2024年秋九年级数学上册第四章图形的相似4.7相似三角形的性质第2课时相似三角形中周长和面积之比备课素材新版北师大版

PAGEPAGE11第四章图形的相像7相像三角形的性质第2课时相像三角形中的周长和面积之比素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入如图4－7－29，在比例尺为1∶500的地图上，测得一个三角形地块的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长及面积．图4－7－29问题1在这个情境中，地图上的三角形地块与实际地块是什么关系？1∶500表示什么含义？问题2要解决这个问题，须要什么学问？问题3你能对这个地块的实际周长与面积作出估计吗？问题4如何说明你的猜想是否正确呢？[说明与建议]说明：学生们在一个开放的环境中思索生活中遇到的实际问题，亲身经验和感受数学学问来源于生活中的过程．建议：小组沟通、总结，学生可能会得到周长之比等于比例尺，面积之比等于比例尺的平方的猜想，通过小组合作，初步验证猜想，引出新知．复习导入复习比例线段的性质(基本性质、合比性质、等比性质)：①假如eq\f(a,b)＝eq\f(4,3)，那么eq\f(a＋b,b)＝__eq\f(7,3)__，eq\f(a－b,b)＝__eq\f(1,3)__；②假如eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)＝eq\f(e,f)＝eq\f(5,7)，那么eq\f(a＋c＋e,b＋d＋f)＝__eq\f(5,7)__；③在四边形ABCD和四边形EFGH中，已知eq\f(AB,EF)＝eq\f(BC,FG)＝eq\f(CD,GH)＝eq\f(DA,HE)＝eq\f(2,3)，四边形ABCD的周长是60cm，求四边形EFGH的周长．[说明与建议]说明：通过复习比例的性质，尤其是等比性质，让学生感受多边形的周长比与相像比的关系．引导学生思索问题，自然地过渡到新课的学习上来．建议：重点是让学生动手、动脑，探究相像形周长之比与相像比之间的关系．悬念激趣某城区施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题：公路旁边原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地，由于公路拓宽，绿化地被削去了一个角，变成了一个梯形，如图4－7－30，原绿化地一边AB的长由原来的20米缩短成12米．则被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？图4－7－30[说明与建议]说明：联系生活实际，提出问题，引发学生探究的主动性，设置悬念，从而激发学生的求知欲．通过思索，让学生带着问题学习新课，同时老师引出新课．建议：在学生操作时，老师要引导学生进行思索、分析，为进一步学习积累数学活动阅历．素材二教材母题挖掘教材母题——第110页例2如图4－7－31，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半．已知BC＝2，求△ABC平移的距离．图4－7－31【模型建立】依据相像三角形的性质——相像三角形的周长比等于相像比，面积比等于相像比的平方，可以解决图形中的周长与面积问题，简化计算与证明过程．对学生的要求是能精确找出相像的两个三角形，再利用性质求解．【变式变形】1．如图4－7－32，△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB＝15cm，B′C′＝24cm，求BC，AC，A′B′，A′C′的长．图4－7－32[答案：BC＝20cm，AC＝25cm，A′B′＝18cm，A′C′＝30cm]2．如图4－7－33，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积．图4－7－33[答案：△DEF的周长为12，面积为12]3．如图4－7－34所示，在ABCD中，AE∶EB＝1∶2，且S△AEF＝6cm2.(1)求△AEF与△CDF的周长比；(2)求△CDF的面积．图4－7－34[答案：(1)1∶3(2)54cm2]4．如图4－7－35，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E.若AB＝10，BC＝6，DE＝2，求四边形DEBC的面积．图4－7－35[答案：eq\f(64,3)]素材三考情考向分析[命题角度1]利用相像三角形的性质求周长比相像三角形的周长比等于相像比，有了边长的关系，就可以求出周长比．例[湘西中考]如图4－7－36，在ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F，则△EDF与△BCF的周长比是(A)图4－7－36A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶5[命题角度2]利用相像三角形的性质求面积比敏捷运用相像三角形的面积比等于相像比的平方进行解题．例[南京中考]若△ABC∽△A′B′C′，相像比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积比为(C)A．1∶2B．2∶1C．1∶4D．4∶1[命题角度3]利用相像三角形的性质求相像比相像三角形的面积之比等于相像比的平方．反过来，当已知两个相像三角形面积之间的关系时，也可以求出相像比．例[滨州中考]如图4－7－37，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则eq\f(AD,AB)的值是多少？图4－7－37[答案：eq\f(\r(2),2)]素材四教材习题答案P110随堂练习推断正误：(1)假如把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；()(2)假如把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的长都扩大为原来的9倍．()[答案](1)√(2)×P110习题4.121．如图，在方格纸上有△A1B1C1和△A2B2C2，这两个三角形是否相像？假如相像，△A1B1C1与△A2B2C2的周长比和面积比分别是多少？解：相像，周长比为2∶1；面积比为4∶1.2．如图，在△ABC和△DEF中，G，H分别是边BC和EF的中点，已知AB＝2DE，AC＝2DF，∠BAC＝∠EDF.(1)中线AG与DH的比是多少？(2)△ABC与△DEF的面积比是多少？解：(1)2∶1(2)4∶1.3．如图，Rt△ABC∽Rt△EFG，EF＝2AB，BD和FH分别是它们的中线，△BDC与△FHG是否相像？假如相像，试确定其周长比和面积比．解：相像；周长比为1∶2，面积比为1∶4.4．一块三角形土地的一边长为120m，在地图上量得它的对应边长为0.06m，这边上的高为0.04m，求这块地的实际面积．解：4800m2.5．小明同学把一幅矩形图放大观赏，经测量其中一条边由10cm变成了40cm，那么这次放大的比例是多少？这幅画的面积发生了怎样的改变？解：放大的比例是1∶4，这幅画的面积变为原来的16倍．6．一个小风筝与一个大风筝形态相同，它们的形态如图所示，其中对角线AC⊥BD.已知它们的对应边之比为1∶3，小风筝两条对角线的长分别为12cm和14cm.(1)小风筝的面积是多少？(2)假如在大风筝内装设一个连接对角顶点的十字交叉形的支撑架，那么至少须要多长的材料？(不计损耗)(3)大风筝要用彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸(如图中虚线所示)裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是多少？解：(1)设AC和BD的交点是O，风筝面积＝△ABD的面积＋△BCD的面积＝eq\f(1,2)×BD×AO＋eq\f(1,2)×BD×CO＝eq\f(1,2)×BD×(AO＋CO)＝eq\f(1,2)×BD×AC＝eq\f(1,2)×12×14＝84(cm2)．(2)3×(AC＋BD)＝3×(12＋14)＝78(cm)．(3)彩纸面积＝12×14×3×3，简单看出裁下的面积是彩纸的一半，故废弃部分面积＝3×3×12×14×eq\f(1,2)＝756(cm2)．7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB和AC上，且DE∥BC.(1)若AD∶DB＝1∶1，则S△ADE∶S四边形DBCE等于多少？(2)若S△ADE＝S四边形DBCE，则DE∶BC，AD∶DB各等于多少？解：(1)1∶3.(2)DE∶BC＝1∶eq\r(2)，AD∶DB＝1∶(eq\r(2)－1)．素材五图书增值练习专题一相像三角形性质的综合运用1．已知两个相像三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．2．如图，Rt△ABC到Rt△DEF是一个相像变换，AC与DF的长度之比是3∶2．（1）DE与AB的长度之比是多少？

