2025版高考数学大一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的基本定理及坐标表示课时达标文含解析新人教A版

PAGEPAGE1第24讲平面对量的基本定理及坐标表示课时达标一、选择题1．若向量eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，则eq\o(BC,\s\up7(→))＝()A．(1,1) B．(－1，－1)C．(3,7) D．(－3，－7)B解析因为eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，所以eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)．故选B.2．已知向量m＝(a，－2)，n＝(1,1－a)，且m∥n，则实数a＝()A．－1 B．2或－1C．2 D．－2B解析因为m∥n，所以a(1－a)＝－2，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.故选B.3．在平面直角坐标系xOy中，已知点O(0,0)，A(0,1)，B(1，－2)，C(m,0)．若eq\o(OB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，则实数m的值为()A．－2 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．2C解析因为eq\o(OB,\s\up7(→))＝(1，－2)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(m，－1)，eq\o(OB,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，所以eq\f(m,1)＝eq\f(－1,－2)，m＝eq\f(1,2).故选C.4．已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB＝3，AC＝4.若存在非零实数x，y，使得eq\o(AO,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))，且x＋2y＝1，则cos∠BAC的值为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),3) D.eq\f(1,3)A解析设M为AC的中点，则eq\o(AO,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋2yeq\o(AM,\s\up7(→)).因为x＋2y＝1，所以O，B，M三点共线．又因为O是△ABC的外接圆圆心，所以BM⊥AC，从而cos∠BAC＝eq\f(2,3).故选A.5．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，Oeq\o(P,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，且Beq\o(P,\s\up7(→))＝2Peq\o(A,\s\up7(→))，则()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4)D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)A解析由题意知Oeq\o(P,\s\up7(→))＝Oeq\o(B,\s\up7(→))＋Beq\o(P,\s\up7(→))，又Beq\o(P,\s\up7(→))＝2Peq\o(A,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up7(→))，所以Oeq\o(P,\s\up7(→))＝Oeq\o(B,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)Beq\o(A,\s\up7(→))＝Oeq\o(B,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)(Oeq\o(A,\s\up7(→))－Oeq\o(B,\s\up7(→)))＝eq\f(2,3)Oeq\o(A,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)Oeq\o(B,\s\up7(→))，所以x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3).6．(2024·忻州二中期中)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且eq\o(AM,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AN,\s\up7(→))＝yeq\o(AC,\s\up7(→))，则eq\f(xy,x＋y)的值为()A．3 B.eq\f(1,3)C．2 D.eq\f(1,2)B解析(特值法)利用三角形的性质，过重心作平行于底边BC的直线，得x＝y＝eq\f(2,3)，则eq\f(xy,x＋y)＝eq\f(1,3).二、填空题7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.解析因为a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，所以a－c＝(3－k，－6)．因为(a－c)∥b，所以1×(－6)＝3×(3－k)，解得k＝5.答案58．已知向量a＝(λ＋1,1)，b＝(λ＋2,2)，若(a＋b)∥(a－b)，则λ＝________.解析因为a＋b＝(2λ＋3,3)，a－b＝(－1，－1)，且(a＋b)∥(a－b)，所以eq\f(2λ＋3,－1)＝eq\f(3,－1)，所以λ＝0.答案09．已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(3,4)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(6，－3)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满意的条件是________．解析因为eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(3，－7)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(2－m，－7－m)，点A，B，C能构成三角形，所以点A，B，C不共线，即eq\o(AB,\s\up7(→))与eq\o(AC,\s\up7(→))不共线，所以3×(－7－m)－(－7)×(2－m)≠0，解得m≠－eq\f(7,10)，故实数m应满意m≠－eq\f(7,10).答案m≠－eq\f(7,10)三、解答题10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？解析(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)．故|a＋3b|＝eq\r(72＋32)＝eq\r(58).(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)．因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－eq\f(1,3).此时ka－b＝(k－2，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－1))，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．11．在△OAB的边OA，OB上分别取M，N，使|OM|∶|OA|＝1∶3，|ON|∶|OB|＝1∶4，设线段AN与BM的交点为P，eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，用a，b表示eq\o(OP,\s\up7(→)).解析因为A，P，N三点共线，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－λ)eq\o(ON,\s\up7(→))＝λa＋eq\f(1,4)(1－λ)b.又因为M，P，B三点共线，所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝μeq\o(OM,\s\up7(→))＋(1－μ)eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)μa＋(1－μ)b.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)μ＝λ，,\f(1,4)1－λ＝1－μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,11)，,μ＝\f(9,11)，))所以eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(3,11)a＋eq\f(2,11)b.12．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)．(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值；(2)若d满意(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝eq\r(5)，求d的坐标．解析(1)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，由题意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－eq\f(16,13).(2)设d＝(x，y)，则d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2,4)，|d－c|＝eq\r(5)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4－2y－1＝0，,x－42＋y－12＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3.))所以d的坐标为(3，－1)或(5,3)．13．[选做题]在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AD,\s\up7(→))，则λ＋μ的最大值为()A．3 B．2eq\r(2)C.eq\r(5) D．2A解析建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.因为CD＝1，BC＝2，所以BD＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，EC＝eq\f(BC·CD,BD)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，所以P的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝eq\f(4,5).设P(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2＋\f(2\r(5),5)cosθ，,y0＝1＋\f(2\r(5),5)sinθ))(θ为参数)，而eq\o(AP,\s\up7(→))＝(x0，y0)，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(0,1)，eq\o(AD,\s\up7(→))＝(2,0)．因为eq\o(AP,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AD,\s\up7(→))＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，所以μ＝eq\f(1,