg5)＝eq\f(lgt2lg5－5lg2,lg2×lg5)＝eq\f(lgtlg25－lg32,lg2×lg5)<0，∴2x<5z，∴3y<2x<5z.故选D．考点二函数的零点1．推断函数零点个数的方法干脆法干脆求零点，令f(x)＝0，则方程解的个数即为函数零点的个数定理法利用零点存在性定理，利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在，必需结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函数不能干脆求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2．利用函数零点的状况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分别参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两个熟识的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．1．(2024·安阳模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x＋1|，x＜1，,x2－4x＋2，x≥1，))则函数g(x)＝2|x|f(x)－2的零点个数为(B)A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析画出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x＋1|，x＜1，,x2－4x＋2，x≥1，))的图象如图，由g(x)＝2|x|f(x)－2＝0可得f(x)＝eq\f(2,2|x|)，则问题化为函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－|x＋1|，x＜1，,x2－4x＋2，x≥1，))与函数y＝eq\f(2,2|x|)＝21－|x|的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，应选答案B．2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(C)A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析方法一∵f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，∴f(0)f(1)＜0，故函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是(0,1)，选C．方法二函数f(x)＝ex＋x－2的零点，即函数y＝ex的图象与y＝－x＋2的图象的交点的横坐标，作出函数y＝ex与直线y＝－x＋2的图象如图所示，由图可知选C．3．(2024·湖北联考)奇函数f(x)是R上单调函数，g(x)＝f(ax3)＋f(1－3x)有唯一零点，则a的取值集合为{a|a≤0或a＞4}．解析函数g(x)＝f(ax3)＋f(1－3x)有且只有一个零点，即方程f(ax3)＋f(1－3x)＝0有且只有一个根或两相等实数根，∵函数f(x)是奇函