（2）已知Rt△ABC的周长是12cm，面积是6cm2，求Rt△DEF的周长与面积．3．如图所示，已知平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，BE∶AB＝2∶3，S△BEF＝4，求S△CDF．专题二相像多边形的性质4．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相像，那么AB∶AD等于．5．已知两个相像多边形的周长比为1∶2，它们的面积和为25，则较大多边形的面积是．6．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上的一点，EF∥BC，并且EF将梯形ABCD分成的两个梯形AEFD、EBCF相像，若AD＝4，BC＝9，求AE∶EB．【学问要点】1．相像三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比，都等于相像比．2．相像三角形的周长比等于相像比，面积比等于相像比的平方．3．相像多边形的周长比等于相像比，面积比等于相像比的平方．【温馨提示】1．应用性质时，抓住关键词“对应”，找准对应边．2．不要误认为相像三角形面积的比等于相像比．3．由线段的比求面积的比，或由面积的比求线段的比时，应分两种状况：（1）两个图形是否相像，若是相像图形，则面积比等于相像比的平方；（2）两个图形不相像时，常会出现底在同一条直线上，有同一条高，那么两个三角形面积比等于对应底的比．【方法技巧】1．利用相像三角形性质是求线段长度，角的度数，周长，面积及线段的比等问题的依据．2．等底等高的两三角形面积相等，这个规律在求三角形面积中常常用到．3．应用相像三角形（多边形）的性质，常与三角形（多边形）相像的判定相结合．4．相像多边形的定义是判定多边形相像的主要依据，也是多边形相像的重要性质．参考答案：1．解：设一个三角形周长为Ccm，

