2025版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系教学案文含解析北师大版

PAGE1-第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[考纲传真]1.能依据给定直线、圆的方程，推断直线与圆的位置关系；能依据给定两个圆的方程推断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简洁的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．直线与圆的位置关系(1)三种位置关系：相交、相切、相离．(2)两种探讨方法：①eq\x(\a\al(几,何,法))eq\o(→,\s\up10(圆心到直线的距离为d),\s\do10(半径为r))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＜r⇔相交，弦长l＝2\r(r2－d2),d＝r⇔相切,d＞r⇔相离))②eq\x(代数法)eq\o(→,\s\up10(联立方程组消去xy),\s\do10(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0⇔相交,Δ＝0⇔相切,Δ＜0⇔相离))2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的状况相离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解eq\o([常用结论])1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．[基础自测]1．(思索辨析)推断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件． ()(2)假如两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切． ()(3)假如两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交． ()(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程． ()(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是()A．相切B．直线过圆心C．直线不过圆心，但与圆相交D．相离B[依题意知圆心为(－1,0)，到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq\f(0,\r(12＋－12))＝0，所以直线过圆心．]3．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离B[两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝eq\r(42＋1)＝eq\r(17).∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交．]4．已知直线l：y＝k(x＋eq\r(3))和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝()A．0B.eq\r(3)C．eq\f(\r(3),3)或0D．eq\r(3)或0D[因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|－1＋\r(3)k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝0或k＝eq\r(3)，故选D．]5．直线x＋2y＝0被圆C：x2＋y2－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于________．4eq\r(5)[由已知圆心C(3,1)，半径r＝5.又圆心C到直线l的距离d＝eq\f(|3＋2|,\r(5))＝eq\r(5)，则弦长＝2eq\r(r2－d2)＝4eq\r(5).]直线与圆的位置关系1.若直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，则实数m的取值范围为()A．(－∞，＋∞) B．(－∞，0)C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)D[圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心C(1,1)，半径r＝1.因为直线与圆相交，所以d＝eq\f(|1＋m－2－m|,\r(1＋m2))<r＝1.解得m>0或m<0.故选D．]2．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为()A．相离 B．相切C．相交 D．以上都有可能C[直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交，故选C．]3．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为()A．1B．2C．3D．4C[如图所示，因为圆心到直线的距离为eq\f(|9＋12－11|,5)＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个．][规律方法]推断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ推断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可推断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．圆与圆的位置关系【例1】已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为()A.eq\f(\r(6),2)B.eq\f(3,2)C．eq\f(9,4)D．2eq\r(3)C[由圆C1与圆C2相外切，可得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，依据基本(均值)不等式可知ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up10(2)＝eq\f(9,4)，当且仅当a＝b时等号成立．故选C．][拓展探究]把本例中的“外切”变为“内切”，求ab的最大值．[解]由C1与C2内切得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝1.即(a＋b)2＝1，又ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up10(2)＝eq\f(1,4)，当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为eq\f(1,4).[规律方法]推断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d和r1＋r2，|r1－r2|的值；(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．[解](1)证明：圆C1的圆心为C1(1,3)，半径r1＝eq\r(11)，圆C2的圆心为C2(5,6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq\r(11)＋4，|r1－r2|＝4－eq\r(11)，∴|r1－r2|＜d＜r1＋r2，∴圆C1和C2相交．(2)圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离＝eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3，故公共弦长为2eq\r(16－9)＝2eq\r(7).直线与圆的综合问题►考法1圆的切线问题【例2】(1)已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为eq\r(2)的切线方程为()A．y＝x＋eq\r(2)B．y＝－x＋eq\r(2)C．y＝x＋eq\r(2)或y＝－x＋eq\r(2)D．x＝1或y＝x＋eq\r(2)(2)(2024·惠州第一次调研)过点A(3,4)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝2的切线l，则切线l的方程为________．(1)C(2)x＋y－7＝0[(1)在y轴上截距为eq\r(2)且斜率不存在的直线明显不是切线，故设切线方程为y＝kx＋eq\r(2)，则eq\f(|\r(2)|,\r(k2＋1))＝1，所以k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋eq\r(2)或y＝－x＋eq\r(2).(2)设切线l的方程为y＝kx＋b，点A(3,4)在切线l上，故4＝3k＋b.圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝2的圆心(2,3)到切线l的距离d＝eq\f(|2k＋b－3|,\r(1＋k2))＝eq\r(2)，可得eq\f(|－k＋1|,\r(1＋k2))＝eq\r(2)，解得k＝－1，故b＝7，切线l的方程为x＋y－7＝0.]►考法2直线与圆相交的弦长问题【例3】(1)直线x＋eq\r(3)y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为________．(2)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则直线l的方程为()A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0B．3x＋4y－12＝0或x＝0C．4x－3y＋9＝0或x＝0D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0(1)2eq\r(3)(2)B[(1)∵圆x2＋y2＝4的圆心为点(0,0)，半径r＝2，∴圆心到直线x＋eq\r(3)y－2＝0的距离d＝eq\f(|－2|,2)＝1，∴弦长|AB|＝2eq\r(4－1)＝2eq\r(3).(2)当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝0时，弦长为2eq\r(3)，符合题意；当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2eq\r(3)，半径为2可知，圆心到该直线的距离为1，从而有eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，选B.]►考法3直线、圆与相关学问的交汇【例4】(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.[解](1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋1.因为直线l与圆C交于两点，所以eq\f(|2k－3＋1|,\r(1＋k2))<1，解得eq\f(4－\r(7),3)<k<eq\f(4＋\r(7),3).所以k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－\r(7),3)，\f(4＋\r(7),3))).(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝eq\f(41＋k,1＋k2)，x1x2＝eq\f(7,1＋k2).eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8.由题设可得eq\f(4k1＋k,1＋k2)＋8＝12，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1.故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.[规律方法]1.圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.2．弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，依据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2eq\r(r2－d2).(1)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．(2)若直线l：x＋y＝m与曲线C：y＝eq\r(1－x2)有且只有两个公共点，则m的取值范围是________．(1)2eq\r(2)(2)[1，eq\r(2))[(1)设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|＝eq\r(2)，半径r＝2，由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).(2)画出图像如图，当直线l经过点A，B时，m＝1，此时直线l与曲线y＝eq\r(1－x2)有两个公共点，当直线l与曲线相切时，m＝eq\r(2)，因此当1≤m<eq\r(2)时，直线l：x＋y＝m与曲线y＝eq\r(1－x2)有且只有两个公共点．]1．(2024·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6] B．[4,8]C．[eq\r(2)，3eq\r(2)] D．[2eq\r(2)，3eq\r(2)]A[由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r＝eq\r(2)，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝eq\f(|2＋2|,\r(1＋1))＝2eq\r(2)，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3eq\r(2)，最小距离是d－r＝eq\r(2).易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2eq\r(2)，所以2≤S△ABP≤6.故选A.]2．(2024·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.2eq\r(2)[由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝eq\f(|－1－1|,\r(2))＝eq\r(2)，所以|AB|＝2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).]3．(2024·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(3)，则圆C的面积为________．4π[圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝eq\r(a2＋2).|AB|＝2eq\r(3)，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝eq\f(|0－a＋2a|,\r(2))，由勾股定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))eq\s\up10(2)＋eq\f(|0－a＋2a|,\r(2))2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.]4．(2024·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m改变时，解答下列问题：(1)能