则另一个三角形周长为（C＋560）cm，

则C∶（C＋560）＝3∶10，∴C＝240，C＋560＝800，即它们的周长分别为240cm，800cm．2．解：（1）由相像变换可得：DE∶AB＝DF∶AC＝2∶3；

（2）∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF的周长∶△ABC的周长＝2∶3，S△DEF：S△ABC＝4∶9．

∵直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm2，∴△DEF的周长为8cm，S△DEF＝cm2．3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥DC，

∴△BEF∽△CDF．∵AB＝DC，BE∶AB＝2∶3，

∴BE∶DC＝2∶3，∴S△DCF＝（）2•S△BEF＝×4＝9．4．[解析]∵矩形ABCD∽矩形BFEA，

∴AB∶BF＝AD∶AB，∴AD•BF＝AB•AB．

又∵BF＝AD，∴AD2＝AB2，则＝＝．5．20[解析]依据相像多边形周长的比等于相像比，而面积的比等于相像比的平方，即可求得面积的比值，依据面积和为25，就可求得两个多边形的面积．设两个多边形中较小的多边形的面积是x，则较大的面积是4x．依据题意得：x＋4x＝25，解得x＝5．因而较大多边形的面积20．6．解：∵梯形AEFD∽梯形EBCF，∴＝＝．

又∵AD＝4，BC＝9，∴EF2＝AD•BC＝4×9＝36．

∵EF＞0，∴EF＝6，∴＝＝，即＝．【学问要点】1.几种特别四边形的性质和判定：（1）特别平行四边形具有一般平行四边形的一切性质，须要留意各自图形的特别性质.（2）判别菱形：①说明是平行四边形+邻边相等;②说明是平行四边形+对角线垂直；③四条边相等。判定矩形：①说明是平行四边形+90°角；②说明是平行四边形+对角线相等；③有三个90°角。判定正方形:①说明是菱形+90°角；②说明是矩形+邻边相等;③两条对角线相互平分垂直且相等的四边形.2.几种特别四边形的面积问题：（1）设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．（2）设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=．（3）设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=．（4）设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=．【温馨提示】（1）矩形的对角线是矩形比较常用的性质，当对角线的夹角中，有一个角为60度时，则构成一个等边三角形；在判定矩形时，要留意利用定义或对角线来判定时，必需先证明此四边形为平行四边形，然后再证明一个角为直角或对角线相等。许多同学简单忽视这个问题.（2）在求菱形的边长、角度、对角线长等问题时，通常是在某一个直角三角形中运用勾股定理及有关直角三角形的学问来解决．正方形的性质许多，要依据题目的已知条件，选择最恰当的方法，使解题思路简捷．【方法技巧】面积法是解决有关平行四边形、矩形、菱形、正方形的推理与计算问题常用的方法，因此，熟识它们的面积的计算方法是特别必要的．【答案】1.15°或75°【解析】如下左图，当点E在正方形ABCD外时，在△ADE中，AD=DE，∠ADE=90°+60°=150°，所以∠AED=；如下右图，当点E在正方形ABCD内时，在△ADE中，AD=DE，∠ADE=90°－60°=30°，所以∠AED=.2.C【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝BC．∵∠C=90°，∠B=60°，∴AB＝2BC，AE＝BE＝BC．又∠C＝90°，∴AC＜AB，DC＜BE．如图(1)，把△ADE绕点E旋转180°，使AE与BE重合，由题意可得∠C＝∠D＝∠F＝90°，则四边形BCDF是矩形，且CD＜BC，所以构成邻边不等的矩形，则①成立．如图(2)，把△ADE绕点D旋转180°，使AD与CD重合，由题意可得BC＝BE＝EM＝MC，则四边形BCME是菱形，且∠B＝60°为锐角，则③成立．如图(3)，移动△ADE，使A与D重合，D与C重合，点E在BC的延长线上，由题意可知DE∥BN，且DE≠BN，所以四边形BNDE是梯形，又DN＝BE，所以梯形BNDE是等腰梯形，则②成立．因拼成矩形只有图(1)一种状况，而图(1)中的矩形不是正方形，则④不成立．3.或【解析】第一种状况，如左图，AB=BF=a，则CF=CH=1﹣a，DH=a﹣（1﹣a）=2a﹣1，四边形EGNM和四边形MNHD都是正方形，所以2DH=CF，即2（2a﹣1）=1﹣a，解得a=．其次种状况，如右图，AB=BF=a，则CF=CH=1﹣a，四边形CFGH、四边形HGMN、四边形DEMN都是正方形，因此AB=3CH，即a=3（1﹣a），解得．4.11＋6【解析】如图，分割成四个小等腰梯形，则AE＝＝2，过E作EM⊥A